ფიზიკაში მბრუნავი სხეულების ან სისტემების პრობლემების განხილვა, რომლებიც წონასწორობაშია, ხორციელდება "ძალის მომენტის" კონცეფციის გამოყენებით. ეს სტატია განიხილავს ძალის მომენტის ფორმულას, ისევე როგორც მის გამოყენებას ამ ტიპის პრობლემის გადასაჭრელად.
ძალის მომენტი ფიზიკაში
როგორც შესავალში აღინიშნა, ეს სტატია ყურადღებას გაამახვილებს სისტემებზე, რომლებსაც შეუძლიათ ბრუნვა ღერძის ან წერტილის გარშემო. განვიხილოთ ასეთი მოდელის მაგალითი, რომელიც ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.
ჩვენ ვხედავთ, რომ რუხი ბერკეტი დამაგრებულია ბრუნვის ღერძზე. ბერკეტის ბოლოს არის რაღაც მასის შავი კუბი, რომელზედაც მოქმედებს ძალა (წითელი ისარი). ინტუიციურად ნათელია, რომ ამ ძალის შედეგი იქნება ბერკეტის ბრუნვა ღერძის გარშემო საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.
ძალის მომენტი არის სიდიდე ფიზიკაში, რომელიც უდრის ბრუნვის ღერძისა და ძალის გამოყენების წერტილის დამაკავშირებელი რადიუსის ვექტორულ ნამრავლს (მწვანე ვექტორი ფიგურაში) და გარე ძალის თავად. ანუ იწერება ღერძის გარშემო ძალის მომენტის ფორმულაშემდეგნაირად:
M¯=r¯F¯
ამ პროდუქტის შედეგი არის ვექტორი M¯. მისი მიმართულება განისაზღვრება მულტიპლიკატორის ვექტორების, ანუ r¯ და F¯ ცოდნის საფუძველზე. ჯვარედინი ნამრავლის განმარტების მიხედვით, M¯ უნდა იყოს პერპენდიკულარული სიბრტყეზე, რომელიც წარმოიქმნება r¯ და F¯ ვექტორებით და მიმართული იყოს მარჯვენა ხელის წესის შესაბამისად (თუ მარჯვენა ხელის ოთხი თითი მოთავსებულია პირველი გამრავლებულის გასწვრივ. ვექტორი მეორის ბოლოსკენ, შემდეგ ცერა თითი მიუთითებს სად არის მიმართული სასურველი ვექტორი). ნახატზე ხედავთ სად არის მიმართული M¯ ვექტორი (ლურჯი ისარი).
სკალარული აღნიშვნა M¯
წინა აბზაცის ფიგურაში ძალა (წითელი ისარი) მოქმედებს ბერკეტზე 90o კუთხით. ზოგადად, მისი გამოყენება შესაძლებელია აბსოლუტურად ნებისმიერი კუთხით. განიხილეთ ქვემოთ მოცემული სურათი.
აქ ჩვენ ვხედავთ, რომ ძალა F უკვე მოქმედებს L ბერკეტზე გარკვეული Φ კუთხით. ამ სისტემისთვის, წერტილის მიმართ ძალის მომენტის ფორმულა (ისრით ნაჩვენები) სკალარული ფორმით მიიღებს ფორმას:
M=LFsin(Φ)
გამოსახულებიდან გამომდინარეობს, რომ M ძალის მომენტი უფრო დიდი იქნება, რაც უფრო ახლოს იქნება F ძალის მოქმედების მიმართულება 90o კუთხესთან L-ის მიმართ. პირიქით, თუ F მოქმედებს L-ის გასწვრივ, მაშინ sin(0)=0 და ძალა არ ქმნის არცერთ მომენტს (M=0).
ძალის მომენტის სკალარული ფორმით განხილვისას ხშირად გამოიყენება "ძალის ბერკეტის" კონცეფცია. ეს მნიშვნელობა არის მანძილი ღერძს შორის (წერტილიროტაცია) და ვექტორი F. ამ განმარტების გამოყენებით ზემოთ მოცემულ ფიგურაზე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ d=Lsin(Φ) არის ძალის ბერკეტი (თანაბრობა გამომდინარეობს ტრიგონომეტრიული ფუნქციის „სინუსი“განმარტებიდან). ძალის ბერკეტის მეშვეობით M მომენტის ფორმულა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:
M=dF
M
-ის ფიზიკური მნიშვნელობა
განხილული ფიზიკური სიდიდე განსაზღვრავს გარე ძალის F უნარს მოახდინოს ბრუნვის ეფექტი სისტემაზე. სხეულის ბრუნვით მოძრაობაში მოსაყვანად აუცილებელია მას რაღაც მომენტის შეტყობინება M.
ამ პროცესის მთავარი მაგალითია ოთახის კარის გაღება ან დახურვა. სახელურს უჭირავს, ადამიანი ძალისხმევას იშურებს და კარს თავის საკინძებზე აბრუნებს. ყველას შეუძლია ამის გაკეთება. თუ ცდილობთ კარის გაღებას მასზე მოქმედებით საკინძებთან ახლოს, მაშინ დიდი ძალისხმევა მოგიწევთ მის გადასაადგილებლად.
კიდევ ერთი მაგალითია თხილის გაფხვიერება ქანჩით. რაც უფრო მოკლეა ეს გასაღები, მით უფრო რთულია დავალების შესრულება.
მითითებული თვისებები ნაჩვენებია წინა აბზაცში მოცემული მხარზე ძალის მომენტის ფორმულით. თუ M განიხილება მუდმივ მნიშვნელობად, მაშინ რაც უფრო მცირეა d, მით მეტი F უნდა იქნას გამოყენებული ძალის მოცემული მომენტის შესაქმნელად.
რამდენიმე მოქმედი ძალა სისტემაში
ზემოთ განხილული იყო შემთხვევები, როდესაც მხოლოდ ერთი ძალა F მოქმედებს სისტემაზე, რომელსაც შეუძლია ბრუნვა, მაგრამ რა მოხდება, თუ არსებობს რამდენიმე ასეთი ძალა? მართლაც, ეს სიტუაცია უფრო ხშირია, რადგან ძალებს შეუძლიათ იმოქმედონ სისტემაზეგანსხვავებული ბუნება (გრავიტაციული, ელექტრო, ხახუნის, მექანიკური და სხვა). ყველა ამ შემთხვევაში, M¯ ძალის შედეგად მიღებული მომენტი შეიძლება მივიღოთ ყველა მომენტის ვექტორული ჯამის გამოყენებით Mi¯, ე.ი.:
M¯=∑i(Mi¯), სადაც i არის სიძლიერის რიცხვი Fi
მომენტების დანამატის თვისებიდან გამომდინარეობს მნიშვნელოვანი დასკვნა, რომელსაც ვარინიონის თეორემა ჰქვია, მე-17 საუკუნის ბოლოს - მე-18 საუკუნის დასაწყისის მათემატიკოსის - ფრანგი პიერ ვარინიონის სახელით. მასში ნათქვამია: „განხილულ სისტემაზე მოქმედი ყველა ძალის მომენტების ჯამი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ერთი ძალის მომენტი, რომელიც უდრის ყველა დანარჩენის ჯამს და მიმართულია გარკვეულ წერტილზე“. მათემატიკურად, თეორემა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
∑i(Mi¯)=M¯=d∑i (Fi¯)
ეს მნიშვნელოვანი თეორემა ხშირად გამოიყენება პრაქტიკაში სხეულების ბრუნვისა და წონასწორობის პრობლემების გადასაჭრელად.
მოქმედებს ძალის მომენტი?
ზემოხსენებული ფორმულების სკალარული ან ვექტორული ფორმით გაანალიზებით, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ M-ის მნიშვნელობა არის გარკვეული სამუშაო. მართლაც, მისი განზომილებაა Nm, რომელიც SI-ში შეესაბამება ჯოულს (J). სინამდვილეში, ძალის მომენტი არ არის სამუშაო, არამედ მხოლოდ რაოდენობა, რომელსაც შეუძლია ამის გაკეთება. ამისათვის საჭიროა სისტემაში წრიული მოძრაობა და გრძელვადიანი მოქმედება M. ამიტომ ძალის მომენტის მუშაობის ფორმულა ასე იწერება:
A=Mθ
Bამ გამოთქმაში θ არის კუთხე, რომლის მეშვეობითაც ბრუნი განხორციელდა M ძალის მომენტით. შედეგად, სამუშაო ერთეული შეიძლება დაიწეროს როგორც Nmrad ან Jrad. მაგალითად, მნიშვნელობა 60 J rad მიუთითებს, რომ როდესაც ბრუნავს 1 რადიანით (დაახლოებით წრის 1/3), ძალა F, რომელიც ქმნის მომენტს M-მ შეასრულა 60 ჯოული სამუშაო. ეს ფორმულა ხშირად გამოიყენება პრობლემების გადაჭრისას სისტემებში, სადაც მოქმედებს ხახუნის ძალები, როგორც ქვემოთ იქნება ნაჩვენები.
ძალის მომენტი და იმპულსის მომენტი
როგორც ნაჩვენებია, სისტემაზე M მომენტის ზემოქმედება იწვევს მასში ბრუნვის მოძრაობის გამოჩენას. ამ უკანასკნელს ახასიათებს სიდიდე, რომელსაც „იმპულსი“ეწოდება. მისი გამოთვლა შესაძლებელია ფორმულით:
L=Iω
აქ I არის ინერციის მომენტი (მნიშვნელობა, რომელიც ბრუნვისას იგივე როლს ასრულებს, როგორც მასა სხეულის წრფივ მოძრაობაში), ω არის კუთხური სიჩქარე, იგი დაკავშირებულია წრფივ სიჩქარესთან ფორმულით. ω=v/r.
ორივე მომენტი (იმპულსი და ძალა) დაკავშირებულია ერთმანეთთან შემდეგი გამოთქმით:
M=Iα, სადაც α=dω / dt არის კუთხური აჩქარება.
მოდი მივცეთ კიდევ ერთი ფორმულა, რომელიც მნიშვნელოვანია ამოცანების გადასაჭრელად ძალთა მომენტების მუშაობისთვის. ამ ფორმულის გამოყენებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ მბრუნავი სხეულის კინეტიკური ენერგია. ის ასე გამოიყურება:
Ek=1/2Iω2
შემდეგ, წარმოგიდგენთ ორ პრობლემას ამონახსნებით, სადაც ვაჩვენებთ, როგორ გამოვიყენოთ განხილული ფიზიკური ფორმულები.
რამდენიმე სხეულის წონასწორობა
პირველი ამოცანა დაკავშირებულია სისტემის წონასწორობასთან, რომელშიც მოქმედებს რამდენიმე ძალა. Ზექვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს სისტემას, რომელზეც მოქმედებს სამი ძალა. აუცილებელია გამოვთვალოთ, რა მასის უნდა შეაჩეროს საგანი ამ ბერკეტიდან და რა მომენტში უნდა მოხდეს ეს სისტემა წონასწორობაში.
პრობლემის პირობებიდან შეგვიძლია გავიგოთ, რომ მის გადასაჭრელად უნდა გამოვიყენოთ ვარინიონის თეორემა. პრობლემის პირველ ნაწილზე პასუხის გაცემა შესაძლებელია დაუყოვნებლივ, რადგან ბერკეტზე ჩამოკიდებული საგნის წონა იქნება:
P=F1 - F2 + F3=20 - 10 + 25=35 H
აქ ნიშნები არჩეულია იმის გათვალისწინებით, რომ ძალა, რომელიც ბრუნავს ბერკეტს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, ქმნის უარყოფით მომენტს.
დ წერტილის პოზიცია, სადაც ეს წონა უნდა იყოს ჩამოკიდებული, გამოითვლება ფორმულით:
M1 - M2 + M3=dP=720 - 510 + 325=d35=> d=165/35=4, 714 მ
გაითვალისწინეთ, რომ გრავიტაციის მომენტის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ გამოვთვალეთ სამი ძალის მიერ შექმნილის ექვივალენტური მნიშვნელობა M. იმისთვის, რომ სისტემა წონასწორობაში იმყოფებოდეს, საჭიროა 35 ნ მასის სხეულის შეჩერება ბერკეტის მეორე მხარეს მდებარე ღერძიდან 714 მ-ზე.
დისკის გადაადგილების პრობლემა
შემდეგი ამოცანის ამოხსნა ეფუძნება ხახუნის ძალის მომენტისა და რევოლუციის სხეულის კინეტიკური ენერგიის ფორმულის გამოყენებას. ამოცანა: მოცემულია r=0,3 მეტრი რადიუსის მქონე დისკი, რომელიც ბრუნავს ω=1 რად/წმ სიჩქარით. აუცილებელია გამოვთვალოთ რა მანძილის გავლა შეუძლია მას ზედაპირზე, თუ მოძრავი ხახუნის კოეფიციენტი არის Μ=0,001.
ამ პრობლემის გადაჭრა ყველაზე ადვილია, თუ გამოიყენებთ ენერგიის შენარჩუნების კანონს. ჩვენ გვაქვს დისკის საწყისი კინეტიკური ენერგია. როდესაც ის იწყებს გორვას, მთელი ეს ენერგია იხარჯება ზედაპირის გათბობაზე ხახუნის ძალის მოქმედების გამო. ორივე სიდიდის გათანაბრებით, მივიღებთ გამოსახულებას:
Iω2/2=MN/rrθ
ფორმულის პირველი ნაწილი არის დისკის კინეტიკური ენერგია. მეორე ნაწილი არის ხახუნის ძალის მომენტის მუშაობა F=ΜN/r, რომელიც გამოიყენება დისკის კიდეზე (M=Fr).
იმის გათვალისწინებით, რომ N=mg და I=1/2mr2, ჩვენ ვიანგარიშებთ θ:
θ=mr2 ω2/(4მმგ)=r 2 ω2/(4M g)=0, 32 1 2/(40,0019,81)=2,29358 რადი
რადგან 2pi რადიანები შეესაბამება 2pir სიგრძეს, მაშინ მივიღებთ, რომ საჭირო მანძილი, რომელსაც დისკი დაფარავს არის:
s=θr=2,293580,3=0,688 მ ან დაახლოებით 69 სმ
გაითვალისწინეთ, რომ დისკის მასა არ მოქმედებს ამ შედეგზე.
