ზოგიერთი მათემატიკური ამოცანა მოითხოვს კვადრატული ფესვის გამოთვლის უნარს. ეს ამოცანები მოიცავს მეორე რიგის განტოლებების ამოხსნას. ამ სტატიაში წარმოგიდგენთ კვადრატული ფესვების გამოთვლის ეფექტურ მეთოდს და გამოვიყენებთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულებთან მუშაობისას.
რა არის კვადრატული ფესვი?
მათემატიკაში ეს ცნება შეესაბამება სიმბოლოს √. ისტორიული მონაცემებით ნათქვამია, რომ იგი პირველად გამოიყენებოდა მე-16 საუკუნის პირველ ნახევარში გერმანიაში (პირველი გერმანული ნაშრომი ალგებრაზე კრისტოფ რუდოლფის მიერ). მეცნიერები თვლიან, რომ ეს სიმბოლო არის გარდაქმნილი ლათინური ასო r (რადიქსი ლათინურად ნიშნავს „ფესვს“).
ნებისმიერი რიცხვის ფესვი უდრის ისეთ მნიშვნელობას, რომლის კვადრატი შეესაბამება ძირეულ გამოსახულებას. მათემატიკის ენაზე ეს განმარტება ასე გამოიყურება: √x=y თუ y2=x.
დადებითი რიცხვის ფესვი (x > 0) ასევე არისდადებითი რიცხვი (y > 0), მაგრამ თუ ფესვი აღებულია უარყოფითი რიცხვიდან (x < 0), მაშინ მისი შედეგი უკვე იქნება რთული რიცხვი, მათ შორის წარმოსახვითი ერთეული i.
აქ არის ორი მარტივი მაგალითი:
√9=3, რადგან 32 =9; √(-9)=3i რადგან i2=-1.
ჰერონის განმეორებითი ფორმულა კვადრატული ფესვების საპოვნელად
ზემოხსენებული მაგალითები ძალიან მარტივია და მათში ფესვების გამოთვლა არ არის რთული. სირთულეები იწყება უკვე ძირეული მნიშვნელობების პოვნისას ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, რომელიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ნატურალური რიცხვის კვადრატად, მაგალითად √10, √11, √12, √13, რომ აღარაფერი ვთქვათ იმ ფაქტზე, რომ პრაქტიკაში იგი აუცილებელია არა მთელი რიცხვების ფესვების პოვნა: მაგალითად √(12, 15), √(8, 5) და ასე შემდეგ.
ყველა ზემოთ ჩამოთვლილ შემთხვევაში გამოყენებული უნდა იყოს კვადრატული ფესვის გამოთვლის სპეციალური მეთოდი. ამჟამად ცნობილია რამდენიმე ასეთი მეთოდი: მაგალითად, გაფართოება ტეილორის სერიაში, დაყოფა სვეტით და სხვა. ყველა ცნობილი მეთოდიდან, ალბათ, ყველაზე მარტივი და ეფექტურია ჰერონის განმეორებითი ფორმულის გამოყენება, რომელიც ასევე ცნობილია, როგორც ბაბილონის მეთოდი კვადრატული ფესვების დასადგენად (არსებობს მტკიცებულება, რომ ძველი ბაბილონელები მას იყენებდნენ თავიანთ პრაქტიკულ გამოთვლებში).
მოდით საჭირო იყოს √x-ის მნიშვნელობის განსაზღვრა. კვადრატული ფესვის პოვნის ფორმულა შემდეგია:
an+1=1/2(a+x/a), სადაც limn->∞(a)=> x.
გაშიფრეთ ეს მათემატიკური აღნიშვნა. √x-ის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა აიღოთ რიცხვი a0 (ეს შეიძლება იყოს თვითნებური, მაგრამ სწრაფი შედეგისთვის, თქვენ უნდა აირჩიოთ ის ისე, რომ (a0) 2 იყო რაც შეიძლება ახლოს x-თან, შემდეგ ჩაანაცვლეთ მითითებული კვადრატული ფესვის ფორმულაში და მიიღეთ ახალი რიცხვი a1, რომელიც უკვე იქნება იყოს უფრო ახლოს სასურველ მნიშვნელობასთან, გამოსახულებაში უნდა ჩაანაცვლოთ 1 და მიიღოთ 2 ეს პროცედურა უნდა განმეორდეს საჭირო სიზუსტის მიღწევამდე..
ჰერონის განმეორებითი ფორმულის გამოყენების მაგალითი
ზემოთ აღწერილი ალგორითმი რომელიმე მოცემული რიცხვის კვადრატული ფესვის მისაღებად შეიძლება ბევრისთვის საკმაოდ რთული და დამაბნეველი ჟღერდეს, მაგრამ სინამდვილეში ყველაფერი გაცილებით მარტივია, რადგან ეს ფორმულა ძალიან სწრაფად იყრის თავს (განსაკუთრებით იღბლიანი რიცხვი) არჩეულია 0).
მოდით ავიღოთ მარტივი მაგალითი: უნდა გამოვთვალოთ √11. ჩვენ ვირჩევთ 0=3, ვინაიდან 32=9, რაც უფრო ახლოს არის 11-თან, ვიდრე 42=16. ფორმულაში ჩანაცვლებით მივიღებთ:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
აზრი არ აქვს გამოთვლების გაგრძელებას, რადგან მივიღეთ, რომ 2 და 3 იწყება განსხვავება მხოლოდ მე-5 ათწილადში. ადგილი. ამრიგად, საკმარისი იყო ფორმულის მხოლოდ 2-ჯერ გამოყენებაგამოთვალეთ √11 0,0001-ის ფარგლებში.
ამჟამად, კალკულატორები და კომპიუტერები ფართოდ გამოიყენება ფესვების გამოსათვლელად, თუმცა, სასარგებლოა მონიშნული ფორმულის დამახსოვრება, რათა ხელით შეძლოთ მათი ზუსტი მნიშვნელობის გამოთვლა.
მეორე რიგის განტოლებები
გაგება რა არის კვადრატული ფესვი და მისი გამოთვლის უნარი გამოიყენება კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას. ეს განტოლებები არის ტოლობები ერთ უცნობისთან, რომლის ზოგადი ფორმა ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.
აქ c, b და a არის რამდენიმე რიცხვი, და a არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, ხოლო c და b მნიშვნელობები შეიძლება იყოს სრულიად თვითნებური, ნულის ჩათვლით.
x-ის ნებისმიერ მნიშვნელობას, რომელიც აკმაყოფილებს ფიგურაში მითითებულ თანასწორობას, ეწოდება მისი ფესვები (ეს კონცეფცია არ უნდა აგვერიოს კვადრატულ ფესვთან √). ვინაიდან განსახილველ განტოლებას აქვს მე-2 რიგი (x2), მაშინ მისი ფესვებისთვის არ შეიძლება იყოს ორზე მეტი რიცხვი. მოდით შევხედოთ, როგორ მოვძებნოთ ეს ფესვები მოგვიანებით სტატიაში.
კვადრატული განტოლების ფესვების პოვნა (ფორმულა)
განხილული ტიპის ტოლობების ამოხსნის ამ მეთოდს ასევე უწოდებენ უნივერსალურ, ანუ მეთოდს დისკრიმინანტის მეშვეობით. ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერ კვადრატულ განტოლებაზე. კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტისა და ფესვების ფორმულა ასეთია:
ეს გვიჩვენებს, რომ ფესვები დამოკიდებულია განტოლების სამი კოეფიციენტიდან თითოეულის მნიშვნელობაზე. უფრო მეტიც, გაანგარიშებაx1 განსხვავდება x2 გამოთვლებისგან მხოლოდ კვადრატული ფესვის წინა ნიშნით. რადიკალური გამოხატულება, რომელიც უდრის b2 - 4ac, სხვა არაფერია, თუ არა განხილული თანასწორობის დისკრიმინანტი. კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულაში დისკრიმინანტი მნიშვნელოვან როლს ასრულებს, რადგან ის განსაზღვრავს ამონახსნების რაოდენობას და ტიპს. ასე რომ, თუ ის ნულის ტოლია, მაშინ იქნება მხოლოდ ერთი ამონახსნი, თუ ის დადებითია, მაშინ განტოლებას აქვს ორი რეალური ფესვი, საბოლოოდ, უარყოფითი დისკრიმინანტი მივყავართ ორ რთულ ფესვამდე x1 და x 2.
ვიეტას თეორემა ან მეორე რიგის განტოლებების ფესვების ზოგიერთი თვისება
მე-16 საუკუნის ბოლოს, თანამედროვე ალგებრის ერთ-ერთმა ფუძემდებელმა, ფრანგმა ფრანსუა ვიეტმა, რომელიც სწავლობდა მეორე რიგის განტოლებებს, შეძლო მისი ფესვების თვისებების მიღება. მათემატიკურად, ისინი შეიძლება დაიწეროს ასე:
x1 + x2=-b / a და x1 x 2=გ / ა.
ორივე ტოლობის მიღება ადვილად შეუძლია ნებისმიერს, ამისათვის საჭიროა მხოლოდ შესაბამისი მათემატიკური მოქმედებების შესრულება ფორმულით მიღებული ფესვებით დისკრიმინატორთან.
ამ ორი გამონათქვამის ერთობლიობას სამართლიანად შეიძლება ვუწოდოთ კვადრატული განტოლების ფესვების მეორე ფორმულა, რომელიც შესაძლებელს ხდის მისი ამონახსნების გამოცნობას დისკრიმინანტის გამოყენების გარეშე. აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ მიუხედავად იმისა, რომ ორივე გამონათქვამი ყოველთვის მართებულია, განტოლების ამოსახსნელად მათი გამოყენება მოსახერხებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი ფაქტორირება შესაძლებელია.
შეძენილი ცოდნის კონსოლიდაციის ამოცანა
მოდით გადავწყვიტოთ მათემატიკური ამოცანა, რომელშიც წარმოვადგენთ სტატიაში განხილულ ყველა ტექნიკას. ამოცანის პირობები ასეთია: თქვენ უნდა იპოვოთ ორი რიცხვი, რომლის ნამრავლი არის -13 და ჯამი არის 4.
ეს პირობა მაშინვე მოგვაგონებს ვიეტას თეორემას, კვადრატული ფესვების ჯამის და მათი ნამრავლის ფორმულების გამოყენებით ვწერთ:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=გ / ა=-13.
ვივარაუდოთ a=1, შემდეგ b=-4 და c=-13. ეს კოეფიციენტები საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ მეორე რიგის განტოლება:
x2 - 4x - 13=0.
გამოიყენეთ ფორმულა დისკრიმინანტით, მივიღებთ შემდეგ ფესვებს:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
ანუ დავალება შემცირდა √68 რიცხვის პოვნამდე. გაითვალისწინეთ, რომ 68=417, შემდეგ კვადრატული ფესვის თვისების გამოყენებით, მივიღებთ: √68=2√17.
ახლა გამოვიყენოთ განხილული კვადრატული ფესვის ფორმულა: a0=4, შემდეგ:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
არ არის საჭირო 3 გამოთვლა, რადგან ნაპოვნი მნიშვნელობები განსხვავდება მხოლოდ 0.02-ით. ამრიგად, √68=8.246. მისი ჩანაცვლება x ფორმულაში. 1, 2, ვიღებთ:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 და x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
როგორც ხედავთ, ნაპოვნი რიცხვების ჯამი ნამდვილად არის 4, მაგრამ თუ იპოვით მათ ნამრავლს, ის იქნება -12-ის ტოლი,999, რომელიც აკმაყოფილებს პრობლემის პირობას 0,001 სიზუსტით.
