როგორ ვიპოვოთ მართკუთხა სამკუთხედის გვერდები? გეომეტრიის საფუძვლები

2024 ავტორი: Angel Austin | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2023-12-17 05:32

ფეხები და ჰიპოტენუზა მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებია. პირველი არის სეგმენტები, რომლებიც მიმდებარეა მართი კუთხით, ხოლო ჰიპოტენუზა ფიგურის ყველაზე გრძელი ნაწილია და კუთხის საპირისპიროა 90^o. პითაგორას სამკუთხედი არის ის, რომლის გვერდები ნატურალური რიცხვების ტოლია; მათ სიგრძეებს ამ შემთხვევაში ეწოდება "პითაგორას სამეული".

ეგვიპტური სამკუთხედი

იმისთვის, რომ ახლანდელმა თაობამ გეომეტრია ისე ისწავლოს, როგორც ახლა სკოლაში ისწავლება, ის უკვე რამდენიმე საუკუნეა ვითარდება. ფუნდამენტური წერტილი არის პითაგორას თეორემა. მართკუთხა სამკუთხედის გვერდები (ფიგურა ცნობილია მთელ მსოფლიოში) არის 3, 4, 5.

რამდენიმე ადამიანი არ იცნობს ფრაზას "პითაგორას შარვალი ყველა მიმართულებით თანაბარია". თუმცა, თეორემა სინამდვილეში ასე ჟღერს: c² (ჰიპოტენუზის კვადრატი)=a²+b²(კვადრატების ჯამი).

მათემატიკოსებს შორის სამკუთხედს გვერდებით 3, 4, 5 (სმ, მ და ა.შ.) ეწოდება "ეგვიპტურ".საინტერესოა, რომ წრის რადიუსი, რომელიც ფიგურაშია ჩაწერილი, ერთის ტოლია. სახელი წარმოიშვა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მე-5 საუკუნეში, როდესაც ბერძენი ფილოსოფოსები იმოგზაურეს ეგვიპტეში.

პირამიდების აგებისას, არქიტექტორებმა და ამზომველებმა გამოიყენეს თანაფარდობა 3:4:5. ასეთი სტრუქტურები პროპორციული, თვალისთვის სასიამოვნო და ფართო აღმოჩნდა და ასევე იშვიათად იშლებოდა.

მართი კუთხის ასაგებად მშენებლებმა გამოიყენეს თოკი, რომელზეც 12 კვანძი იყო მიბმული. ამ შემთხვევაში მართკუთხა სამკუთხედის აგების ალბათობა გაიზარდა 95%-მდე.

თანაბარი ფიგურების ნიშნები

• მწვავე კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში და დიდი გვერდი, რომლებიც უდრის მეორე სამკუთხედის იგივე ელემენტებს, ფიგურათა თანასწორობის უდავო ნიშანია. კუთხეების ჯამის გათვალისწინებით, ადვილია იმის დამტკიცება, რომ მეორე მახვილი კუთხეებიც ტოლია. ამრიგად, სამკუთხედები მეორე მახასიათებელში იდენტურია.
• როდესაც ორი ფიგურა ერთმანეთზეა გადატანილი, გადაატრიალეთ ისინი ისე, რომ ისინი ერთად გახდნენ ერთი ტოლფერდა სამკუთხედი. მისი თვისების მიხედვით, გვერდები, უფრო სწორად, ჰიპოტენუსები, ტოლია, ისევე როგორც კუთხეები ფუძესთან, რაც ნიშნავს, რომ ეს ფიგურები ერთნაირია.

პირველი ნიშნით ძალიან ადვილია იმის დამტკიცება, რომ სამკუთხედები მართლაც ტოლია, მთავარია, რომ ორი პატარა გვერდი (ანუ ფეხები) ერთმანეთის ტოლია.

სამკუთხედები იგივე იქნება II მახასიათებელში, რომლის არსი არის ფეხისა და მახვილი კუთხის თანასწორობა.

მართკუთხა სამკუთხედის თვისებები

სიმაღლე ჩამოშვებული მარჯვენა კუთხიდან ყოფს ფიგურას ორ თანაბარ ნაწილად.

მართკუთხა სამკუთხედის გვერდები და მისი მედიანა ადვილად ამოსაცნობია წესით: მედიანა, რომელიც დაბლაა ჰიპოტენუზაზე, უდრის მისი ნახევარს. ფიგურის ფართობის პოვნა შესაძლებელია როგორც ჰერონის ფორმულით, ასევე იმ განცხადებით, რომ ის უდრის ფეხების ნამრავლის ნახევარს.

მართკუთხა სამკუთხედში, კუთხეების თვისებები 30^o, 45^o და 60^o.

• კუთხით, რომელიც არის 30^o, გახსოვდეთ, რომ საპირისპირო ფეხი უდრის უდიდესი მხარის 1/2-ს.
• თუ კუთხე არის 45^o, მაშინ მეორე მახვილი კუთხე ასევე არის 45^o. ეს იმაზე მეტყველებს, რომ სამკუთხედი ტოლფერდაა და მისი ფეხები ერთნაირია.
• 60^o კუთხის თვისება არის ის, რომ მესამე კუთხის ზომა არის 30^o.

ფართობის გარკვევა მარტივია სამი ფორმულიდან ერთით:

1. სიმაღლისა და მხარის გავლით, რომელზეც ის ეცემა;
2. ჰერონის ფორმულის მიხედვით;
3. გვერდებზე და მათ შორის კუთხე.

მართკუთხა სამკუთხედის გვერდები, უფრო სწორად, კიდურები ერთმანეთს ემთხვევა ორი სიმაღლით. მესამეს საპოვნელად აუცილებელია მიღებული სამკუთხედის გათვალისწინება და შემდეგ პითაგორას თეორემის გამოყენებით გამოთვალოთ საჭირო სიგრძე. ამ ფორმულის გარდა, ასევე არსებობს ჰიპოტენუზის ფართობის და სიგრძის ორჯერ შეფარდება. სტუდენტებს შორის ყველაზე გავრცელებული გამოთქმა პირველია, რადგან ის ნაკლებ გამოთვლებს მოითხოვს.

თეორემები, რომლებიც გამოიყენება მართკუთხაზესამკუთხედი

მართკუთხა სამკუთხედის გეომეტრია მოიცავს თეორემების გამოყენებას, როგორიცაა:

1. პითაგორას თეორემა. მისი არსი მდგომარეობს იმაში, რომ ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს. ევკლიდეს გეომეტრიაში ეს კავშირი საკვანძოა. შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა, თუ მოცემულია სამკუთხედი, მაგალითად, SNH. SN არის ჰიპოტენუზა და უნდა მოიძებნოს. შემდეგ SN²=NH²+HS².



2. კოსინუსების თეორემა. აზოგადებს პითაგორას თეორემას: g²=f²+s²-2fscos მათ შორის კუთხის. მაგალითად, მოცემულია სამკუთხედი DOB. ფეხი DB და ჰიპოტენუზა DO ცნობილია, აუცილებელია OB-ის პოვნა. შემდეგ ფორმულა იღებს ამ ფორმას: OB²=DB²+DO²-2DBDO cos კუთხე D. არსებობს სამი შედეგი: სამკუთხედის კუთხე იქნება მკვეთრი, თუ მესამეს სიგრძის კვადრატი გამოვაკლდება ორი გვერდის კვადრატების ჯამს, შედეგი უნდა იყოს ნულზე ნაკლები. კუთხე ბლაგვია, თუ ეს გამოხატულება ნულზე მეტია. კუთხე არის მართი კუთხე, როცა უდრის ნულს.
3. სინუს თეორემა. ის გვიჩვენებს მხარეთა ურთიერთობას საპირისპირო კუთხეებთან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის გვერდების სიგრძის თანაფარდობა მოპირდაპირე კუთხეების სინუსებთან. სამკუთხედში HFB, სადაც ჰიპოტენუზა არის HF, ეს იქნება ჭეშმარიტი: HF/B კუთხის sin=FB/კუთხის sin H=HB/კუთხის sin.