სივრცითი ფიგურების მოცულობის გამოთვლა სტერეომეტრიის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი ამოცანაა. ამ სტატიაში განვიხილავთ საკითხს პირამიდის სახით ისეთი მრავალწახნაგების მოცულობის განსაზღვრის საკითხს და ასევე მივცემთ რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის მოცულობის ფორმულას.
ექვსკუთხა პირამიდა
პირველ რიგში ვნახოთ რა არის ფიგურა, რომელსაც სტატიაში განვიხილავთ.
მოდით, გვქონდეს თვითნებური ექვსკუთხედი, რომლის გვერდები სულაც არ არის ერთმანეთის ტოლი. ასევე დავუშვათ, რომ ჩვენ ავირჩიეთ წერტილი სივრცეში, რომელიც არ არის ექვსკუთხედის სიბრტყეში. ამ უკანასკნელის ყველა კუთხის შერჩეულ წერტილთან შეერთებით ვიღებთ პირამიდას. ორი განსხვავებული პირამიდა ექვსკუთხა ფუძით ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ სურათზე.
შეიძლება ნახოთ, რომ ექვსკუთხედის გარდა, ფიგურა შედგება ექვსი სამკუთხედისგან, რომელთა შეერთების წერტილს წვერო ეწოდება. გამოსახულ პირამიდებს შორის განსხვავება ისაა, რომ მათგან მარჯვნივ h სიმაღლე არ კვეთს ექვსკუთხა ფუძეს მის გეომეტრიულ ცენტრში და მარცხენა ფიგურის სიმაღლე ეცემა.ზუსტად იმ ცენტრში. ამ კრიტერიუმის წყალობით, მარცხენა პირამიდას ეწოდა სწორი, ხოლო მარჯვენა - ირიბი.
ვინაიდან ფიგურაში მარცხენა ფიგურის ფუძე ქმნის ექვსკუთხედს თანაბარი გვერდებითა და კუთხეებით, მას სწორი ეწოდება. შემდგომ სტატიაში ვისაუბრებთ მხოლოდ ამ პირამიდაზე.
ჰექსაგონური პირამიდის მოცულობა
თვითნებური პირამიდის მოცულობის გამოსათვლელად მოქმედებს შემდეგი ფორმულა:
V=1/3სთSo
აქ h არის ფიგურის სიმაღლის სიგრძე, So არის მისი ფუძის ფართობი. გამოვიყენოთ ეს გამოთქმა რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის მოცულობის დასადგენად.
რადგან განხილული ფიგურა ეფუძნება ტოლგვერდა ექვსკუთხედს, მისი ფართობის გამოსათვლელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ზოგადი გამოხატულება n-გონებისთვის:
S=n/4a2ctg(pi/n)
აქ n არის მთელი რიცხვი მრავალკუთხედის გვერდების (კუთხის) რაოდენობის ტოლი, a არის მისი გვერდის სიგრძე, კოტანგენსების ფუნქცია გამოითვლება შესაბამისი ცხრილების გამოყენებით.
გამოყენებით გამოხატვის n=6, მივიღებთ:
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
ახლა რჩება ამ გამოთქმის ჩანაცვლება V ტომის ზოგადი ფორმულით:
V6=S6სთ=√3/2სთa2
ამგვარად, განსახილველი პირამიდის მოცულობის გამოსათვლელად აუცილებელია ვიცოდეთ მისი ორი წრფივი პარამეტრი: ფუძის მხარის სიგრძე და ფიგურის სიმაღლე.
პრობლემის გადაჭრის მაგალითი
მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ შეიძლება გამოვიყენოთ V6-ის მიღებული გამოხატულება შემდეგი ამოცანის გადასაჭრელად.
ცნობილია, რომ რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის მოცულობა არის 100 სმ3. აუცილებელია ფუძის გვერდის და ფიგურის სიმაღლის განსაზღვრა, თუ ცნობილია, რომ ისინი ერთმანეთთან დაკავშირებულია შემდეგი ტოლობით:
a=2სთ
რადგან მხოლოდ a და h შედის მოცულობის ფორმულაში, ნებისმიერი ამ პარამეტრი შეიძლება შეიცვალოს მასში, გამოხატული მეორის მიხედვით. მაგალითად, ჩავანაცვლოთ a, მივიღებთ:
V6=√3/2სთ(2სთ)2=>
სთ=∛(V6/(2√3))
ფიგურის სიმაღლის მნიშვნელობის საპოვნელად, თქვენ უნდა აიღოთ მესამე ხარისხის ფესვი მოცულობიდან, რომელიც შეესაბამება სიგრძის განზომილებას. პრობლემის დებულებიდან ვცვლით პირამიდის V6 მოცულობის მნიშვნელობას, მივიღებთ სიმაღლეს:
სთ=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 სმ
რადგან ფუძის მხარე, პრობლემის მდგომარეობის შესაბამისად, ორჯერ აღემატება ნაპოვნ მნიშვნელობას, ჩვენ ვიღებთ მის მნიშვნელობას:
a=2სთ=23, 0676=6, 1352 სმ
ექვსკუთხა პირამიდის მოცულობის პოვნა შესაძლებელია არა მხოლოდ ფიგურის სიმაღლისა და მისი ფუძის მხარის მნიშვნელობით. პირამიდის გამოსათვლელად საკმარისია ვიცოდეთ პირამიდის ორი განსხვავებული წრფივი პარამეტრი, მაგალითად, აპოტემა და გვერდითი კიდის სიგრძე.
