ბრუნვის მოძრაობის დინამიკისა და კინემატიკის რაოდენობრივი შესწავლა მოითხოვს მატერიალური წერტილისა და ხისტი სხეულის ინერციის მომენტის ცოდნას ბრუნვის ღერძთან მიმართებაში. სტატიაში განვიხილავთ რა პარამეტრზეა საუბარი და ასევე მივცემთ მის განსაზღვრის ფორმულას.
ზოგადი ინფორმაცია ფიზიკური რაოდენობის შესახებ
პირველ რიგში განვსაზღვროთ მატერიალური წერტილისა და ხისტი სხეულის ინერციის მომენტი და შემდეგ ვაჩვენოთ, თუ როგორ უნდა გამოვიყენოთ იგი პრაქტიკული ამოცანების გადაჭრაში.
მ მასის მქონე წერტილის მითითებულ ფიზიკურ მახასიათებელში, რომელიც ბრუნავს ღერძის გარშემო r მანძილზე, იგულისხმება შემდეგი მნიშვნელობა:
I=mr².
სადაც ირკვევა, რომ შესწავლილი პარამეტრის საზომი ერთეულია კილოგრამები კვადრატულ მეტრზე (კგმ²).
თუ ღერძის გარშემო წერტილის ნაცვლად ბრუნავს რთული ფორმის სხეული, რომელსაც აქვს მასის თვითნებური განაწილება თავის შიგნით, მაშინ განისაზღვრება მისი ინერციის მომენტი.ასე რომ:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
სადაც ρ არის სხეულის სიმკვრივე. ინტეგრალური ფორმულის გამოყენებით შეგიძლიათ განსაზღვროთ I-ის მნიშვნელობა ბრუნვის აბსოლუტურად ნებისმიერი სისტემისთვის.
ინერციის მომენტს აქვს ზუსტად იგივე მნიშვნელობა ბრუნვისთვის, რაც მასას აქვს მთარგმნელობითი მოძრაობისთვის. მაგალითად, ყველამ იცის, რომ ყველაზე ადვილია იატაკის საფენის მოტრიალება მის სახელურზე გამავალი ღერძის გარშემო, ვიდრე პერპენდიკულარულზე. ეს გამოწვეულია იმით, რომ პირველ შემთხვევაში ინერციის მომენტი გაცილებით ნაკლებია, ვიდრე მეორეში.
მე ვაფასებ სხვადასხვა ფორმის სხეულებს
როდესაც ფიზიკაში ამოცანების ამოხსნისას ბრუნვის მიზნით, ხშირად საჭიროა ვიცოდეთ ინერციის მომენტი კონკრეტული გეომეტრიული ფორმის სხეულისთვის, მაგალითად, ცილინდრისთვის, ბურთისთვის ან ღეროსთვის. თუ ზემოთ დაწერილ ფორმულას გამოვიყენებთ I-სთვის, მაშინ ადვილი იქნება შესაბამისი გამოხატვის მიღება ყველა მონიშნული სხეულისთვის. ქვემოთ მოცემულია ზოგიერთი მათგანის ფორმულები:
წელი: I=1 / 12ML²;
ცილინდრი: I=1/2MR²;
სფერო: I=2 / 5MR².
აქ მე მოცემულია ბრუნვის ღერძი, რომელიც გადის სხეულის მასის ცენტრში. ცილინდრის შემთხვევაში, ღერძი პარალელურია ფიგურის გენერატორის. სხვა გეომეტრიული სხეულებისთვის ინერციის მომენტი და ბრუნვის ღერძების ადგილმდებარეობის ვარიანტები შეგიძლიათ იხილოთ შესაბამის ცხრილებში. გაითვალისწინეთ, რომ I სხვადასხვა ფიგურების დასადგენად საკმარისია ვიცოდეთ მხოლოდ ერთი გეომეტრიული პარამეტრი და სხეულის მასა.
შტაინერის თეორემა და ფორმულა
ინერციის მომენტი შეიძლება განისაზღვროს, თუ ბრუნვის ღერძი მდებარეობს სხეულისგან გარკვეულ მანძილზე. ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ ამ სეგმენტის სიგრძე და სხეულის IO მნიშვნელობა მისი მასის ცენტრში გამავალი ღერძის მიმართ, რომელიც პარალელურად უნდა იყოს ქვევით. განხილვა. IO პარამეტრსა და I უცნობ მნიშვნელობას შორის კავშირის დამყარება ფიქსირდება შტაინერის თეორემაში. მატერიალური წერტილისა და ხისტი სხეულის ინერციის მომენტი მათემატიკურად იწერება შემდეგნაირად:
I=IO+ Mh2.
აქ M არის სხეულის მასა, h არის მანძილი მასის ცენტრიდან ბრუნვის ღერძამდე, რომლის მიმართაც აუცილებელია გამოვთვალოთ I. ამ გამოთქმის მიღება მარტივია დამოუკიდებლად, თუ გამოიყენეთ I-ს ინტეგრალური ფორმულა და გაითვალისწინეთ, რომ სხეულის ყველა წერტილი დაშორებულია r=r0 + h.
შტაინერის თეორემა მნიშვნელოვნად ამარტივებს I-ს განმარტებას მრავალი პრაქტიკული სიტუაციისთვის. მაგალითად, თუ თქვენ გჭირდებათ იპოვოთ I ღერძის L სიგრძისა და მასის M ღერძის მიმართ, რომელიც გადის მის ბოლოზე, მაშინ შტაინერის თეორემის გამოყენება საშუალებას გაძლევთ დაწეროთ:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
შეგიძლიათ მიმართოთ შესაბამის ცხრილს და ნახოთ, რომ ის შეიცავს ზუსტად ამ ფორმულას წვრილი ღეროსთვის, რომლის ბოლოში ბრუნვის ღერძია.
მომენტის განტოლება
ბრუნვის ფიზიკაში არსებობს ფორმულა, რომელსაც ეწოდება მომენტების განტოლება. ასე გამოიყურება:
M=Iα.
აქ M არის ძალის მომენტი, α არის კუთხური აჩქარება. როგორც ხედავთ, მატერიალური წერტილისა და ხისტი სხეულის ინერციის მომენტი და ძალის მომენტი წრფივად არის დაკავშირებული ერთმანეთთან. მნიშვნელობა M განსაზღვრავს F ძალის შესაძლებლობას შექმნას ბრუნვითი მოძრაობა α აჩქარებით სისტემაში. M-ის გამოსათვლელად გამოიყენეთ შემდეგი მარტივი გამოთქმა:
M=Fდ.
სად d არის მომენტის მხრი, რომელიც უდრის მანძილს ძალის ვექტორიდან F ბრუნვის ღერძამდე. რაც უფრო პატარაა მკლავი d, მით ნაკლები ძალა ექნება სისტემის ბრუნვის შექმნის შესაძლებლობას.
მომენტების განტოლება მისი მნიშვნელობით სრულად შეესაბამება ნიუტონის მეორე კანონს. ამ შემთხვევაში მე ვთამაშობ ინერციული მასის როლს.
პრობლემის გადაჭრის მაგალითი
მოდით წარმოვიდგინოთ სისტემა, რომელიც არის ცილინდრი, რომელიც ფიქსირდება ვერტიკალურ ღერძზე უწონო ჰორიზონტალური ღეროთი. ცნობილია, რომ ბრუნვის ღერძი და ცილინდრის მთავარი ღერძი ერთმანეთის პარალელურია და მათ შორის მანძილი 30 სმ.ცილინდრის მასა 1 კგ, ხოლო რადიუსი 5 სმ.ძალა 10. ბრუნვის ტრაექტორიაზე N ტანგენსი მოქმედებს ფიგურაზე, რომლის ვექტორი გადის ცილინდრის მთავარ ღერძზე. აუცილებელია ფიგურის კუთხური აჩქარების დადგენა, რასაც ეს ძალა გამოიწვევს.
პირველ რიგში, გამოვთვალოთ I ცილინდრის ინერციის მომენტი. ამისათვის გამოიყენეთ შტაინერის თეორემა, გვაქვს:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210.05² + 10, 3²=0,09125 კგმ².
მომენტის განტოლების გამოყენებამდე საჭიროაგანსაზღვრეთ M ძალის მომენტი. ამ შემთხვევაში გვაქვს:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
ახლა შეგიძლიათ განსაზღვროთ აჩქარება:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 რადი/წმ².
გამოთვლილი კუთხური აჩქარება მიუთითებს, რომ ყოველ წამში ცილინდრის სიჩქარე გაიზრდება 5,2 ბრუნით წამში.
