თითოეული მოსწავლე საშუალო სკოლაში სტერეომეტრიის შესწავლისას წააწყდა კონუსს. ამ სივრცითი ფიგურის ორი მნიშვნელოვანი მახასიათებელია ზედაპირის ფართობი და მოცულობა. ამ სტატიაში ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ მრგვალი კონუსის მოცულობა.
მრგვალი კონუსი, როგორც მართკუთხა სამკუთხედის ბრუნვის ფიგურა
სტატიის თემაზე პირდაპირ გადასვლამდე აუცილებელია კონუსის აღწერა გეომეტრიული თვალსაზრისით.
მოდით, იყოს მართკუთხა სამკუთხედი. თუ თქვენ დაატრიალებთ მას რომელიმე ფეხის გარშემო, მაშინ ამ მოქმედების შედეგი იქნება სასურველი ფიგურა, რომელიც ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.
აქ ფეხი AB არის კონუსის ღერძის ნაწილი და მისი სიგრძე შეესაბამება ფიგურის სიმაღლეს. მეორე ფეხი (სეგმენტი CA) იქნება კონუსის რადიუსი. ბრუნვის დროს ის აღწერს წრეს, რომელიც ზღუდავს ფიგურის ფუძეს. ჰიპოტენუზა BC ეწოდება ფიგურის გენერატრიქსს, ან მის გენერატრიქსს. წერტილი B არის კონუსის ერთადერთი წვერო.
ABC სამკუთხედის თვისებების გათვალისწინებით, შეგვიძლია დავწეროთ კავშირი გენერატრიქსს, r რადიუსსა და სიმაღლეს შორის შემდეგნაირად.თანასწორობა:
g2=h2+ r2
ეს ფორმულა სასარგებლოა მოცემული ფიგურის მრავალი გეომეტრიული ამოცანის გადასაჭრელად.
კონუსის მოცულობის ფორმულა
ნებისმიერი სივრცული ფიგურის მოცულობა არის სივრცის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება ამ ფიგურის ზედაპირებით. კონუსისთვის არის ორი ასეთი ზედაპირი:
- გვერდითი, ან კონუსური. იგი წარმოიქმნება ყველა გენერატორის მიერ.
- ფონდი. ამ შემთხვევაში, ეს არის წრე.
მიიღეთ კონუსის მოცულობის განსაზღვრის ფორმულა. ამისათვის გონებრივად ვჭრით მას ბაზის პარალელურად მრავალ ფენად. თითოეულ ფენას აქვს dx სისქე, რომელიც მიდრეკილია ნულისკენ. ფენის Sx ფართობი ფიგურის ზემოდან x მანძილზე უდრის შემდეგ გამოსახულებას:
Sx=pir2x2/სთ 2
ამ გამოხატვის ვალიდობა შეიძლება დადასტურდეს ინტუიციურად x=0 და x=h მნიშვნელობების ჩანაცვლებით. პირველ შემთხვევაში მივიღებთ ნულის ტოლ ფართობს, მეორე შემთხვევაში ტოლი იქნება მრგვალი ფუძის ფართობის.
კონუსის მოცულობის დასადგენად, თქვენ უნდა დაამატოთ თითოეული ფენის მცირე "მოცულობები", ანუ უნდა გამოიყენოთ ინტეგრალური გამოთვლა:
V=∫0სთ(pir2x 2/სთ2dx)=pir2/სთ22/სთ2 ∫0სთ
(x2dx)
ამ ინტეგრალის გამოთვლით, მივიღებთ მრგვალი კონუსის საბოლოო ფორმულას:
V=1/3pir2სთ
საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ეს ფორმულა სრულიად მსგავსია პირამიდის მოცულობის გამოსათვლელად. ეს დამთხვევა შემთხვევითი არ არის, რადგან ნებისმიერი პირამიდა ხდება კონუსი, როდესაც მისი კიდეების რაოდენობა უსასრულობამდე იზრდება.
მოცულობის გამოთვლის პრობლემა
სასარგებლოა ამოცანის ამოხსნის მაგალითის მოყვანა, რომელიც წარმოაჩენს მიღებული ფორმულის გამოყენებას V ტომისთვის.
მოცემულია მრგვალი კონუსი, რომლის ფუძის ფართობია 37 სმ2, ხოლო ფიგურის გენერატორი სამჯერ არის რადიუსზე. რა არის კონუსის მოცულობა?
ჩვენ გვაქვს უფლება გამოვიყენოთ მოცულობის ფორმულა, თუ ვიცით ორი სიდიდე: სიმაღლე h და რადიუსი r. მოდი ვიპოვოთ ფორმულები, რომლებიც განსაზღვრავს მათ პრობლემის მდგომარეობის შესაბამისად.
რადიუსი r შეიძლება გამოითვალოს S წრის ფართობის ცოდნით o, გვაქვს:
So=pir2=>
r=√(So/pi)
პრობლემის პირობის გამოყენებით ვწერთ ტოლობას g გენერატორისთვის:
g=3r=3√(So/პი)
იცნობთ r და g ფორმულებს, გამოთვალეთ სიმაღლე h:
სთ=√(g2- r2)=√(9So /pi - So/pi)=√(8So/pi)
ჩვენ ვიპოვნეთ ყველა საჭირო პარამეტრი. ახლა დროა ჩართოთ ისინი V:
ფორმულაში
V=1/3pir2h=1/3piSo/pi√ (8So/პი)=So/3√(8So /pi)
რჩება ჩანაცვლებასაბაზისო ფართობი So და გამოთვალეთ მოცულობის მნიშვნელობა: V=119,75 სმ3.
