გეომეტრია მშვენიერია, რადგან ალგებრისგან განსხვავებით, სადაც ყოველთვის არ არის ნათელი რას ფიქრობ და რატომ, ის ხილვადობას ანიჭებს ობიექტს. სხვადასხვა სხეულების ეს მშვენიერი სამყარო მორთულია ჩვეულებრივი პოლიედრებით.
ზოგადი ინფორმაცია რეგულარული პოლიედრების შესახებ
ბევრი აზრით, რეგულარულ პოლიედრებს, ან, როგორც მათ ასევე უწოდებენ პლატონურ მყარებს, აქვთ უნიკალური თვისებები. ამ ობიექტებთან დაკავშირებულია რამდენიმე სამეცნიერო ჰიპოთეზა. როდესაც თქვენ იწყებთ ამ გეომეტრიული სხეულების შესწავლას, გესმით, რომ პრაქტიკულად არაფერი იცით ისეთი კონცეფციის შესახებ, როგორიცაა რეგულარული პოლიედრები. სკოლაში ამ ობიექტების პრეზენტაცია ყოველთვის საინტერესო არ არის, ამიტომ ბევრს არც კი ახსოვს, რას ეძახიან. უმეტესობას მხოლოდ კუბი ახსოვს. გეომეტრიაში არცერთი სხეული არ არის ისეთი სრულყოფილი, როგორც ჩვეულებრივი პოლიედრები. ამ გეომეტრიული სხეულების ყველა სახელწოდება წარმოიშვა ძველი საბერძნეთიდან. იგულისხმება სახეების რაოდენობა: ტეტრაედრონი - ოთხმხრივი, ექვსკუთხა - ექვსმხრივი, რვაკუთხედი - რვაკუთხა, თორმეტკუთხედი - თორმეტგვერდიანი, იკოსაედონი - ოცგვერდა. ყველა ეს გეომეტრიული სხეულიპლატონის სამყაროს კონცეფციაში მნიშვნელოვანი ადგილი ეკავა. ოთხი მათგანი განასახიერებდა ელემენტებს ან ერთეულებს: ტეტრაედონი - ცეცხლი, იკოსაედონი - წყალი, კუბი - დედამიწა, ოქტაედრონი - ჰაერი. დოდეკაედონი განასახიერებდა ყველაფერს, რაც არსებობს. ის მთავარად ითვლებოდა, რადგან სამყაროს სიმბოლო იყო.
პოლიედრონის კონცეფციის განზოგადება
მრავალედონი არის მრავალკუთხედების სასრული რაოდენობის კრებული, როგორიცაა:
- ნებისმიერი მრავალკუთხედის თითოეული გვერდი ერთდროულად არის მხოლოდ ერთი სხვა მრავალკუთხედის გვერდი იმავე მხარეს;
- თითოეული მრავალკუთხედიდან შეგიძლიათ მიხვიდეთ სხვებთან მის მიმდებარე მრავალკუთხედების გასწვრივ.
მრავალკუთხედები, რომლებიც ქმნიან მრავალკუთხედს, არის მისი სახეები, ხოლო მათი გვერდები კიდეები. მრავალკუთხედის წვეროები მრავალკუთხედების წვეროებია. თუ მრავალკუთხედის ცნება გაგებულია, როგორც ბრტყელი დახურული გატეხილი ხაზები, მაშინ მივაღწევთ მრავალკუთხედის ერთ განმარტებას. იმ შემთხვევაში, როდესაც ეს კონცეფცია გულისხმობს სიბრტყის ნაწილს, რომელიც შემოიფარგლება გატეხილი ხაზებით, მაშინ უნდა გავიგოთ ზედაპირი, რომელიც შედგება პოლიგონური ნაწილებისგან. ამოზნექილი პოლიედონი არის სხეული, რომელიც მდებარეობს სიბრტყის ერთ მხარეს მისი სახის მიმდებარედ.
პოლიედრონისა და მისი ელემენტების კიდევ ერთი განმარტება
პოლიედონი არის ზედაპირი, რომელიც შედგება მრავალკუთხედებისგან, რომელიც ზღუდავს გეომეტრიულ სხეულს. ისინი არიან:
- არაამოზნექილი;
- ამოზნექილი (სწორი და არასწორი).
რეგულარული პოლიედონი არის ამოზნექილი პოლიედონი მაქსიმალური სიმეტრიით. რეგულარული პოლიედრების ელემენტები:
- ტეტრაედონი: 6 კიდე, 4 სახე, 5 წვერო;
- ჰექსაედონი (კუბი): 12, 6, 8;
- დოდეკაედონი: 30, 12, 20;
- ოქტაედონი: 12, 8, 6;
- იკოაედონი: 30, 20, 12.
ეილერის თეორემა
ის ადგენს ურთიერთობას კიდეების, წვეროებისა და სახეების რაოდენობას შორის, რომლებიც ტოპოლოგიურად სფეროს ექვივალენტურია. სხვადასხვა რეგულარული პოლიედრების წვეროებისა და სახეების (B + D) რაოდენობის მიმატებით და მათი კიდეების რაოდენობასთან შედარებით, შეიძლება დადგინდეს ერთი ნიმუში: სახეებისა და წვეროების რაოდენობის ჯამი უდრის გაზრდილი კიდეების რაოდენობას (P). 2-ით. შეგიძლიათ გამოიყვანოთ მარტივი ფორმულა:
B + D=R + 2
ეს ფორმულა ჭეშმარიტია ყველა ამოზნექილი პოლიედრისთვის.
ძირითადი განმარტებები
რეგულარული პოლიედრონის ცნება არ შეიძლება აღწერილი იყოს ერთი წინადადებით. ის უფრო შინაარსიანი და მოცულობითია. იმისათვის, რომ ორგანო ასეთად იყოს აღიარებული, ის უნდა აკმაყოფილებდეს რამდენიმე განმარტებას. ასე რომ, გეომეტრიული სხეული იქნება რეგულარული პოლიედონი, თუ დაკმაყოფილდება შემდეგი პირობები:
- ის ამოზნექილია;
- ერთნაირი რაოდენობის კიდეები იყრის თავს მის თითოეულ წვეროზე;
- მისი ყველა სახე არის რეგულარული მრავალკუთხედი, ერთმანეთის ტოლი;
- მისი ყველა ორმხრივი კუთხე ტოლია.
რეგულარული პოლიედრების თვისებები
არსებობს 5 სხვადასხვა ტიპის რეგულარული პოლიედრები:
- კუბი (ჰექსაედონი) - მას აქვს ბრტყელი კუთხე ზევით არის 90°.აქვს 3 გვერდიანი კუთხე. ზევით ბრტყელი კუთხეების ჯამი არის 270°.
- ტეტრაედონი - ბრტყელი კუთხე ზედა - 60°. აქვს 3 გვერდიანი კუთხე. ზევით ბრტყელი კუთხეების ჯამი არის 180°.
- ოქტაედონი - ბრტყელი წვეროს კუთხე - 60°. აქვს 4 გვერდიანი კუთხე. ზევით ბრტყელი კუთხეების ჯამი არის 240°.
- დოდეკაედონი - ბრტყელი კუთხე წვეროზე 108°. აქვს 3 გვერდიანი კუთხე. ზევით ბრტყელი კუთხეების ჯამი არის 324°.
- იკოსაედონი - მას აქვს ბრტყელი კუთხე ზევით - 60°. აქვს 5 გვერდიანი კუთხე. ზევით ბრტყელი კუთხეების ჯამი არის 300°.
რეგულარული პოლიედრების ფართობი
ამ გეომეტრიული სხეულების ზედაპირის ფართობი (S) გამოითვლება როგორც რეგულარული მრავალკუთხედის ფართობი გამრავლებული მისი სახეების რაოდენობაზე (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/წ
რეგულარული პოლიედრონის მოცულობა
ეს მნიშვნელობა გამოითვლება რეგულარული პირამიდის მოცულობის გამრავლებით, რომლის ძირში არის რეგულარული მრავალკუთხედი, სახეების რაოდენობაზე და მისი სიმაღლე არის ჩაწერილი სფეროს რადიუსი (r):.
V=1: 3rS
რეგულარული პოლიედრების ტომები
როგორც ნებისმიერ სხვა გეომეტრიულ სხეულს, რეგულარულ პოლიედრებს აქვთ განსხვავებული მოცულობა. ქვემოთ მოცემულია ფორმულები, რომლითაც შეგიძლიათ მათი გამოთვლა:
- ტეტრაედონი: α x 3√2: 12;
- ოქტაედონი: α x 3√2: 3;
- იკოედრონი; α x 3;
- ჰექსაედონი (კუბი): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- დოდეკაედონი: α x 3 (15 + 7√5): 4.
რეგულარული პოლიედრების ელემენტები
ჰექსაედონი და ოქტაედრონი ორმაგი გეომეტრიული სხეულებია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მათი მიღება შესაძლებელია ერთმანეთისგან, თუ ერთის სახის სიმძიმის ცენტრი მიიღება მეორის წვეროდ და პირიქით. იკოსაედონი და დოდეკედრონი ასევე ორმაგია. მხოლოდ ტეტრაედონი არის ორმაგი თავისთვის. ევკლიდეს მეთოდის მიხედვით, კუბის პირებზე „სახურავების“აგებით შეგიძლიათ ექვსკუთხედიდან დოდეკედრონი მიიღოთ. ტეტრაედრის წვეროები იქნება კუბის ნებისმიერი 4 წვერო, რომლებიც წყვილ-წყვილად არ არიან მიმდებარე კიდეების გასწვრივ. ჰექსაედრონიდან (კუბიდან) შეგიძლიათ მიიღოთ სხვა რეგულარული პოლიედრები. მიუხედავად იმისა, რომ არსებობს უამრავი რეგულარული მრავალკუთხედი, არსებობს მხოლოდ 5 რეგულარული მრავალკუთხედი.
რეგულარული მრავალკუთხედების რადიუსი
არის 3 კონცენტრული სფერო, რომლებიც დაკავშირებულია თითოეულ ამ გეომეტრიულ სხეულთან:
- აღწერია მის მწვერვალებზე გავლა;
- ჩაწერილი, რომელიც ეხება მის თითოეულ სახეს მის ცენტრში;
- მედიანა, ყველა კიდეს შუაში შეხება.
აღწერილი სფეროს რადიუსი გამოითვლება შემდეგი ფორმულით:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
ჩაწერილი სფეროს რადიუსი გამოითვლება ფორმულით:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
სადაც θ არის დიედრული კუთხე მეზობელ სახეებს შორის.
მედიანური სფეროს რადიუსი შეიძლება გამოითვალოს შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:
ρ=cos π/p: 2 sin π/სთ,
სადაც h მნიშვნელობა=4, 6, 6, 10 ან 10. შემოხაზული და ჩაწერილი რადიუსების შეფარდება სიმეტრიულია p და q მიმართ. ისგამოითვლება ფორმულით:
R/r=tg π/p x tg π/q
მრავალედრების სიმეტრია
რეგულარული პოლიედრების სიმეტრია იწვევს მთავარ ინტერესს ამ გეომეტრიული სხეულების მიმართ. იგულისხმება, როგორც სხეულის მოძრაობა სივრცეში, რომელიც ტოვებს იმავე რაოდენობის წვეროებს, სახეებსა და კიდეებს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სიმეტრიის ტრანსფორმაციის ეფექტის ქვეშ, კიდე, წვერო, სახე ან ინარჩუნებს თავდაპირველ პოზიციას ან გადადის სხვა კიდის, წვერის ან სახის საწყის პოზიციაზე.
რეგულარული პოლიედრების სიმეტრიის ელემენტები დამახასიათებელია ყველა ტიპის ასეთი გეომეტრიული სხეულებისთვის. აქ საუბარია იდენტურ ტრანსფორმაციაზე, რომელიც ტოვებს ნებისმიერ წერტილს თავდაპირველ მდგომარეობაში. ასე რომ, როდესაც თქვენ ატრიალებთ მრავალკუთხა პრიზმას, შეგიძლიათ მიიღოთ რამდენიმე სიმეტრია. ნებისმიერი მათგანი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ასახვის პროდუქტი. სიმეტრიას, რომელიც არის ლუწი რაოდენობის ანარეკლების ნამრავლი, სწორი ხაზი ეწოდება. თუ ის არის კენტი რაოდენობის ასახვის ნამრავლი, მაშინ მას ინვერსიული ეწოდება. ამრიგად, წრფის ყველა ბრუნვა არის პირდაპირი სიმეტრია. პოლიედრონის ნებისმიერი ასახვა არის შებრუნებული სიმეტრია.
რეგულარული პოლიედრების სიმეტრიის ელემენტების უკეთ გასაგებად, შეგვიძლია ავიღოთ ტეტრაედრის მაგალითი. ნებისმიერი სწორი ხაზი, რომელიც გაივლის ამ გეომეტრიული ფიგურის ერთ-ერთ წვეროსა და ცენტრს, ასევე გაივლის მის მოპირდაპირე სახის ცენტრს. ხაზის ირგვლივ 120° და 240° ყოველი შემობრუნება მრავლობითია.ტეტრაედრის სიმეტრია. ვინაიდან მას აქვს 4 წვერო და 4 სახე, არსებობს მხოლოდ რვა პირდაპირი სიმეტრია. ნებისმიერი ხაზი, რომელიც გადის კიდის შუა და ამ სხეულის ცენტრში, გადის მისი მოპირდაპირე კიდის შუაზე. ნებისმიერი 180° ბრუნვა, რომელსაც ეწოდება ნახევრად შემობრუნება, სწორი ხაზის გარშემო არის სიმეტრია. ვინაიდან ტეტრაედრონს სამი წყვილი კიდე აქვს, არსებობს კიდევ სამი პირდაპირი სიმეტრია. ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ პირდაპირი სიმეტრიების ჯამური რაოდენობა, იდენტური ტრანსფორმაციის ჩათვლით, მიაღწევს თორმეტს. ტეტრაედრონს არ აქვს სხვა პირდაპირი სიმეტრია, მაგრამ მას აქვს 12 შებრუნებული სიმეტრია. მაშასადამე, ტეტრაედრონს ახასიათებს სულ 24 სიმეტრია. სიცხადისთვის, შეგიძლიათ მუყაოსგან ააგოთ ჩვეულებრივი ტეტრაედრის მოდელი და დარწმუნდეთ, რომ ამ გეომეტრიულ სხეულს ნამდვილად აქვს მხოლოდ 24 სიმეტრია.
დოდეკაედონი და იკოსაედონი ყველაზე ახლოს არის სხეულის სფეროსთან. იკოსაედრონს აქვს ყველაზე მეტი სახე, ყველაზე დიდი დიჰედრული კუთხე და ყველაზე მჭიდროდ შეიძლება დაჭერილი იყოს ჩაწერილ სფეროსთან. დოდეკაედრონს აქვს ყველაზე პატარა კუთხოვანი დეფექტი, ყველაზე დიდი მყარი კუთხე წვეროზე. მას შეუძლია შეავსოს თავისი აღწერილი სფერო მაქსიმალურად.
მრავალედრების სვიები
რეგულარულ შეფუთულ პოლიედრებს, რომლებიც ბავშვობაში ყველამ ერთად ვაწებეთ, ბევრი კონცეფცია აქვს. თუ არსებობს მრავალკუთხედების კრებული, რომელთა თითოეული მხარე იდენტიფიცირებულია მრავალწახნაგების მხოლოდ ერთ მხარეს, მაშინ გვერდების იდენტიფიკაცია უნდა აკმაყოფილებდეს ორ პირობას:
- თითოეული მრავალკუთხედიდან, შეგიძლიათ გადახვიდეთ მრავალკუთხედებზე, რომლებსაც აქვთიდენტიფიცირებული მხარე;
- იდენტიფიცირებული მხარეები უნდა ჰქონდეთ იგივე სიგრძე.
ეს არის მრავალკუთხედების ერთობლიობა, რომელიც აკმაყოფილებს ამ პირობებს, რომელსაც ეწოდება მრავალწახნაგების განვითარება. თითოეულ ამ სხეულს აქვს რამდენიმე მათგანი. მაგალითად, კუბს აქვს 11 მათგანი.
