კვადრატული განტოლებები ხშირად ჩნდება მათემატიკისა და ფიზიკის რიგ ამოცანებში, ამიტომ თითოეულ მოსწავლეს უნდა შეეძლოს მათი ამოხსნა. ამ სტატიაში დეტალურადაა აღწერილი კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები და ასევე მოცემულია მათი გამოყენების მაგალითები.
რომელ განტოლებას ეწოდება კვადრატული
პირველ რიგში, ჩვენ ვუპასუხებთ ამ აბზაცის კითხვას, რათა უკეთ გავიგოთ რაზე იქნება სტატია. ამრიგად, კვადრატულ განტოლებას აქვს შემდეგი ზოგადი ფორმა: c + bx+ax2=0, სადაც a, b, c არის რამდენიმე რიცხვი, რომლებსაც კოეფიციენტები უწოდებენ. აქ a≠0 სავალდებულო პირობაა, წინააღმდეგ შემთხვევაში მითითებული განტოლება გადაგვარდება წრფივში. დარჩენილ კოეფიციენტებს (b, c) შეუძლია მიიღოს აბსოლუტურად ნებისმიერი მნიშვნელობა, მათ შორის ნული. ამრიგად, გამონათქვამები, როგორიცაა ax2=0, სადაც b=0 და c=0, ან c+ax2=0, სადაც b=0, ან bx+ax2=0, სადაც c=0 ასევე არის კვადრატული განტოლებები, რომლებსაც უწოდებენ არასრულს, რადგან მათში წრფივი კოეფიციენტი b არის ნული ან ნული.არის თავისუფალი ტერმინი c, ან ორივე ქრება.
განტოლება, რომელშიც a=1 ეწოდება შემცირებული, ანუ აქვს ფორმა: x2 + с/a + (b/a)x=0.
კვადრატული განტოლების ამონახსნი არის ისეთი x მნიშვნელობების პოვნა, რომელიც აკმაყოფილებს მის ტოლობას. ამ მნიშვნელობებს ფესვები ეწოდება. ვინაიდან განხილული განტოლება მეორე ხარისხის გამოხატულებაა, ეს ნიშნავს, რომ მისი ფესვების მაქსიმალური რაოდენობა არ შეიძლება აღემატებოდეს ორს.
რა მეთოდები არსებობს კვადრატული განტოლებების ამოხსნისთვის
ზოგადად, არსებობს გადაჭრის 4 მეთოდი. მათი სახელები ჩამოთვლილია ქვემოთ:
- ფაქტორინგი.
- მოედნის დამატება.
- ცნობილი ფორმულის გამოყენება (დისკრიმინანტის საშუალებით).
- ამოხსნის მეთოდი გეომეტრიულია.
როგორც ხედავთ ზემოაღნიშნული სიიდან, პირველი სამი მეთოდი ალგებრულია, ამიტომ ისინი უფრო ხშირად გამოიყენება, ვიდრე ბოლო, რომელიც მოიცავს ფუნქციის გამოსახულებას.
არსებობს კვადრატული განტოლებების ამოხსნის კიდევ ერთი გზა ვიეტას თეორემის გამოყენებით. ის შეიძლება მოხვდეს მე-5 სიაში ზემოთ, თუმცა ეს არ კეთდება, რადგან ვიეტას თეორემა მე-3 მეთოდის მარტივი შედეგია.
მოგვიანებით სტატიაში უფრო დეტალურად განვიხილავთ ამოხსნის დასახელებულ მეთოდებს და ასევე მოვიყვანთ მათი გამოყენების მაგალითებს კონკრეტული განტოლებების ფესვების საპოვნელად.
მეთოდი 1. ფაქტორინგი
ამ მეთოდისთვის კვადრატული განტოლებების მათემატიკაში არსებობს მშვენიერიდასახელება: ფაქტორიზაცია. ამ მეთოდის არსი შემდეგია: აუცილებელია კვადრატული განტოლების წარმოდგენა ორი წევრის ნამრავლად (გამოხატვა), რომელიც უნდა იყოს ნულის ტოლი. ასეთი წარმოდგენის შემდეგ შეგიძლიათ გამოიყენოთ პროდუქტის თვისება, რომელიც იქნება ნულის ტოლი მხოლოდ მაშინ, როდესაც მისი ერთი ან რამდენიმე (ყველა) წევრი ნულის ტოლია.
ახლა განიხილეთ კონკრეტული მოქმედებების თანმიმდევრობა, რომელიც უნდა შესრულდეს განტოლების ფესვების საპოვნელად:
- გადაიტანეთ ყველა წევრი გამოხატვის ერთ ნაწილში (მაგალითად, მარცხნივ) ისე, რომ მხოლოდ 0 დარჩეს მის მეორე ნაწილში (მარჯვნივ).
- წარმოადგენს წევრთა ჯამს განტოლების ერთ ნაწილში, როგორც ორი წრფივი განტოლების ნამრავლი.
- დააყენეთ თითოეული წრფივი გამოხატულება ნულზე და ამოხსენით ისინი.
როგორც ხედავთ, ფაქტორიზაციის ალგორითმი საკმაოდ მარტივია, თუმცა მოსწავლეთა უმეტესობას უჭირს მე-2 პუნქტის განხორციელებისას, ამიტომ უფრო დეტალურად აგიხსნით.
იმისთვის, რომ გამოიცნოთ რომელი 2 წრფივი გამონათქვამი ერთმანეთზე გამრავლებისას მისცემს სასურველ კვადრატულ განტოლებას, უნდა გახსოვდეთ ორი მარტივი წესი:
- ორი წრფივი გამოსახულების წრფივი კოეფიციენტები ერთმანეთზე გამრავლებისას უნდა მივცეთ კვადრატული განტოლების პირველი კოეფიციენტი, ანუ რიცხვი a.
- წრფივი გამოსახულებების თავისუფალი წევრები, გამრავლებისას, უნდა იძლეოდეს სასურველი განტოლების რიცხვს.
ყველა ფაქტორების არჩევის შემდეგ, ისინი უნდა გამრავლდეს და თუ მიიღებენ სასურველ განტოლებას, გადადით მე-3 საფეხურზეზემოთ მოყვანილი ალგორითმი, წინააღმდეგ შემთხვევაში თქვენ უნდა შეცვალოთ მულტიპლიკატორები, მაგრამ ეს უნდა გააკეთოთ ისე, რომ ზემოაღნიშნული წესები ყოველთვის დაიცვან.
გახსნის მაგალითი ფაქტორიზაციის მეთოდით
მოდით ნათლად ვაჩვენოთ, როგორ არის კვადრატული განტოლების ამოხსნის ალგორითმი უცნობი ფესვების შედგენისა და პოვნისთვის. მიეცით თვითნებური გამოხატულება, მაგალითად, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. გადავიდეთ მის ამოხსნაზე, დავაკვირდეთ 1-დან 3-მდე პუნქტების თანმიმდევრობას, რომლებიც მოცემულია სტატიის წინა პუნქტში.
პუნქტი 1. გადაიტანეთ ყველა წევრი მარცხენა მხარეს და დაალაგეთ ისინი კლასიკური თანმიმდევრობით კვადრატული განტოლებისთვის. გვაქვს შემდეგი ტოლობა: 2x+(-8)+x2=0.
პუნქტი 2. ვყოფთ მას წრფივი განტოლებების ნამრავლად. ვინაიდან a=1, და c=-8, მაშინ ჩვენ ვირჩევთ, მაგალითად, ასეთ პროდუქტს (x-2)(x+4). იგი აკმაყოფილებს ზემოაღნიშნულ პუნქტში დადგენილ მოსალოდნელი ფაქტორების პოვნის წესებს. თუ ფრჩხილებს გავხსნით, მივიღებთ: -8+2x+x2, ანუ მივიღებთ ზუსტად იგივე გამოსახულებას, რაც განტოლების მარცხენა მხარეს. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ სწორად გამოვიცნოთ მამრავლები და შეგვიძლია გადავიდეთ ალგორითმის მე-3 საფეხურზე.
პუნქტი 3. გავატოლოთ თითოეული ფაქტორი ნულთან, მივიღებთ: x=-4 და x=2.
თუ არსებობს რაიმე ეჭვი შედეგთან დაკავშირებით, რეკომენდებულია გადამოწმება ნაპოვნი ფესვების თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით. ამ შემთხვევაში გვაქვს: 22+22-8=0 და 2(-4)+(-4)2 -8=0. ფესვები სწორად იპოვეს.
ამგვარად, ფაქტორილიზაციის მეთოდის გამოყენებით, აღმოვაჩინეთ, რომ მოცემულ განტოლებას აქვს ორი განსხვავებული ფესვიაქვს: 2 და -4.
მეთოდი 2. სრული კვადრატის შევსება
კვადრატული განტოლებების ალგებრაში ყოველთვის არ შეიძლება გამოყენებული იქნას მამრავლის მეთოდი, რადგან კვადრატული განტოლების კოეფიციენტების წილადური მნიშვნელობების შემთხვევაში წარმოიქმნება სირთულეები ალგორითმის მე-2 პუნქტის განხორციელებაში.
სრული კვადრატის მეთოდი, თავის მხრივ, უნივერსალურია და შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი ტიპის კვადრატულ განტოლებაზე. მისი არსი შემდეგი ოპერაციების შესრულებაა:
- განტოლების ტერმინები, რომლებიც შეიცავს a და b კოეფიციენტებს, უნდა გადავიდეს განტოლების ერთ ნაწილზე, ხოლო თავისუფალი წევრი c მეორეზე.
- შემდეგ, ტოლობის ნაწილები (მარჯვნივ და მარცხნივ) უნდა გაიყოს a კოეფიციენტზე, ანუ წარმოვადგინოთ განტოლება შემცირებული სახით (a=1).
- შეაჯამეთ წევრები a და b კოეფიციენტებით, რათა წარმოადგინოთ წრფივი განტოლების კვადრატი. ვინაიდან \u003d 1, მაშინ წრფივი კოეფიციენტი იქნება 1-ის ტოლი, რაც შეეხება წრფივი განტოლების თავისუფალ წევრს, მაშინ ის უნდა იყოს შემცირებული კვადრატული განტოლების წრფივი კოეფიციენტის ნახევარის ტოლი. წრფივი გამოსახულების კვადრატის შედგენის შემდეგ საჭიროა შესაბამისი რიცხვის დამატება ტოლობის მარჯვენა მხარეს, სადაც მდებარეობს თავისუფალი წევრი, რომელიც მიიღება კვადრატის გაფართოებით.
- აიღეთ კვადრატული ფესვი "+" და "-" ნიშნებით და ამოხსენით უკვე მიღებული წრფივი განტოლება.
აღწერილი ალგორითმი შეიძლება ერთი შეხედვით საკმაოდ რთულად აღიქმებოდეს, თუმცა პრაქტიკაში მისი განხორციელება უფრო ადვილია ვიდრე ფაქტორილიზაციის მეთოდი.
ამოხსნის მაგალითი სრული კვადრატის შემავსებლის გამოყენებით
მოდი მოვიყვანოთ კვადრატული განტოლების მაგალითი მისი ამოხსნის წინა აბზაცში აღწერილი მეთოდით სწავლებისთვის. მოდით კვადრატული განტოლება -10 - 6x+5x2=0. ვიწყებთ მის ამოხსნას ზემოთ აღწერილი ალგორითმის მიხედვით.
პუნქტი 1. კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას ვიყენებთ გადაცემის მეთოდს, მივიღებთ: - 6x+5x2=10.
პუნქტი 2. ამ განტოლების შემცირებული ფორმა მიიღება მისი თითოეული წევრის 5 რიცხვზე გაყოფით (თუ ორივე ნაწილი იყოფა ან გამრავლდა ერთ რიცხვზე, მაშინ ტოლობა შენარჩუნდება). გარდაქმნების შედეგად ვიღებთ: x2 - 6/5x=2.
პუნქტი 3. კოეფიციენტის ნახევარი - 6/5 არის -6/10=-3/5, გამოიყენეთ ეს რიცხვი კვადრატის შესავსებად, მივიღებთ: (-3/5+x) 2 . ჩვენ გავაფართოვებთ მას და მიღებული თავისუფალი წევრი უნდა გამოვაკლოთ ტოლობის მარცხენა მხარეს, რათა დავაკმაყოფილოთ კვადრატული განტოლების საწყისი ფორმა, რაც უდრის მის დამატებას მარჯვენა მხარეს. შედეგად მივიღებთ: (-3/5+x)2=59/25.
პუნქტი 4. გამოთვალეთ კვადრატული ფესვი დადებითი და უარყოფითი ნიშნებით და იპოვეთ ფესვები: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. ნაპოვნი ორ ფესვს აქვს შემდეგი მნიშვნელობები: x1=(√59+3)/5 და x1=(3-√59)/5.
რადგან შესრულებული გამოთვლები დაკავშირებულია ფესვებთან, დიდია შეცდომის დაშვების ალბათობა. ამიტომ რეკომენდებულია ფესვების სისწორის შემოწმება x2 და x1. ჩვენ ვიღებთ x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. შეცვლა ახლავეx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
ამგვარად, ჩვენ ვაჩვენეთ, რომ განტოლების ნაპოვნი ფესვები ჭეშმარიტია.
მეთოდი 3. ცნობილი ფორმულის გამოყენება
კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ეს მეთოდი, ალბათ, ყველაზე მარტივია, რადგან ის მოიცავს კოეფიციენტების ცნობილ ფორმულაში ჩანაცვლებას. მის გამოსაყენებლად არ გჭირდებათ ფიქრი ამოხსნის ალგორითმების შედგენაზე, საკმარისია მხოლოდ ერთი ფორმულის დამახსოვრება. ეს ნაჩვენებია ზემოთ მოცემულ სურათზე.
ამ ფორმულაში რადიკალურ გამოსახულებას (b2-4ac) ეწოდება დისკრიმინანტი (D). მისი ღირებულება დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა ფესვები მიიღება. არის 3 შემთხვევა:
- D>0, მაშინ ფუძე მეორე განტოლებას აქვს რეალური და განსხვავებული.
- D=0, შემდეგ მიიღება ფესვი, რომელიც შეიძლება გამოითვალოს გამოხატულებიდან x=-b/(a2).
- D<0, მაშინ მიიღებთ ორ განსხვავებულ წარმოსახვით ფესვს, რომლებიც წარმოდგენილია რთული რიცხვების სახით. მაგალითად, რიცხვი 3-5i რთულია, ხოლო წარმოსახვითი ერთეული i აკმაყოფილებს თვისებას: i2=-1.
ამოხსნის მაგალითი დისკრიმინანტის გამოთვლით
მოდით, მოვიყვანოთ კვადრატული განტოლების მაგალითი, რომელიც უნდა ივარჯიშოთ ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით. იპოვეთ ფესვები -3x2-6+3x+4x=0. ჯერ გამოთვალეთ დისკრიმინანტის მნიშვნელობა, მივიღებთ: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
რადგან მიღებულია D<0, ეს ნიშნავს, რომ განხილული განტოლების ფესვები რთული რიცხვებია. მოდი ვიპოვოთ ისინი ნაპოვნი D მნიშვნელობის წინა აბზაცში მოცემულ ფორმულაში ჩანაცვლებით (ეს ასევე ნაჩვენებია ზემოთ მოცემულ ფოტოში). ვიღებთ: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
მეთოდი 4. ფუნქციის გრაფიკის გამოყენება
მას ასევე უწოდებენ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის გრაფიკულ მეთოდს. უნდა ითქვას, რომ, როგორც წესი, იგი გამოიყენება განსახილველი განტოლების არა რაოდენობრივი, არამედ თვისებრივი ანალიზისთვის.
მეთოდის არსი არის კვადრატული ფუნქციის გამოსახვა y=f(x), რომელიც არის პარაბოლა. შემდეგ, აუცილებელია განვსაზღვროთ, რომელ წერტილებში კვეთს პარაბოლა x ღერძს (X), ისინი იქნება შესაბამისი განტოლების ფესვები.
იმისათვის, რომ გავიგოთ, გადაკვეთს თუ არა პარაბოლა X ღერძს, საკმარისია ვიცოდეთ მისი მინიმალური (მაქსიმუმის) პოზიცია და მისი ტოტების მიმართულება (მათ შეუძლიათ გაიზარდონ ან შემცირდნენ). ამ მრუდის ორი თვისებაა დასამახსოვრებელი:
- თუ a>0 - ტოტის პარაბოლები მიმართულია ზემოთ, პირიქით, თუ a<0, მაშინ ისინი ქვევით მიდიან.
- პარაბოლის მინიმალური (მაქსიმალური) კოორდინატი ყოველთვის არის x=-b/(2a).
მაგალითად, თქვენ უნდა დაადგინოთ, აქვს თუ არა განტოლებას -4x+5x2+10=0. შესაბამისი პარაბოლა მიმართული იქნება ზემოთ, ვინაიდან=5>0. მის კიდურს აქვს კოორდინატები: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. ვინაიდან მრუდის მინიმუმი დგას x ღერძის ზემოთ (y=9, 2), მაშინ ის არ კვეთს ამ უკანასკნელს არცერთზეx მნიშვნელობები. ანუ მოცემულ განტოლებას არ აქვს ნამდვილი ფესვები.
ვიეტას თეორემა
როგორც ზემოთ აღინიშნა, ეს თეორემა არის შედეგი No3 მეთოდისა, რომელიც ეფუძნება ფორმულის გამოყენებას დისკრიმინანტით. ვიეტას თეორემის არსი ის არის, რომ ის საშუალებას გაძლევთ დააკავშიროთ განტოლების კოეფიციენტები და მისი ფესვები თანასწორობაში. მივიღოთ შესაბამისი ტოლობები.
მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა ფესვების გამოსათვლელად დისკრიმინანტის მეშვეობით. დავამატოთ ორი ფესვი, მივიღებთ: x1+x2=-b/a. ახლა გავამრავლოთ ფესვები ერთმანეთზე: x1x2, რიგი გამარტივების შემდეგ მივიღებთ რიცხვს c/a.
ამგვარად, ვიეტას თეორემით კვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მიღებული ორი ტოლობა. თუ განტოლების სამივე კოეფიციენტი ცნობილია, მაშინ ფესვების პოვნა შესაძლებელია ამ ორი განტოლების შესაბამისი სისტემის ამოხსნით.
ვიეტას თეორემის გამოყენების მაგალითი
თქვენ უნდა დაწეროთ კვადრატული განტოლება, თუ იცით, რომ მას აქვს ფორმა x2+c=-bx და მისი ფესვები არის 3 და -4..
რადგან განსახილველ განტოლებაში a=1, Vieta ფორმულები ასე გამოიყურება: x2+x1=-b და x2x1=გვ. ფესვების ცნობილი მნიშვნელობების ჩანაცვლებით, ვიღებთ: b=1 და c=-12. შედეგად, აღდგენილი კვადრატული შემცირებული განტოლება ასე გამოიყურება: x2-12=-1x. თქვენ შეგიძლიათ ჩაანაცვლოთ ფესვების მნიშვნელობა მასში და დარწმუნდეთ, რომ თანასწორობა დაცულია.
ვიეტას თეორემის საპირისპირო გამოყენება, ანუ ფესვების გამოთვლაგანტოლების ცნობილი ფორმა, საშუალებას აძლევს პატარა მთელ რიცხვებს a, b და c სწრაფად (ინტუიტიურად) იპოვონ ამონახსნები.
