თვისებები და მეთოდები კვადრატული განტოლების ფესვების პოვნისთვის

2024 ავტორი: Angel Austin | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2023-12-17 05:32

სამყარო ისეა მოწყობილი, რომ დიდი რაოდენობის ამოცანების ამოხსნა მოდის კვადრატული განტოლების ფესვების პოვნამდე. განტოლებების ფესვები მნიშვნელოვანია სხვადასხვა შაბლონების აღწერისთვის. ეს იცოდნენ ძველი ბაბილონის მკვლევარებმაც კი. ასტრონომები და ინჟინრები ასევე იძულებულნი იყვნენ გადაეჭრათ ასეთი პრობლემები. მე-6 საუკუნეში ინდოელმა მეცნიერმა არიაბჰატამ შეიმუშავა საფუძვლები კვადრატული განტოლების ფესვების მოსაძებნად. ფორმულები დასრულდა მე-19 საუკუნეში.

ზოგადი ცნებები

გეპატიჟებით გაეცნოთ კვადრატული ტოლობების ძირითად კანონზომიერებებს. ზოგადად, ტოლობა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

ax2 + bx + c=0, კვადრატული განტოლების ფესვების რაოდენობა შეიძლება იყოს ერთი ან ორი. სწრაფი ანალიზი შეიძლება გაკეთდეს დისკრიმინანტის კონცეფციის გამოყენებით:

D=b2 - 4ac

გამოთვლილი მნიშვნელობიდან გამომდინარე, ვიღებთ:

• როცა D > 0 არის ორი განსხვავებული ფესვი. კვადრატული განტოლების ფესვების განსაზღვრის ზოგადი ფორმულა ჰგავს (-b± √D) / (2a).
• D=0, ამ შემთხვევაში ფესვი არის ერთი და შეესაბამება მნიშვნელობას x=-b / (2a)
• D < 0, დისკრიმინანტის უარყოფითი მნიშვნელობისთვის, არ არსებობს განტოლების ამონახსნი.

შენიშვნა: თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია, განტოლებას ფესვები არ აქვს მხოლოდ რეალური რიცხვების რეგიონში. თუ ალგებრა გავრცელდა რთული ფესვების ცნებაზე, მაშინ განტოლებას აქვს ამონახსნი.

მოდით მივცეთ მოქმედებების ჯაჭვი, რომელიც ადასტურებს ფესვების პოვნის ფორმულას.

განტოლების ზოგადი ფორმიდან გამოდის:

ax2 + bx=-c

ვამრავლებთ მარჯვენა და მარცხენა ნაწილებს 4a-ზე და ვამატებთ b2, მივიღებთ

4a²x² + 4abx + b² =-4ac+b ²

გადააქციეთ მარცხენა მხარე მრავალწევრის კვადრატში (2ax + b)². გამოვყოფთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატულ ფესვს 2ax + b=-b ± √(-4ac + b^{2), გადავიტანთ b კოეფიციენტს მარჯვენა მხარეს, მივიღებთ:}

2ax=-b ± √(-4ac + b2)

აქედან შემდეგნაირად:

x=(-b ± √(b2 - 4ac))

რისი ჩვენება იყო საჭირო.

სპეციალური შემთხვევა

ზოგიერთ შემთხვევაში პრობლემის გადაწყვეტა შეიძლება გამარტივდეს. ასე რომ, ლუწი b კოეფიციენტისთვის მივიღებთ უფრო მარტივ ფორმულას.

აღნიშნეთ k=1/2b, შემდეგ კვადრატული განტოლების ფესვების ზოგადი ფორმის ფორმულა იღებს ფორმას:

x=(-k ± √(k2 -ac)) / a

როცა D=0, მივიღებთ x=-k / a

სხვა განსაკუთრებული შემთხვევა არის განტოლების ამოხსნა a=1.

ფორმისთვის x² + bx + c=0 ფესვები იქნება x=-k ± √(k^{2 - c) 0-ზე მეტი დისკრიმინანტით.იმ შემთხვევისთვის, როდესაც D=0, ფესვი განისაზღვრება მარტივი ფორმულით: x=-k.}

გამოიყენეთ დიაგრამები

ნებისმიერი ადამიანი, არც კი იცის, მუდმივად აწყდება ფიზიკურ, ქიმიურ, ბიოლოგიურ და სოციალურ მოვლენებსაც კი, რომლებიც კარგად არის აღწერილი კვადრატული ფუნქციით.

შენიშვნა: კვადრატული ფუნქციის საფუძველზე აგებულ მრუდს პარაბოლა ეწოდება.

აქ არის რამოდენიმე მაგალითი.

1. ჭურვის ტრაექტორიის გამოთვლისას გამოიყენება ჰორიზონტის მიმართ კუთხით გასროლილი სხეულის პარაბოლის გასწვრივ მოძრაობის თვისება.
2. პარაბოლის თვისება დატვირთვის თანაბრად გადანაწილებისთვის ფართოდ გამოიყენება არქიტექტურაში.

პარაბოლური ფუნქციის მნიშვნელობის გასაგებად, მოდით გავარკვიოთ, როგორ გამოვიყენოთ გრაფიკი მისი თვისებების შესასწავლად, "დისკრიმინანტის" და "კვადრატული განტოლების ფესვების" ცნებების გამოყენებით..

a და b კოეფიციენტების მნიშვნელობიდან გამომდინარე, მრუდის პოზიციის მხოლოდ ექვსი ვარიანტია:

1. დისკრიმინანტი დადებითია, a და b განსხვავებული ნიშნებია. პარაბოლას ტოტები მაღლა იყურება, კვადრატულ განტოლებას ორი ამონახსნი აქვს.
2. დისკრიმინანტი და კოეფიციენტი b უდრის ნულს, კოეფიციენტი a მეტია ნულზე. გრაფიკი დადებით ზონაშია, განტოლებას აქვს 1 ფესვი.
3. დისკრიმინანტი და ყველა კოეფიციენტი დადებითია. კვადრატულ განტოლებას არ აქვს ამონახსნი.
4. დისკრიმინანტი და კოეფიციენტი a უარყოფითია, b მეტია ნულზე. გრაფიკის ტოტები მიმართულია ქვევით, განტოლებას ორი ფესვი აქვს.
5. დისკრიმინაციული დაკოეფიციენტი b უდრის ნულს, კოეფიციენტი a არის უარყოფითი. პარაბოლა გამოიყურება ქვემოთ, განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.
6. დისკრიმინანტისა და ყველა კოეფიციენტის მნიშვნელობები უარყოფითია. გადაწყვეტილებები არ არის, ფუნქციის მნიშვნელობები მთლიანად უარყოფით ზონაშია.

შენიშვნა: ვარიანტი a=0 არ განიხილება, რადგან ამ შემთხვევაში პარაბოლა გადაგვარდება სწორ ხაზში.

ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი კარგად არის ილუსტრირებული ქვემოთ მოყვანილი ფიგურით.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

პირობა: ზოგადი თვისებების გამოყენებით შეადგინეთ კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვები ერთმანეთის ტოლია.

გადაწყვეტა:

პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით x₁ =x₂, ან -b + √(b^{2- 4ac) / (2a)=-b + √(b}2 ^{- 4ac) / (2a). აღნიშვნის გამარტივება:}

-b + √(b² - 4ac) / (2a) - (-b - √(b² - 4ac) / (2a))=0, გახსენით ფრჩხილები და მიეცით მსგავსი პირობები. განტოლება ხდება 2√(b² - 4ac)=0. ეს განცხადება მართალია, როდესაც b² - 4ac=0, შესაბამისად, b ^{2=4ac, შემდეგ მნიშვნელობა b=2√(ac) შეიცვლებაგანტოლებაში}

ax² + 2√(ac)x + c=0, შემცირებული სახით ვიღებთ x^{2 + 2√(c/a)x + c=0.}

პასუხი:

-სთვის, რომელიც არ უდრის 0-ს და ნებისმიერ c-ს, არის მხოლოდ ერთი ამონახსნი, თუ b=2√(c / a).

კვადრატულ განტოლებებს, მთელი მათი სიმარტივის მიუხედავად, დიდი მნიშვნელობა აქვს საინჟინრო გამოთვლებში. თითქმის ნებისმიერი ფიზიკური პროცესი შეიძლება აღწერილი იყოს გარკვეული მიახლოებით გამოყენებითბრძანების სიმძლავრის ფუნქციები n. კვადრატული განტოლება იქნება პირველი ასეთი მიახლოება.