სამკუთხედი ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული გეომეტრიული ფიგურაა, რომელსაც უკვე ვიცნობთ დაწყებით სკოლაში. კითხვა, თუ როგორ უნდა იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი, აწყდება ყველა სტუდენტს გეომეტრიის გაკვეთილებზე. მაშ, რა თავისებურებებით შეიძლება გამოირჩეოდეს მოცემული ფიგურის ფართობის პოვნა? ამ სტატიაში განვიხილავთ ძირითად ფორმულებს, რომლებიც აუცილებელია ასეთი ამოცანის შესასრულებლად, ასევე გავაანალიზებთ სამკუთხედების ტიპებს.
სამკუთხედების ტიპები
თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი სრულიად განსხვავებული გზით, რადგან გეომეტრიაში არის ერთზე მეტი ტიპის ფიგურა, რომელიც შეიცავს სამ კუთხეს. ეს სახეობები მოიცავს:
- მწვავე სამკუთხედი.
- ობტ-კუთხოვანი.
- ტოლგვერდა (სწორი).
- მართკუთხა სამკუთხედი.
- ისოსკელი.
მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ სამკუთხედების თითოეულ არსებულ ტიპს.
მწვავესამკუთხედი
ასეთი გეომეტრიული ფიგურა ითვლება ყველაზე გავრცელებულად გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნისას. როდესაც საჭირო ხდება თვითნებური სამკუთხედის დახატვა, ეს ვარიანტი შველის.
მწვავე სამკუთხედში, როგორც სახელი გულისხმობს, ყველა კუთხე არის მახვილი და ემატება 180°.
ორკუთხედი სამკუთხედი
ეს სამკუთხედი ასევე ძალიან გავრცელებულია, მაგრამ გარკვეულწილად ნაკლებად გავრცელებულია ვიდრე მახვილკუთხედი. მაგალითად, სამკუთხედების ამოხსნისას (ანუ თქვენ იცით მისი რამდენიმე გვერდი და კუთხე და უნდა იპოვოთ დარჩენილი ელემენტები), ზოგჯერ უნდა დაადგინოთ, არის თუ არა კუთხე ბლაგვი. ბლაგვი კუთხის კოსინუსი არის უარყოფითი რიცხვი.
ბლაგვ სამკუთხედში, ერთ-ერთი კუთხის მნიშვნელობა აღემატება 90°-ს, ამიტომ დარჩენილ ორ კუთხეს შეუძლია მიიღოს მცირე მნიშვნელობები (მაგალითად, 15° ან თუნდაც 3°).
ამ ტიპის სამკუთხედის ფართობის საპოვნელად, თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენიმე ნიუანსი, რაზეც მოგვიანებით ვისაუბრებთ.
წესიერი და ტოლფერდა სამკუთხედები
წესიერი მრავალკუთხედი არის ფიგურა, რომელიც მოიცავს n კუთხეს და ყველა გვერდი და კუთხე ტოლია. ეს არის მართკუთხა სამკუთხედი. ვინაიდან სამკუთხედის ყველა კუთხის ჯამი არის 180°, სამივე კუთხიდან თითოეული არის 60°.
წესიერ სამკუთხედს, თავისი თვისების გამო, ტოლგვერდა ფიგურასაც უწოდებენ.
აღსანიშნავია ისიც, რომ ქრეგულარული სამკუთხედი შეიძლება ჩაიწეროს მხოლოდ ერთი წრით და მხოლოდ ერთი წრის შემოხაზვა შესაძლებელია მის გარშემო და მათი ცენტრები განლაგებულია ერთ წერტილში.
გარდა ტოლგვერდა ტიპისა, შეგიძლიათ აირჩიოთ ტოლგვერდა სამკუთხედიც, რომელიც ოდნავ განსხვავდება მისგან. ასეთ სამკუთხედში ორი გვერდი და ორი კუთხე ერთმანეთის ტოლია, ხოლო მესამე გვერდი (რომელსაც ტოლი კუთხეები ერთვის) არის ფუძე.
სურათზე ნაჩვენებია ტოლფერდა სამკუთხედი DEF, რომლის კუთხეები D და F ტოლია, ხოლო DF არის ფუძე.
მართკუთხა სამკუთხედი
მართკუთხა სამკუთხედს ასე უწოდებენ, რადგან მისი ერთ-ერთი კუთხე არის მართი კუთხე, ანუ ტოლია 90°-ისა. დანარჩენი ორი კუთხე ემატება 90°-ს.
ასეთი სამკუთხედის ყველაზე დიდი გვერდი, რომელიც მდებარეობს 90° კუთხის საპირისპიროდ, არის ჰიპოტენუზა, ხოლო მისი დანარჩენი ორი გვერდი არის ფეხები. ამ ტიპის სამკუთხედებისთვის გამოიყენება პითაგორას თეორემა:
ფეხების სიგრძის კვადრატების ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის სიგრძის კვადრატს.
ფიგურა გვიჩვენებს მართკუთხა სამკუთხედს BAC ჰიპოტენუზით AC და AB და BC ფეხებს.
სწორი კუთხით სამკუთხედის ფართობის საპოვნელად, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი ფეხების რიცხვითი მნიშვნელობები.
მოდით გადავიდეთ ამ ფიგურის ფართობის საპოვნელ ფორმულებზე.
ძირითადი ფართობის ფორმულები
გეომეტრიაში არსებობს ორი ფორმულა, რომლებიც შესაფერისია სამკუთხედების უმეტესობის ფართობის საპოვნელად, კერძოდ, მახვილკუთხა, ბლაგვი კუთხით, რეგულარული დატოლფერდა სამკუთხედები. გავაანალიზოთ თითოეული მათგანი.
გვერდით და სიმაღლე
ეს ფორმულა უნივერსალურია იმ ფიგურის ფართობის საპოვნელად, რომელსაც განვიხილავთ. ამისათვის საკმარისია ვიცოდეთ გვერდის სიგრძე და მასზე დახატული სიმაღლის სიგრძე. თავად ფორმულა (ფუძისა და სიმაღლის ნამრავლის ნახევარი) ასე გამოიყურება:
S=½AH, სადაც A არის მოცემული სამკუთხედის გვერდი და H არის სამკუთხედის სიმაღლე.
მაგალითად, ACB მახვილკუთხიანი სამკუთხედის ფართობის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მისი გვერდი AB სიმაღლეზე CD და მიღებული მნიშვნელობა გაყოთ ორზე.
თუმცა, ყოველთვის არ არის ადვილი სამკუთხედის ფართობის ამ გზით პოვნა. მაგალითად, ამ ფორმულის გამოსაყენებლად ბლაგვი კუთხოვანი სამკუთხედისთვის, თქვენ უნდა გააგრძელოთ მისი ერთ-ერთი გვერდი და მხოლოდ ამის შემდეგ მიაპყროთ მას სიმაღლე.
პრაქტიკაში, ეს ფორმულა უფრო ხშირად გამოიყენება, ვიდრე სხვები.
ორ მხარეს და კუთხეში
ეს ფორმულა, ისევე როგორც წინა, შესაფერისია სამკუთხედების უმეტესობისთვის და მისი მნიშვნელობით არის სამკუთხედის გვერდის და სიმაღლის ფართობის პოვნის ფორმულის შედეგი. ანუ განხილული ფორმულა ადვილად შეიძლება გამოვიდეს წინადან. მისი ფორმულირება ასე გამოიყურება:
S=½sinOAB, სადაც A და B არის სამკუთხედის გვერდები და O არის კუთხე A და B გვერდებს შორის.
შეგახსენებთ, რომ კუთხის სინუსის ნახვა შესაძლებელია გამოჩენილი საბჭოთა მათემატიკოსის V. M. Bradis-ის სახელობის სპეციალურ ცხრილში.
და ახლა გადავიდეთ სხვა ფორმულებზე,შესაფერისია მხოლოდ განსაკუთრებული ტიპის სამკუთხედებისთვის.
მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი
გარდა უნივერსალური ფორმულისა, რომელიც მოიცავს სამკუთხედში სიმაღლის დახატვის აუცილებლობას, მართკუთხა კუთხის შემცველი სამკუთხედის ფართობის პოვნა შესაძლებელია მისი ფეხებით.
ამგვარად, სამკუთხედის ფართობი, რომელიც შეიცავს მართ კუთხეს, არის მისი ფეხების ნამრავლის ნახევარი, ან:
S=½ab, სადაც a და b არის მართკუთხა სამკუთხედის ფეხები.
რეგულარული სამკუთხედი
ამ ტიპის გეომეტრიული ფიგურები განსხვავდება იმით, რომ მისი ფართობი შეიძლება მოიძებნოს მისი მხოლოდ ერთი გვერდის განსაზღვრული მნიშვნელობით (რადგან რეგულარული სამკუთხედის ყველა გვერდი ტოლია). ასე რომ, როდესაც შეხვდებით ამოცანას "იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი, როდესაც გვერდები ტოლია", თქვენ უნდა გამოიყენოთ შემდეგი ფორმულა:
S=A2√3 / 4, სადაც A არის ტოლგვერდა სამკუთხედის გვერდი.
ჰერონის ფორმულა
სამკუთხედის ფართობის პოვნის ბოლო ვარიანტი ჰერონის ფორმულაა. მისი გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ ფიგურის სამი მხარის სიგრძე. ჰერონის ფორმულა ასე გამოიყურება:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), სადაც a, b და c არის ამ სამკუთხედის გვერდები.
ზოგჯერ მოცემულია დავალება: "რეგულარული სამკუთხედის ფართობი - იპოვე მისი გვერდის სიგრძე." ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გამოიყენოთ უკვე ცნობილი ფორმულა რეგულარული სამკუთხედის ფართობის საპოვნელად და მისგან გამოიყვანოთ გვერდის (ან მისი კვადრატის) მნიშვნელობა:
A2=4S / √3.
გამოცდის პრობლემები
GIA ამოცანებშიმათემატიკაში ბევრი ფორმულაა. გარდა ამისა, ხშირად საჭიროა სამკუთხედის ფართობის პოვნა ქაღალდზე.
ამ შემთხვევაში ყველაზე მოსახერხებელია სიმაღლის დახატვა ფიგურის ერთ-ერთ მხარეს, მისი სიგრძის განსაზღვრა უჯრედების მიხედვით და ფართობის საპოვნელად უნივერსალური ფორმულის გამოყენება:
S=½AH.
ასე რომ, სტატიაში წარმოდგენილი ფორმულების შესწავლის შემდეგ, არ შეგექმნებათ რაიმე სახის სამკუთხედის ფართობის პოვნა.
