იმპულსის და კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონი: პრობლემის გადაჭრის მაგალითი

2024 ავტორი: Angel Austin | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-02 17:50

როდესაც გიწევთ ფიზიკის ამოცანების ამოხსნა ობიექტების მოძრაობასთან დაკავშირებით, ხშირად გამოსადეგი აღმოჩნდება იმპულსის შენარჩუნების კანონის გამოყენება. რა არის სხეულის წრფივი და წრიული მოძრაობის იმპულსი და რა არის ამ მნიშვნელობის შენარჩუნების კანონის არსი, განხილულია სტატიაში.

წრფივი იმპულსის კონცეფცია

ისტორიული მონაცემები აჩვენებს, რომ პირველად ეს ღირებულება გალილეო გალილეიმ თავის სამეცნიერო ნაშრომებში XVII საუკუნის დასაწყისში განიხილა. შემდგომში ისააკ ნიუტონმა შეძლო იმპულსის ცნების ჰარმონიულად ინტეგრირება (იმპულსის უფრო სწორი სახელი) სივრცეში ობიექტების მოძრაობის კლასიკურ თეორიაში.

აღნიშნეთ იმპულსი, როგორც p¯, შემდეგ მისი გამოთვლის ფორმულა დაიწერება როგორც:

p¯=mv¯.

აქ m არის მასა, v¯ არის მოძრაობის სიჩქარე (ვექტორული მნიშვნელობა). ეს თანასწორობა გვიჩვენებს, რომ მოძრაობის რაოდენობა არის ობიექტისთვის დამახასიათებელი სიჩქარე, სადაც მასა გამრავლების ფაქტორის როლს ასრულებს. მოძრაობის რაოდენობაარის ვექტორული სიდიდე, რომელიც მიმართულია იმავე მიმართულებით, როგორც სიჩქარე.

ინტუიციურად, რაც უფრო დიდია მოძრაობის სიჩქარე და სხეულის მასა, მით უფრო რთულია მისი შეჩერება, ანუ უფრო დიდი კინეტიკური ენერგია აქვს მას.

მოძრაობის რაოდენობა და მისი ცვლილება

შეგიძლიათ გამოიცნოთ, რომ სხეულის p¯ მნიშვნელობის შესაცვლელად საჭიროა გარკვეული ძალის გამოყენება. დაე ძალა F¯ იმოქმედოს Δt დროის ინტერვალზე, მაშინ ნიუტონის კანონი საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ ტოლობა:

F¯Δt=ma¯Δt; ამიტომ F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.

მნიშვნელობას, რომელიც ტოლია Δt დროის ინტერვალისა და F¯ ძალის ნამრავლის ნამრავლს, ამ ძალის იმპულსი ეწოდება. ვინაიდან ის უდრის იმპულსის ცვლილებას, ამ უკანასკნელს ხშირად უწოდებენ უბრალოდ იმპულსს, რაც ვარაუდობს, რომ რაღაც გარე ძალმა F¯ შექმნა იგი.

ამგვარად, იმპულსის ცვლილების მიზეზი არის გარე ძალის იმპულსი. Δp¯-ის მნიშვნელობამ შეიძლება გამოიწვიოს როგორც p¯ მნიშვნელობის ზრდა, თუ კუთხე F¯ და p¯ შორის მწვავეა, ასევე p¯-ის მოდულის შემცირება, თუ ეს კუთხე ბლაგვია. უმარტივესი შემთხვევებია სხეულის აჩქარება (კუთხე F¯ და p¯ შორის არის ნული) და მისი შენელება (კუთხე F¯ და p¯ ვექტორებს შორის არის 180o).

როდესაც იმპულსი შენარჩუნებულია: კანონი

თუ სხეულის სისტემა არ არისგარე ძალები მოქმედებენ და მასში არსებული ყველა პროცესი შემოიფარგლება მხოლოდ მისი კომპონენტების მექანიკური ურთიერთქმედებით, მაშინ იმპულსის თითოეული კომპონენტი უცვლელი რჩება თვითნებურად დიდი ხნის განმავლობაში. ეს არის სხეულების იმპულსის შენარჩუნების კანონი, რომელიც მათემატიკურად იწერება შემდეგნაირად:

p¯=∑_ip_{i¯=კონსტ ან}

∑_ip_ix=const; ∑_ip_iy=const; ∑_ip_{iz=კონსტ.}

I არის მთელი რიცხვი, რომელიც რიცხავს სისტემის ობიექტს, ხოლო ინდექსები x, y, z აღწერს იმპულსის კომპონენტებს თითოეული კოორდინატთა ღერძისთვის დეკარტის მართკუთხა სისტემაში.

პრაქტიკაში ხშირად საჭიროა სხეულების შეჯახების ერთგანზომილებიანი ამოცანების ამოხსნა, როცა ცნობილია საწყისი პირობები და აუცილებელია სისტემის მდგომარეობის დადგენა ზემოქმედების შემდეგ. ამ შემთხვევაში, იმპულსი ყოველთვის შენარჩუნებულია, რაც არ შეიძლება ითქვას კინეტიკურ ენერგიაზე. ეს უკანასკნელი ზემოქმედებამდე და მის შემდეგ უცვლელი იქნება მხოლოდ ერთ შემთხვევაში: როდესაც არის აბსოლუტურად ელასტიური ურთიერთქმედება. v₁ და v_{2 სიჩქარით მოძრავი ორი სხეულის შეჯახების ამ შემთხვევაში,იმპულსის შენარჩუნების ფორმულა მიიღებს ფორმას:}

მ₁ v₁ + m₂ v ₂=m₁ u₁ + m₂ u 2_.

აქ სიჩქარე u₁ და u_{2 ახასიათებს სხეულების მოძრაობას დარტყმის შემდეგ. გაითვალისწინეთ, რომ კონსერვაციის კანონის ამ ფორმაში აუცილებელია გავითვალისწინოთ სიჩქარის ნიშანი: თუ ისინი მიმართულია ერთმანეთისკენ, მაშინ უნდა იქნას მიღებული.დადებითი და მეორე უარყოფითი.}

სრულყოფილად არაელასტიური შეჯახებისთვის (დარტყმის შემდეგ ორი სხეული ერთმანეთს ეწებება), იმპულსის შენარჩუნების კანონს აქვს ფორმა:

მ₁ v₁ + m₂ v ₂=(მ₁+ m_2)u.

პრობლემის გადაჭრა p¯-ის კონსერვაციის კანონის შესახებ

მოდით გადავწყვიტოთ შემდეგი პრობლემა: ორი ბურთი ტრიალებს ერთმანეთისკენ. ბურთების მასები ერთნაირია და მათი სიჩქარეა 5 მ/წმ და 3 მ/წმ. თუ ვივარაუდებთ, რომ ხდება აბსოლუტურად ელასტიური შეჯახება, აუცილებელია მის შემდეგ ბურთების სიჩქარის პოვნა.

იმპულსის შენარჩუნების კანონის გამოყენებით ერთგანზომილებიანი შემთხვევისთვის და იმის გათვალისწინებით, რომ კინეტიკური ენერგია შენარჩუნებულია დარტყმის შემდეგ, ვწერთ:

v_{1 -} v₂=u₁ + u _2;

v₁² + v₂^2=u12 ^{+ u}22^.

აქ ჩვენ მაშინვე შევამცირეთ ბურთების მასები მათი თანასწორობის გამო და ასევე გავითვალისწინეთ ის ფაქტი, რომ სხეულები მოძრაობენ ერთმანეთისკენ.

უფრო ადვილია სისტემის ამოხსნის გაგრძელება, თუ შეცვლით ცნობილ მონაცემებს. ჩვენ ვიღებთ:

5 - 3 - u₂=u_1;

5²+ 3²=u₁²+ u₂^2.

უ_{1 ჩანაცვლებით მეორე განტოლებაში, მივიღებთ:}

2 - u₂=u_1;

34=(2 - u₂)²+u₂ ²=4 - 4u₂ + 2u₂²; აქედან გამომდინარე,u₂²- 2u_{2 - 15=0.}

მივიღეთ კლასიკური კვადრატული განტოლება. ჩვენ ვხსნით მას დისკრიმინანტის საშუალებით, ვიღებთ:

D=4 - 4(-15)=64.

u_{2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) მ/კ.}

მივიღეთ ორი გამოსავალი. თუ მათ ჩავანაცვლებთ პირველ გამოსახულებაში და განვსაზღვრავთ u₁, მაშინ მივიღებთ შემდეგ მნიშვნელობას: u₁=-3 მ/წმ, u ₂=5 მ/წმ; u₁=5 მ/წმ, u_{2=-3 მ/წმ. რიცხვების მეორე წყვილი მოცემულია ამოცანის პირობებში, ამიტომ იგი არ შეესაბამება სიჩქარის რეალურ განაწილებას დარტყმის შემდეგ.}

ამგვარად, რჩება მხოლოდ ერთი გამოსავალი: u₁=-3 მ/წმ, u_{2=5 მ/წმ. ეს კურიოზული შედეგი ნიშნავს, რომ ცენტრალური ელასტიური შეჯახებისას თანაბარი მასის ორი ბურთი უბრალოდ ცვლის თავის სიჩქარეს.}

იმპულსის მომენტი

ყველაფერი, რაც ზემოთ ითქვა, ეხება მოძრაობის ხაზოვან ტიპს. თუმცა, ირკვევა, რომ მსგავსი რაოდენობების შეტანა შესაძლებელია გარკვეული ღერძის გარშემო სხეულების წრიული გადაადგილების შემთხვევაშიც. კუთხოვანი იმპულსი, რომელსაც ასევე უწოდებენ კუთხურ იმპულსს, გამოითვლება როგორც მატერიალური წერტილის ბრუნვის ღერძთან და ამ წერტილის იმპულსის დამაკავშირებელი ვექტორის ნამრავლი. ანუ ხდება ფორმულა:

L¯=r¯p¯, სადაც p¯=mv¯.

იმპულსი, ისევე როგორც p¯, არის ვექტორი, რომელიც მიმართულია პერპენდიკულარულად r¯ და p¯ ვექტორებზე აგებულ სიბრტყეზე.

L¯-ის მნიშვნელობა მბრუნავი სისტემის მნიშვნელოვანი მახასიათებელია, რადგან ის განსაზღვრავს მასში შენახულ ენერგიას.

იმპულსის მომენტი და კონსერვაციის კანონი

კუთხური იმპულსი შენარჩუნებულია, თუ სისტემაზე არ მოქმედებს გარე ძალები (ჩვეულებრივ, ისინი ამბობენ, რომ ძალების მომენტი არ არსებობს). წინა აბზაცში მოცემული გამოთქმა მარტივი გარდაქმნების საშუალებით შეიძლება დაიწეროს პრაქტიკისთვის უფრო მოსახერხებელი ფორმით:

L¯=Iω¯, სადაც I=mr2 არის მატერიალური წერტილის ინერციის მომენტი, ω¯ არის კუთხური სიჩქარე.

ინერციის I მომენტს, რომელიც გამოსახულებაში გამოჩნდა, ბრუნვისთვის ზუსტად იგივე მნიშვნელობა აქვს, როგორც წრფივი მოძრაობის ჩვეულებრივ მასას.

თუ არსებობს სისტემის შიდა გადაწყობა, რომელშიც მე იცვლება, მაშინ ω¯ ასევე არ რჩება მუდმივი. უფრო მეტიც, ორივე ფიზიკური სიდიდის ცვლილება ხდება ისე, რომ ქვემოთ მოცემული ტოლობა რჩება ძალაში:

I₁ ω₁¯=I₂ ω _2¯.

ეს არის L¯ კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონი. მის გამოვლინებას აკვირდებოდა ყველა ადამიანი, ვინც ერთხელ მაინც დაესწრო ბალეტს ან ფიგურულ სრიალს, სადაც სპორტსმენები ასრულებენ პირუეტებს ბრუნვით.