პირამიდა არის გეომეტრიული სივრცითი ფიგურა, რომლის მახასიათებლებს სწავლობენ საშუალო სკოლაში მყარი გეომეტრიის კურსზე. ამ სტატიაში განვიხილავთ სამკუთხა პირამიდას, მის ტიპებს, აგრეთვე მისი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელ ფორმულებს.
რომელ პირამიდაზეა საუბარი?
სამკუთხა პირამიდა არის ფიგურა, რომელიც შეიძლება მიღებულ იქნას თვითნებური სამკუთხედის ყველა წვეროს შეერთებით ერთ წერტილთან, რომელიც არ დევს ამ სამკუთხედის სიბრტყეში. ამ განმარტების მიხედვით, განსახილველი პირამიდა უნდა შედგებოდეს საწყისი სამკუთხედისგან, რომელსაც ფიგურის ფუძე ეწოდება, და სამი გვერდითი სამკუთხედისაგან, რომლებსაც აქვთ ერთი საერთო გვერდი ფუძესთან და ერთმანეთთან დაკავშირებულია ერთ წერტილში. ამ უკანასკნელს პირამიდის მწვერვალს უწოდებენ.
ზემოთ სურათზე ნაჩვენებია თვითნებური სამკუთხა პირამიდა.
განხილული ფიგურა შეიძლება იყოს ირიბი ან სწორი. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, პირამიდის ზემოდან მის ფუძემდე ჩამოშვებული პერპენდიკულარი უნდა კვეთდეს მას გეომეტრიულ ცენტრში. ნებისმიერის გეომეტრიული ცენტრისამკუთხედი არის მისი მედიანასების გადაკვეთის წერტილი. გეომეტრიული ცენტრი ემთხვევა ფიზიკაში ფიგურის მასის ცენტრს.
თუ რეგულარული (ტოლგვერდა) სამკუთხედი დევს სწორი პირამიდის ფუძესთან, მაშინ მას ეწოდება რეგულარული სამკუთხედი. ჩვეულებრივ პირამიდაში ყველა გვერდი ერთმანეთის ტოლია და არის ტოლგვერდა სამკუთხედები.
თუ რეგულარული პირამიდის სიმაღლე ისეთია, რომ მისი გვერდითი სამკუთხედები ტოლგვერდა ხდება, მაშინ მას ტეტრაედონი ეწოდება. ტეტრაედრონში ოთხივე სახე ერთმანეთის ტოლია, ამიტომ თითოეული მათგანი შეიძლება ჩაითვალოს ფუძედ.
პირამიდის ელემენტები
ეს ელემენტები მოიცავს ფიგურის სახეებს ან გვერდებს, მის კიდეებს, წვეროებს, სიმაღლეს და აპოთემებს.
როგორც ნაჩვენებია, სამკუთხა პირამიდის ყველა მხარე სამკუთხედია. მათი რიცხვია 4 (3 მხარე და ერთი ძირში).
წვეროები არის სამი სამკუთხა გვერდის გადაკვეთის წერტილები. ძნელი მისახვედრი არ არის, რომ განსახილველი პირამიდისთვის არის 4 მათგანი (3 ეკუთვნის ფუძეს და 1 პირამიდის მწვერვალს).
კიდეები შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ხაზები, რომლებიც კვეთენ ორ სამკუთხა მხარეს, ან როგორც ხაზები, რომლებიც აკავშირებენ ყოველ ორ წვეროს. კიდეების რაოდენობა შეესაბამება ფუძის წვეროების ორჯერ რაოდენობას, ანუ სამკუთხა პირამიდისთვის არის 6 (3 კიდე ეკუთვნის ფუძეს და 3 კიდე იქმნება გვერდითი გვერდებით).
სიმაღლე, როგორც ზემოთ აღინიშნა, არის პირამიდის ზემოდან მის ფუძემდე დახატული პერპენდიკულარულის სიგრძე. თუ ამ წვეროდან სიმაღლეებს დავხატავთ სამკუთხა ფუძის თითოეულ მხარეს,მაშინ მათ დაერქმევათ აპოტემები (ან აპოთემები). ამრიგად, სამკუთხა პირამიდას აქვს ერთი სიმაღლე და სამი აპოთემა. ეს უკანასკნელი ერთმანეთის ტოლია ჩვეულებრივი პირამიდისთვის.
პირამიდის ფუძე და მისი ფართობი
რადგან განსახილველი ფიგურის საფუძველი ძირითადად სამკუთხედია, მისი ფართობის გამოსათვლელად საკმარისია ვიპოვოთ მისი სიმაღლე ho და ფუძის გვერდის სიგრძე. ა, რომელზეც დაშვებულია. ფუძის So ფართობის ფორმულა არის:
So=1/2სთoa
თუ ფუძის სამკუთხედი ტოლგვერდაა, მაშინ სამკუთხა პირამიდის ფუძის ფართობი გამოითვლება შემდეგი ფორმულით:
So=√3/4a2
ანუ So ფართობი ცალსახად განისაზღვრება სამკუთხა ფუძის a მხარის სიგრძით.
ფიგურის გვერდი და საერთო ფართობი
სამკუთხა პირამიდის ფართობის განხილვამდე, სასარგებლოა მისი განვითარების ჩვენება. ის გამოსახულია ქვემოთ.
ამ გაწმენდის ფართობი, რომელიც ჩამოყალიბებულია ოთხი სამკუთხედით, არის პირამიდის მთლიანი ფართობი. ერთ-ერთი სამკუთხედი შეესაბამება ფუძეს, რომლის განხილული მნიშვნელობის ფორმულა ზემოთ იყო დაწერილი. სამი გვერდითი სამკუთხა სახე ერთად ქმნის ფიგურის გვერდით არეალს. ამიტომ, ამ მნიშვნელობის დასადგენად, საკმარისია გამოვიყენოთ ზემოთ მოცემული ფორმულა თვითნებური სამკუთხედისთვის თითოეულ მათგანზე და შემდეგ დაამატოთ სამი შედეგი.
თუ პირამიდა სწორია, მაშინ გამოთვლაგვერდითი ზედაპირის ფართობი გაადვილებულია, რადგან ყველა გვერდითი სახე იდენტური ტოლგვერდა სამკუთხედია. აღნიშნეთ hb აპოთემის სიგრძე, შემდეგ გვერდითი ზედაპირის ფართობი Sb შეიძლება განისაზღვროს შემდეგნაირად:
Sb=3/2ahb
ეს ფორმულა გამომდინარეობს სამკუთხედის ფართობის ზოგადი გამოსახულებიდან. რიცხვი 3 მრიცხველებში გამოჩნდა იმის გამო, რომ პირამიდას სამი გვერდითი სახე აქვს.
აპოტემა hb ჩვეულებრივ პირამიდაში შეიძლება გამოითვალოს, თუ ცნობილია h ფიგურის სიმაღლე. პითაგორას თეორემის გამოყენებით მივიღებთ:
hb=√(h2+ a2/12)
ცხადია, ფიგურის ზედაპირის ჯამური ფართობი S უდრის მისი მხარისა და ფუძის ფართობების ჯამს:
S=So+ Sb
რეგულარული პირამიდისთვის, ყველა ცნობილი მნიშვნელობის შემცვლელი, მივიღებთ ფორმულას:
S=√3/4a2+ 3/2a√(h2+ a 2/12)
სამკუთხა პირამიდის ფართობი დამოკიდებულია მხოლოდ მისი ფუძის გვერდის სიგრძეზე და სიმაღლეზე.
პრობლემის მაგალითი
ცნობილია, რომ სამკუთხა პირამიდის გვერდითი კიდე არის 7 სმ, ხოლო ფუძის მხარე 5 სმ. თქვენ უნდა იპოვოთ ფიგურის ზედაპირის ფართობი, თუ იცით, რომ პირამიდა რეგულარულია.
გამოიყენეთ ზოგადი ტოლობა:
S=So+ Sb
ფართი So უდრის:
So=√3/4a2 =√3/452 ≈10, 825 სმ2.
გვერდითი ზედაპირის ფართობის დასადგენად, თქვენ უნდა იპოვოთ აპოტემა. ძნელი არ არის იმის ჩვენება, რომ გვერდითი კიდის სიგრძით ab განისაზღვრება ფორმულით:
სთb=√(ab2- a2 /4)=√(7 2- 52/4) ≈ 6,538 სმ.
მაშინ Sb არის:
Sb=3/2ahb=3/256, 538=49,035 სმ2.
პირამიდის მთლიანი ფართობია:
S=So+ Sb=10,825 + 49,035=59,86 სმ2.
გაითვალისწინეთ, რომ ამოცანის ამოხსნისას ჩვენ არ გამოვიყენეთ პირამიდის სიმაღლის მნიშვნელობა გამოთვლებში.
