ჩვენ ყველანი სკოლაში ალგებრის კლასში ვსწავლობდით არითმეტიკულ კვადრატულ ფესვებს. ეს ხდება, რომ თუ ცოდნა არ განახლდება, მაშინ ის სწრაფად დავიწყებულია, იგივე ფესვები. ეს სტატია გამოადგება მერვე კლასელებს, რომელთაც სურთ განაახლონ თავიანთი ცოდნა ამ სფეროში, და სხვა სკოლის მოსწავლეებს, რადგან ჩვენ ვმუშაობთ ფესვებთან მე-9, მე-10 და მე-11 კლასებში.
ძირისა და ხარისხის ისტორია
თუნდაც ძველ დროში და კონკრეტულად ძველ ეგვიპტეში ადამიანებს სჭირდებოდათ ხარისხები რიცხვებზე მოქმედებების შესასრულებლად. როცა ასეთი ცნება არ არსებობდა, ეგვიპტელები ოცჯერ წერდნენ იმავე რიცხვის ნამრავლს. მაგრამ მალე პრობლემის გადაწყვეტა გამოიგონეს - რამდენჯერ უნდა გამრავლდეს რიცხვი თავისთავად, დაიწყო მის ზემოთ მარჯვენა ზედა კუთხეში ჩაწერა და ჩაწერის ეს ფორმა დღემდე შემორჩა..
და კვადრატული ფესვის ისტორია დაიწყო დაახლოებით 500 წლის წინ. იგი სხვადასხვანაირად იყო დასახელებული და მხოლოდ მეჩვიდმეტე საუკუნეში რენე დეკარტმა შემოიღო ასეთი ნიშანი, რომელსაც ჩვენ დღემდე ვიყენებთ.
რა არის კვადრატული ფესვი
მოდით დავიწყოთ იმის ახსნით, თუ რა არის კვადრატული ფესვი. ზოგიერთი c რიცხვის კვადრატული ფესვი არის არაუარყოფითი რიცხვი, რომელიც კვადრატში ტოლი იქნება c-ის. ამ შემთხვევაში, c მეტია ან ტოლია ნულის.
რიცხვის ფესვის ქვეშ მოსაყვანად, კვადრატში ვათავსებთ მას და ვათავსებთ ძირის ნიშანს:
32=9, 3=√9
ასევე, ჩვენ ვერ მივიღებთ უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვის მნიშვნელობას, რადგან კვადრატში ნებისმიერი რიცხვი დადებითია, ანუ:
c2 ≧ 0, თუ √c უარყოფითი რიცხვია, მაშინ c2 < 0 - წესის საწინააღმდეგოდ.
კვადრატული ფესვების სწრაფად გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ რიცხვების კვადრატების ცხრილი.
თვისებები
მოდით განვიხილოთ კვადრატული ფესვის ალგებრული თვისებები.
1) პროდუქტის კვადრატული ფესვის ამოსაღებად, თქვენ უნდა აიღოთ თითოეული ფაქტორის ფესვი. ანუ ის შეიძლება დაიწეროს როგორც ფაქტორების ფესვების ნამრავლი:
√ac=√a × √c, მაგალითად:
√36=√4 × √9
2) წილადიდან ფესვის ამოღებისას აუცილებელია ფესვის ამოღება მრიცხველისა და მნიშვნელისაგან განცალკევებით, ანუ ჩაწერეთ მათი ფესვების კოეფიციენტად..
3) რიცხვის კვადრატული ფესვის აღებით მიღებული მნიშვნელობა ყოველთვის უდრის ამ რიცხვის მოდულს, ვინაიდან მოდული შეიძლება იყოს მხოლოდ დადებითი:
√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.
4) ნებისმიერი ძალაუფლებისთვის ფესვის ასამაღლებლად, ჩვენ მასზე ვზრდითრადიკალური გამოხატულება:
(√с)4=√с4, მაგალითად:
(√2)6 =√26=√64=8
5) c-ის არითმეტიკული ფესვის კვადრატი უდრის თავად ამ რიცხვს:
(√s)2=s.
ირაციონალური რიცხვების ფესვები
ვთქვათ თექვსმეტის ფესვი მარტივია, მაგრამ როგორ ავიღოთ ისეთი რიცხვების ფესვი, როგორიცაა 7, 10, 11?
რიცხვს, რომლის ფესვი არის უსასრულო არაპერიოდული წილადი, ეწოდება ირაციონალური. მისგან ფესვს დამოუკიდებლად ვერ გამოვყოფთ. ჩვენ შეგვიძლია მხოლოდ სხვა ციფრებთან შედარება. მაგალითად, აიღეთ 5-ის ფესვი და შეადარეთ √4-ს და √9-ს. ნათელია, რომ √4 < √5 < √9, შემდეგ 2 < √5 < 3. ეს ნიშნავს, რომ ხუთის ფესვის მნიშვნელობა არის სადღაც ორსა და სამს შორის, მაგრამ მათ შორის არის ბევრი ათობითი წილადი, და თითოეულის არჩევა საეჭვო გზაა ფესვის მოსაძებნად.
შეგიძლიათ გააკეთოთ ეს ოპერაცია კალკულატორზე - ეს ყველაზე მარტივი და სწრაფი გზაა, მაგრამ მე-8 კლასში არასოდეს მოგიწევთ არითმეტიკული კვადრატული ფესვიდან ირაციონალური რიცხვების ამოღება. თქვენ მხოლოდ უნდა გახსოვდეთ ორის ფესვის და სამის ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობები:
√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.
მაგალითები
ახლა, კვადრატული ფესვის თვისებებზე დაყრდნობით, გადავწყვეტთ რამდენიმე მაგალითს:
1) √172 - 82
დაიმახსოვრე კვადრატების სხვაობის ფორმულა:
√(17-8) (17+8)=√9 ×25
ჩვენ ვიცით კვადრატული არითმეტიკული ფესვის თვისება - ნამრავლიდან ფესვის ამოსაღებად ის თითოეული ფაქტორიდან უნდა ამოიღოთ:
√9 × √25=3 × 5=15
2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36
გამოიყენეთ ფესვის სხვა თვისება - რიცხვის არითმეტიკული ფესვის კვადრატი უდრის თავად ამ რიცხვს:
2 × 3 + 6=12
მნიშვნელოვანია! ხშირად, როდესაც იწყებს მუშაობას და მაგალითების ამოხსნას არითმეტიკული კვადრატული ფესვებით, მოსწავლეები უშვებენ შემდეგ შეცდომას:
√12 + 3=√12 + √3 - თქვენ არ შეგიძლიათ ამის გაკეთება!
ჩვენ არ შეგვიძლია ყოველი ტერმინის ფესვი. ასეთი წესი არ არსებობს, მაგრამ ის დაბნეულია თითოეული ფაქტორის ფესვის აღებასთან. ეს ჩანაწერი რომ გვქონდეს:
√12 × 3, მაშინ სამართლიანი იქნება დაწეროთ √12 × 3=√12 × √3.
და ასე შეგვიძლია მხოლოდ დავწეროთ:
√12 + 3=√15
