ლოგარითმები: მაგალითები და ამონახსნები

2024 ავტორი: Angel Austin | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-02 17:50

როგორც მოგეხსენებათ, გამონათქვამების რაოდენობაზე გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები ყოველთვის იკრიბება (a^ba^c=a^{b+ c). ეს მათემატიკური კანონი გამოიყვანა არქიმედესმა, მოგვიანებით კი, მე-8 საუკუნეში, მათემატიკოსმა ვირასენმა შექმნა მთელი რიცხვების ინდიკატორების ცხრილი. სწორედ ისინი ემსახურებოდნენ ლოგარითმების შემდგომ აღმოჩენას. ამ ფუნქციის გამოყენების მაგალითები შეგიძლიათ ნახოთ თითქმის ყველგან, სადაც საჭიროა რთული გამრავლების გამარტივება მარტივ შეკრებამდე. თუ 10 წუთს დაუთმობთ ამ სტატიის კითხვას, ჩვენ აგიხსნით რა არის ლოგარითმები და როგორ იმუშაოთ მათთან. მარტივი და ხელმისაწვდომი ენა.}

განმარტება მათემატიკაში

ლოგარითმი არის შემდეგი ფორმის გამოხატულება: log_ab=c c", რომელშიც თქვენ უნდა აწიოთ ფუძე "a", რათა საბოლოოდ მიიღოთ მნიშვნელობა " ბ". მოდით გავაანალიზოთ ლოგარითმი მაგალითების გამოყენებით, ვთქვათ არის გამონათქვამი log_{28. როგორ მოვძებნოთ პასუხი? ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა იპოვოთ ისეთი ხარისხი, რომ 2-დან საჭირო ხარისხამდე მიიღოთ 8. რამდენიმე გამოთვლების შემდეგ თქვენს გონებაში მივიღებთ რიცხვს 3! და ეს მართალია, რადგან2 გაზრდილი 3-ის ხარისხზე იძლევა პასუხს 8.}

ლოგარითმების მრავალფეროვნება

ბევრი მოსწავლისა და სტუდენტისთვის ეს თემა რთული და გაუგებარი ჩანს, მაგრამ სინამდვილეში, ლოგარითმები არც ისე საშინელია, მთავარია გაიგოთ მათი ზოგადი მნიშვნელობა და გახსოვდეთ მათი თვისებები და გარკვეული წესები. არსებობს ლოგარითმული გამოსახულებების სამი განსხვავებული ტიპი:

1. ბუნებრივი ლოგარითმი ln a, სადაც საფუძველი არის ეილერის რიცხვი (e=2, 7).
2. ათწილადი ლოგარითმი lg a, სადაც ფუძე არის რიცხვი 10.
3. ნებისმიერი b რიცხვის ლოგარითმი a>1 საფუძვლამდე.

თითოეული მათგანი ამოხსნილია სტანდარტული გზით, მათ შორის გამარტივება, შემცირება და შემდგომი შემცირება ერთ ლოგარითმზე ლოგარითმული თეორემების გამოყენებით. ლოგარითმების სწორი მნიშვნელობების მისაღებად უნდა გახსოვდეთ მათი თვისებები და მოქმედებების თანმიმდევრობა მათი ამოხსნისას.

წესები და ზოგიერთი შეზღუდვა

მათემატიკაში არის რამდენიმე წესი-შეზღუდვა, რომლებიც მიღებულია აქსიომად, ანუ ისინი არ არის შეთანხმებული და ჭეშმარიტია. მაგალითად, შეუძლებელია რიცხვების ნულზე გაყოფა და ასევე შეუძლებელია უარყოფითი რიცხვებიდან ლუწი ფესვის აღება. ლოგარითმებს ასევე აქვთ საკუთარი წესები, რომელთა დაცვით შეგიძლიათ მარტივად ისწავლოთ მუშაობა გრძელი და ტევადი ლოგარითმული გამონათქვამებითაც კი:

• "a"-ს ფუძე ყოველთვის უნდა იყოს ნულზე დიდი და ამავე დროს არ იყოს 1-ის ტოლი, წინააღმდეგ შემთხვევაში გამოთქმა დაკარგავს მნიშვნელობას, რადგან "1" და "0" ნებისმიერი ხარისხით ყოველთვის არის მათი მნიშვნელობების ტოლია;
• თუ არის > 0, მაშინ b>0,გამოდის, რომ "c" ასევე უნდა იყოს ნულზე მეტი.

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები?

მაგალითად, მიეცა დავალება, ვიპოვოთ პასუხი განტოლებაზე 10^x=100. ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა აირჩიოთ ასეთი ძალა, ათი რიცხვის აწევით, ჩვენ მიიღეთ 100. ეს, რა თქმა უნდა, კვადრატული სიმძლავრე! 10^2=100.

ახლა წარმოვადგინოთ ეს გამონათქვამი ლოგარითმული სახით. ვიღებთ log_{10100=2. ლოგარითმის ამოხსნისას ყველა მოქმედება პრაქტიკულად ემთხვევა იმ სიმძლავრის პოვნას, რომელშიც უნდა შეიყვანოთ ლოგარითმის საფუძველი მოცემული რიცხვის მისაღებად.}

უცნობი ხარისხის მნიშვნელობის ზუსტად დასადგენად, თქვენ უნდა ისწავლოთ როგორ იმუშაოთ ხარისხების ცხრილთან. ასე გამოიყურება:

როგორც ხედავთ, ზოგიერთი მაჩვენებლის გამოცნობა შესაძლებელია ინტუიციურად, თუ თქვენ გაქვთ ტექნიკური აზროვნება და ცოდნა გამრავლების ცხრილის შესახებ. თუმცა, უფრო დიდ მნიშვნელობებს დასჭირდება დენის მაგიდა. მისი გამოყენება შეუძლიათ მათაც კი, ვისაც საერთოდ არაფერი ესმის რთულ მათემატიკური თემებში. მარცხენა სვეტი შეიცავს რიცხვებს (ფუძე a), რიცხვების ზედა მწკრივი არის c სიმძლავრის მნიშვნელობა, რომელზედაც ამაღლებულია რიცხვი. კვეთაზე, უჯრედები განსაზღვრავენ იმ რიცხვების მნიშვნელობებს, რომლებიც პასუხობენ (ac=b). ავიღოთ, მაგალითად, პირველივე უჯრა 10-ით და კვადრატში მივიღოთ მნიშვნელობა 100, რომელიც მითითებულია ჩვენი ორი უჯრედის გადაკვეთაზე. ყველაფერი ისეთი მარტივი და მარტივია, რომ ყველაზე ნამდვილი ჰუმანისტიც კი მიხვდება!

განტოლებები და უტოლობა

თურმე როცაგარკვეულ პირობებში, ექსპონენტი არის ლოგარითმი. ამიტომ, ნებისმიერი მათემატიკური რიცხვითი გამონათქვამი შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმული განტოლების სახით. მაგალითად, 3⁴=81 შეიძლება დაიწეროს, როგორც 81-ის ლოგარითმი მე-3 საფუძვლამდე, რომელიც არის ოთხი (log₃81=4). უარყოფითი გრადუსებისთვის, წესები იგივეა: 2^-5=1/32 დაწერილი ლოგარითმის სახით, მივიღებთ log_{2 (1/32)=-5. მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე მომხიბვლელი განყოფილებაა „ლოგარითმების“თემა. განტოლებათა მაგალითებსა და ამონახსნებს განვიხილავთ ოდნავ დაბლა, მათი თვისებების შესწავლისთანავე. ახლა ვნახოთ, როგორ გამოიყურება უტოლობები და როგორ განვასხვავოთ ისინი განტოლებისგან.}

მოყვანილია შემდეგი გამოთქმა: log_{2(x-1) > 3 - ეს არის ლოგარითმული უტოლობა, რადგან უცნობი მნიშვნელობა "x" არის ნიშნის ქვეშ. ლოგარითმი. გამოთქმა ასევე ადარებს ორ მნიშვნელობას: სასურველი რიცხვის ორი ფუძის ლოგარითმი მეტია სამზე.}

ყველაზე მნიშვნელოვანი განსხვავება ლოგარითმულ განტოლებებსა და უტოლობას შორის არის ის, რომ განტოლებები ლოგარითმებით (მაგალითი - ლოგარითმი₂x=√9) _{გულისხმობს პასუხში ერთი ან მეტი კონკრეტული რიცხვითი მნიშვნელობა, ხოლო უტოლობის ამოხსნისას განისაზღვრება როგორც მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი, ასევე ამ ფუნქციის წყვეტის წერტილები. შედეგად, პასუხი არ არის ცალკეული რიცხვების მარტივი ნაკრები, როგორც განტოლების პასუხში, არამედ უწყვეტი სერია ან რიცხვების სიმრავლე.}

ძირითადი თეორემები ლოგარითმებზე

როდესაც პრიმიტიული ამოცანები ამოხსნით ლოგარითმის მნიშვნელობების მოსაძებნად, შეიძლება არ იცოდეთ მისი თვისებები. თუმცა, როდესაც საქმე ეხება ლოგარითმულ განტოლებებს ან უტოლობას, უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია ლოგარითმების ყველა ძირითადი თვისების მკაფიოდ გაგება და პრაქტიკაში გამოყენება. განტოლებების მაგალითებს მოგვიანებით გავეცნობით, ჯერ თითოეული თვისება უფრო დეტალურად გავაანალიზოთ.

1. ძირითადი იდენტობა ასე გამოიყურება: alogaB=B. იგი გამოიყენება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ a მეტია 0-ზე, არ უდრის ერთს და B არის ნულზე მეტი.
2. პროდუქტის ლოგარითმი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ფორმულით: log_d(s₁s_{2)=ჟურნალი}d_s1 _{+ ჟურნალი}d_s2. _{ამ შემთხვევაში სავალდებულო პირობაა: d, s}1 _{და s}2 _{> 0; a≠1. თქვენ შეგიძლიათ დაასაბუთოთ ლოგარითმების ამ ფორმულის მაგალითები და ამონახსნები. შედით} a_s1 _=f1 _{და შესვლა}ა_s 2_=f2_{, შემდეგ a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{ჩვენ ვიღებთ, რომ s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(ხარისხის თვისებები) და შემდგომი განმარტებით: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_{=შესვლა} a_{s1 + ჟურნალი}a_s2, _{რაც დასამტკიცებელი იყო.}
3. რაოდენობის ლოგარითმი ასე გამოიყურება: log_a(s_1/s₂)=ჟურნალი _as₁- ჟურნალი_აs_2.
4. თეორემა ფორმულის სახით იღებს შემდეგ ფორმას: log_a^qbⁿ =n/q ჟურნალი_ab.

ამ ფორმულას ეწოდება "ლოგარითმის ხარისხის თვისება". ის წააგავს ჩვეულებრივი ხარისხების თვისებებს და გასაკვირი არ არის, რადგან ყველა მათემატიკა ემყარება რეგულარულ პოსტულატებს. მოდით შევხედოთ მტკიცებულებას.

Let log_ab=t, მივიღებთ a^t=b. თუ ორივე მხარეს აწევთ m სიმძლავრემდე: a^tn=b^;

მაგრამ რადგან a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, შესაბამისად შესვლა}aq _bn ^{=(nt)/t, შემდეგ შესვლა}aq _bn^{=n/q ჟურნალი}a_{ბ. დადასტურებული თეორემა.}

პრობლემებისა და უტოლობების მაგალითები

ლოგარითმის ამოცანების ყველაზე გავრცელებული ტიპები არის განტოლებებისა და უტოლობების მაგალითები. ისინი გვხვდება თითქმის ყველა პრობლემურ წიგნში, ასევე შედის მათემატიკაში გამოცდების სავალდებულო ნაწილში. უნივერსიტეტში ჩასასვლელად ან მათემატიკაში მისაღები ტესტების ჩასაბარებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ როგორ გადაჭრათ ასეთი ამოცანები სწორად.

სამწუხაროდ, არ არსებობს ერთიანი გეგმა ან სქემა ლოგარითმის უცნობი მნიშვნელობის ამოხსნისა და განსაზღვრისთვის, მაგრამ გარკვეული წესები შეიძლება გამოყენებულ იქნას თითოეულ მათემატიკური უტოლობის ან ლოგარითმული განტოლებისთვის. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, შეიძლება თუ არა გამოხატვის გამარტივება ან შემცირება ზოგად ფორმამდე. თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ გრძელი ლოგარითმული გამონათქვამები, თუ სწორად გამოიყენებთ მათ თვისებებს. მოდით გავეცნოთ მათ მალე.

ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას,აუცილებელია განვსაზღვროთ რა სახის ლოგარითმი გვაქვს ჩვენს წინაშე: გამოხატვის მაგალითი შეიძლება შეიცავდეს ბუნებრივ ლოგარითმს ან ათწილადს.

აქ არის ათობითი ლოგარითმების მაგალითები: ln100, ln1026. მათი გადაწყვეტა ემყარება იმ ფაქტს, რომ თქვენ უნდა დაადგინოთ ის ხარისხი, რომლითაც ფუძე 10 ტოლი იქნება, შესაბამისად, 100 და 1026. ბუნებრივი ლოგარითმების ამონახსნებისთვის საჭიროა ლოგარითმული იდენტობების ან მათი თვისებების გამოყენება. მოდით შევხედოთ სხვადასხვა ტიპის ლოგარითმული ამოცანების ამოხსნის მაგალითებს.

როგორ გამოვიყენოთ ლოგარითმის ფორმულები: მაგალითებითა და ამონახსნებით

მაშ, მოდით შევხედოთ ლოგარითმების შესახებ ძირითადი თეორემების გამოყენების მაგალითებს.

1. პროდუქტის ლოგარითმის თვისება შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამოცანებში, სადაც აუცილებელია b რიცხვის დიდი მნიშვნელობის დაშლა უფრო მარტივ ფაქტორებად. მაგალითად, ჟურნალი₂4 + ჟურნალი₂128=ჟურნალი₂(4128)=ჟურნალი_{2512. პასუხი არის 9.}
2. log₄8=შესვლა_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - როგორც ხედავთ, ლოგარითმის ხარისხის მეოთხე თვისების გამოყენებით, ჩვენ მოვახერხეთ ერთი შეხედვით ამოხსნა რთული და გადაუჭრელი გამოთქმა. ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის ბაზის ფაქტორები და შემდეგ ამოიღოთ ძალა ლოგარითმის ნიშნიდან.}

დავალებები გამოცდიდან

ლოგარითმები ხშირად გვხვდება მისაღებ გამოცდებში, განსაკუთრებით ბევრი ლოგარითმული პრობლემა ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში (სახელმწიფო გამოცდა სკოლის ყველა კურსდამთავრებულისთვის). ჩვეულებრივ, ეს ამოცანები წარმოდგენილია არა მხოლოდ A ნაწილში (ყველაზე მეტადგამოცდის მარტივი სატესტო ნაწილი), მაგრამ ასევე C ნაწილი (ყველაზე რთული და მოცულობითი ამოცანები). გამოცდა მოითხოვს ზუსტ და სრულყოფილ ცოდნას თემის „ბუნებრივი ლოგარითმები“.

მაგალითები და პრობლემის გადაწყვეტა აღებულია გამოცდის ოფიციალური ვერსიებიდან. ვნახოთ, როგორ წყდება ასეთი ამოცანები.

მოცემულია log₂(2x-1)=4. ამოხსნა:

გადაწერეთ გამოთქმა, ოდნავ გაამარტივეთ იგი log_2(2x-1)=22^{, ლოგარითმის განმარტებით მივიღებთ, რომ 2x-1=2}4^{, შესაბამისად 2x=17; x=8, 5.}

მიჰყვება რამდენიმე სახელმძღვანელო მითითებას, რომლის მიხედვითაც შეგიძლიათ მარტივად ამოხსნათ ყველა განტოლება, რომელიც შეიცავს გამონათქვამებს, რომლებიც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არიან.

• საუკეთესოა ყველა ლოგარითმის შემცირება ერთსა და იმავე ფუძემდე, რათა გამოსავალი არ იყოს რთული და დამაბნეველი.
• ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფი ყველა გამონათქვამი მითითებულია, როგორც დადებითი, ამიტომ ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფი გამოხატვის მაჩვენებლის გამრავლებისას, ლოგარითმის ქვეშ დარჩენილი გამოსახულება დადებითი უნდა იყოს.