სტერეომეტრია, როგორც გეომეტრიის ფილიალი სივრცეში, სწავლობს პრიზმების, ცილინდრების, კონუსების, ბურთების, პირამიდების და სხვა სამგანზომილებიანი ფიგურების თვისებებს. ეს სტატია ეძღვნება ექვსკუთხა რეგულარული პირამიდის მახასიათებლებისა და თვისებების დეტალურ მიმოხილვას.
რომელი პირამიდა შეისწავლება
რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდა არის ფიგურა სივრცეში, რომელიც შემოიფარგლება ერთი ტოლგვერდა და ტოლკუთხა ექვსკუთხედით და ექვსი იდენტური ტოლგვერდა სამკუთხედით. ეს სამკუთხედები ასევე შეიძლება იყოს ტოლგვერდა გარკვეულ პირობებში. ეს პირამიდა ნაჩვენებია ქვემოთ.
აქაც იგივე ფიგურაა ნაჩვენები, მხოლოდ ერთ შემთხვევაში ის გვერდითი სახით არის მობრუნებული მკითხველისკენ, ხოლო მეორეში - გვერდითი კიდით.
რეგულარულ ექვსკუთხა პირამიდას აქვს 7 სახე, რომლებიც ზემოთ იყო ნახსენები. მას ასევე აქვს 7 წვერო და 12 კიდე. პრიზმებისგან განსხვავებით, ყველა პირამიდას აქვს ერთი სპეციალური წვერო, რომელიც წარმოიქმნება გვერდითი კვეთით.სამკუთხედები. რეგულარული პირამიდისთვის ის მნიშვნელოვან როლს ასრულებს, რადგან მისგან ფიგურის ფუძემდე ჩამოშვებული პერპენდიკულური არის სიმაღლე. გარდა ამისა, სიმაღლე აღინიშნა ასო h.
გამოსახულ პირამიდას ეწოდება სწორი ორი მიზეზის გამო:
- მის ფუძესთან არის ექვსკუთხედი გვერდის ტოლი სიგრძით a და ტოლი კუთხეებით 120o;
- პირამიდის სიმაღლე h კვეთს ექვსკუთხედს ზუსტად მის ცენტრში (გადაკვეთის წერტილი მდებარეობს ერთსა და იმავე მანძილზე ყველა მხრიდან და ექვსკუთხედის ყველა წვეროდან).
ზედაპირის ფართობი
რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის თვისებები განიხილება მისი ფართობის განსაზღვრებიდან. ამისათვის პირველ რიგში სასარგებლოა ფიგურის გაშლა თვითმფრინავზე. მისი სქემატური წარმოდგენა ნაჩვენებია ქვემოთ.
შეიძლება დავინახოთ, რომ გადახვევის ფართობი და, შესაბამისად, განსახილველი ფიგურის მთელი ზედაპირი, უდრის ექვსი ერთნაირი სამკუთხედის და ერთი ექვსკუთხედის ფართობების ჯამს..
ექვსკუთხედის ფართობის დასადგენად S6 გამოიყენეთ უნივერსალური ფორმულა ჩვეულებრივი n-გონებისთვის:
S=n/4a2ctg(pi/n)=>
S6=3√3/2a2.
სადაც a არის ექვსკუთხედის გვერდის სიგრძე.
გვერდითი მხარის S 3 ფართობი შეგიძლიათ იპოვოთ, თუ იცით მისი სიმაღლის მნიშვნელობა hb:
S3=1/2სთba.
იმიტომ, რომ ექვსივესამკუთხედები ერთმანეთის ტოლია, შემდეგ ვიღებთ სამუშაო გამოსახულებას ექვსკუთხა პირამიდის ფართობის დასადგენად სწორი ფუძით:
S=S6+ 6S3=3√3/2a2 + 61/2hba=3a(√3/2a + hb).
პირამიდის მოცულობა
ისევე როგორც ფართობი, ექვსკუთხა რეგულარული პირამიდის მოცულობა მისი მნიშვნელოვანი თვისებაა. ეს მოცულობა გამოითვლება ყველა პირამიდისა და კონუსის ზოგადი ფორმულით. მოდი ჩავწეროთ:
V=1/3Soსთ.
აქ, სიმბოლო So არის ექვსკუთხა ფუძის ფართობი, ანუ So=S 6.
ზემოხსენებული გამოხატვის S6 ჩანაცვლებით V ფორმულაში, მივიღებთ საბოლოო ტოლობას რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის მოცულობის დასადგენად:
V=√3/2a2სთ.
გეომეტრიული ამოცანის მაგალითი
რეგულარულ ექვსკუთხა პირამიდაში გვერდითი კიდე ორჯერ აღემატება ფუძის გვერდის სიგრძეს. იმის ცოდნა, რომ ეს უკანასკნელი 7 სმ-ია, აუცილებელია ამ ფიგურის ზედაპირის ფართობის და მოცულობის გამოთვლა.
როგორც მიხვდით, ამ პრობლემის გადაწყვეტა გულისხმობს S და V-სთვის ზემოთ მიღებული გამონათქვამების გამოყენებას. მიუხედავად ამისა, მათი გამოყენება მაშინვე შეუძლებელი იქნება, რადგან ჩვენ არ ვიცით აპოთემა და რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის სიმაღლე. მოდით გამოვთვალოთ ისინი.
აპოთემა hb შეიძლება განისაზღვროს b, a/2 და hb გვერდებზე აგებული მართკუთხა სამკუთხედის გათვალისწინებით. აქ b არის გვერდითი კიდის სიგრძე. პრობლემის პირობის გამოყენებით, ვიღებთ:
hb=√(b2-a2/4)=√(14 2-72/4)=13, 555 სმ.
პირამიდის h სიმაღლე შეიძლება განისაზღვროს ზუსტად ისე, როგორც აპოთემა, მაგრამ ახლა უნდა განვიხილოთ სამკუთხედი h, b და a გვერდებით, რომელიც მდებარეობს პირამიდის შიგნით. სიმაღლე იქნება:
სთ=√(b2- a2)=√(142- 7 2)=12, 124 სმ.
შეიძლება ნახოთ, რომ გამოთვლილი სიმაღლის მნიშვნელობა ნაკლებია, ვიდრე აპოთემისთვის, რაც მართალია ნებისმიერი პირამიდისთვის.
ახლა შეგიძლიათ გამოიყენოთ გამონათქვამები მოცულობისა და ფართობისთვის:
S=3a(√3/2a + hb)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96 სმ2;
V=√3/2a2სთ=√3/27212, 124=514, 48 სმ3.
ამგვარად, რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის რომელიმე მახასიათებლის ცალსახად დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი ნებისმიერი ორი წრფივი პარამეტრი.
