პრაქტიკაში ხშირად წარმოიქმნება ამოცანები, რომლებიც მოითხოვს სხვადასხვა ფორმის გეომეტრიული ფორმების მონაკვეთების აგების უნარს და მონაკვეთების ფართობის პოვნას. ამ სტატიაში განვიხილავთ, თუ როგორ არის აგებული პრიზმის, პირამიდის, კონუსის და ცილინდრის მნიშვნელოვანი მონაკვეთები და როგორ გამოვთვალოთ მათი ფართობი.
3D ფიგურები
სტერეომეტრიიდან ცნობილია, რომ აბსოლუტურად ნებისმიერი ტიპის სამგანზომილებიანი ფიგურა შეზღუდულია რამდენიმე ზედაპირით. მაგალითად, ასეთი პოლიედრებისთვის, როგორიცაა პრიზმა და პირამიდა, ეს ზედაპირები არის მრავალკუთხა მხარეები. ცილინდრისა და კონუსისთვის ჩვენ ვსაუბრობთ ცილინდრული და კონუსური ფიგურების ბრუნვის ზედაპირებზე.
თუ ავიღებთ სიბრტყეს და თვითნებურად გადავკვეთთ სამგანზომილებიანი ფიგურის ზედაპირს, მივიღებთ მონაკვეთს. მისი ფართობი უდრის თვითმფრინავის იმ ნაწილის ფართობს, რომელიც იქნება ფიგურის მოცულობის შიგნით. ამ ფართობის მინიმალური მნიშვნელობა არის ნული, რომელიც რეალიზდება, როდესაც თვითმფრინავი ფიგურას ეხება. მაგალითად, მონაკვეთი, რომელიც წარმოიქმნება ერთი წერტილით, მიიღება, თუ თვითმფრინავი გადის პირამიდის ან კონუსის თავზე. კვეთის ფართობის მაქსიმალური მნიშვნელობა დამოკიდებულიაფიგურისა და სიბრტყის ფარდობითი პოზიცია, ასევე ფიგურის ფორმა და ზომა.
ქვემოთ განვიხილავთ, თუ როგორ გამოვთვალოთ ჩამოყალიბებული მონაკვეთების ფართობი ორი რევოლუციის ფიგურისთვის (ცილინდრი და კონუსი) და ორი პოლიედრა (პირამიდა და პრიზმა).
ცილინდრი
წრიული ცილინდრი არის მართკუთხედის ბრუნვის ფიგურა მისი რომელიმე მხარის გარშემო. ცილინდრი ხასიათდება ორი წრფივი პარამეტრით: ბაზის რადიუსი r და სიმაღლე h. ქვემოთ მოცემული დიაგრამა გვიჩვენებს, თუ როგორ გამოიყურება წრიული სწორი ცილინდრი.
ამ ფიგურისთვის არსებობს სამი მნიშვნელოვანი სექციის ტიპი:
- რაუნდი;
- მართკუთხა;
- ელიფსური.
ელიფსური წარმოიქმნება სიბრტყის შედეგად, რომელიც კვეთს ფიგურის გვერდით ზედაპირს მის ფუძესთან გარკვეული კუთხით. მრგვალი არის გვერდითი ზედაპირის ჭრის სიბრტყის გადაკვეთის შედეგი ცილინდრის ფუძის პარალელურად. საბოლოოდ, მართკუთხა მიიღება, თუ საჭრელი სიბრტყე პარალელურია ცილინდრის ღერძისა.
წრიული ფართობი გამოითვლება ფორმულით:
S1=პირ2
ღერძული მონაკვეთის ფართობი, ანუ მართკუთხა, რომელიც გადის ცილინდრის ღერძზე, განისაზღვრება შემდეგნაირად:
S2=2rh
კონუსური სექციები
კონუსი არის მართკუთხა სამკუთხედის ბრუნვის ფიგურა ერთ-ერთი ფეხის გარშემო. კონუსს აქვს ერთი ზედა და მრგვალი ძირი. მისი პარამეტრები ასევე არის რადიუსი r და სიმაღლე h. ქაღალდის კონუსის მაგალითი ნაჩვენებია ქვემოთ.
არსებობს რამდენიმე სახის კონუსური მონაკვეთი. მოდით ჩამოვთვალოთ ისინი:
- რაუნდი;
- ელიფსური;
- პარაბოლური;
- ჰიპერბოლური;
- სამკუთხა.
ისინი ცვლიან ერთმანეთს, თუ გაზრდით სეკანტური სიბრტყის დახრის კუთხეს მრგვალ ფუძესთან მიმართებაში. უმარტივესი გზაა ფორმულების ჩაწერა წრიული და სამკუთხა კვეთის ფართობისთვის.
წრიული მონაკვეთი წარმოიქმნება კონუსური ზედაპირის ფუძის პარალელურ სიბრტყესთან გადაკვეთის შედეგად. მისი ფართობისთვის მოქმედებს შემდეგი ფორმულა:
S1=pir2z2/სთ 2
აქ z არის მანძილი ფიგურის ზემოდან ჩამოყალიბებულ მონაკვეთამდე. ჩანს, რომ თუ z=0, მაშინ სიბრტყე გადის მხოლოდ წვეროზე, ამიტომ ფართობი S1 იქნება ნულის ტოლი. z < სთ-დან, შესწავლილი მონაკვეთის ფართობი ყოველთვის ნაკლები იქნება მის მნიშვნელობაზე ფუძისთვის.
სამკუთხედი მიიღება, როდესაც სიბრტყე კვეთს ფიგურას მისი ბრუნვის ღერძის გასწვრივ. მიღებული მონაკვეთის ფორმა იქნება ტოლფერდა სამკუთხედი, რომლის გვერდები არის ფუძის დიამეტრი და კონუსის ორი გენერატორი. როგორ მოვძებნოთ სამკუთხედის განივი ფართობი? ამ კითხვაზე პასუხი იქნება შემდეგი ფორმულა:
S2=rh
ეს ტოლობა მიიღება თვითნებური სამკუთხედის ფართობის ფორმულის გამოყენებით მისი ფუძისა და სიმაღლის სიგრძეზე.
პრიზმის სექციები
პრიზმა არის ფიგურების დიდი კლასი, რომლებიც ხასიათდება ერთმანეთის პარალელურად ორი იდენტური მრავალკუთხა ფუძის არსებობით,დაკავშირებულია პარალელოგრამებით. პრიზმის ნებისმიერი მონაკვეთი არის მრავალკუთხედი. განსახილველი ფიგურების მრავალფეროვნების გათვალისწინებით (ირიბი, სწორი, n-გონალური, რეგულარული, ჩაზნექილი პრიზმები), ასევე დიდია მათი მონაკვეთების მრავალფეროვნება. ქვემოთ განვიხილავთ მხოლოდ რამდენიმე განსაკუთრებულ შემთხვევას.
თუ საჭრელი სიბრტყე ფუძის პარალელურია, მაშინ პრიზმის კვეთის ფართობი ტოლი იქნება ამ ფუძის ფართობის.
თუ სიბრტყე გადის ორი ფუძის გეომეტრიულ ცენტრებში, ანუ ის პარალელურია ფიგურის გვერდითი კიდეების, მაშინ მონაკვეთში წარმოიქმნება პარალელოგრამი. სწორი და რეგულარული პრიზმების შემთხვევაში, განხილული მონაკვეთის ხედი იქნება მართკუთხედი.
პირამიდა
პირამიდა არის კიდევ ერთი პოლიედონი, რომელიც შედგება n-გონებისა და n სამკუთხედისგან. სამკუთხა პირამიდის მაგალითი ნაჩვენებია ქვემოთ.
თუ მონაკვეთი დახაზულია n-გონალური ფუძის პარალელურად სიბრტყით, მაშინ მისი ფორმა ზუსტად იქნება ფუძის ფორმის ტოლი. ასეთი მონაკვეთის ფართობი გამოითვლება ფორმულით:
S1=So(თ-ზ)2/სთ 2
სადაც z არის მანძილი ფუძიდან მონაკვეთის სიბრტყემდე, So არის ფუძის ფართობი.
თუ საჭრელი სიბრტყე შეიცავს პირამიდის ზედა ნაწილს და კვეთს მის ფუძეს, მაშინ მივიღებთ სამკუთხა მონაკვეთს. მისი ფართობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა მიმართოთ სამკუთხედის შესაბამისი ფორმულის გამოყენებას.
