ალგებრული უტოლობები ან მათი სისტემები რაციონალური კოეფიციენტებით, რომელთა ამონახსნები მოძიებულია ინტეგრალურ ან მთელ რიცხვებში. როგორც წესი, დიოფანტის განტოლებებში უცნობის რაოდენობა მეტია. ამრიგად, ისინი ასევე ცნობილია როგორც განუსაზღვრელი უტოლობები. თანამედროვე მათემატიკაში ზემოაღნიშნული ცნება გამოიყენება ალგებრულ განტოლებებზე, რომელთა ამონახსნები მოძებნილია Q-რაციონალური ცვლადების ველის გარკვეული გაფართოების ალგებრულ მთელ რიცხვებში, p-adic ცვლადების ველში და ა.შ.
ამ უტოლობების წარმოშობა
დიოფანტინის განტოლებების შესწავლა რიცხვთა თეორიისა და ალგებრული გეომეტრიის საზღვარზეა. მთელი რიცხვების ცვლადებში ამონახსნების პოვნა ერთ-ერთი უძველესი მათემატიკური ამოცანაა. უკვე II ათასწლეულის დასაწყისში ძვ.წ. ძველმა ბაბილონელებმა მოახერხეს ორი უცნობის მქონე განტოლებების სისტემების ამოხსნა. მათემატიკის ეს ფილიალი ყველაზე მეტად ძველ საბერძნეთში აყვავდა. დიოფანტის არითმეტიკა (დაახლოებით მე-3 საუკუნე) არის მნიშვნელოვანი და მთავარი წყარო, რომელიც შეიცავს განტოლებების სხვადასხვა ტიპებსა და სისტემებს.
ამ წიგნში დიოფანტე იწინასწარმეტყველა რიგი მეთოდები მეორე და მესამე უტოლობების შესასწავლად.ხარისხები, რომლებიც სრულად განვითარდა მე-19 საუკუნეში. ძველი საბერძნეთის ამ მკვლევარის მიერ რაციონალური რიცხვების თეორიის შექმნამ განაპირობა განუსაზღვრელი სისტემების ლოგიკური ამონახსნების ანალიზი, რასაც სისტემატიურად მოჰყვება მის წიგნში. მიუხედავად იმისა, რომ მისი ნამუშევარი შეიცავს ამონახსნებს სპეციფიკური დიოფანტის განტოლებების შესახებ, არსებობს საფუძველი ვიფიქროთ, რომ ის ასევე იცნობდა რამდენიმე ზოგად მეთოდს.
ამ უთანასწორობების შესწავლა ჩვეულებრივ დაკავშირებულია სერიოზულ სირთულეებთან. გამომდინარე იქიდან, რომ ისინი შეიცავს მრავალწევრებს მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით F (x, y1, …, y). ამის საფუძველზე გაკეთდა დასკვნები, რომ არ არსებობს ერთი ალგორითმი, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას რომელიმე მოცემული x-ისთვის, რათა დადგინდეს, არის თუ არა განტოლება F (x, y1, …., y ). სიტუაცია მოსაგვარებელია y1, …, y . ასეთი მრავალწევრების მაგალითების დაწერა შეიძლება.
უმარტივესი უტოლობა
ax + by=1, სადაც a და b არის შედარებით მთელი და მარტივი რიცხვები, მას აქვს შესრულების დიდი რაოდენობა (თუ x0, y0 იქმნება შედეგი, შემდეგ ცვლადების წყვილი x=x0 + b და y=y0 -an, სადაც n არის თვითნებური, ასევე ჩაითვლება უტოლობად). დიოფანტინის განტოლებების კიდევ ერთი მაგალითია x2 + y2 =z2. ამ უტოლობის დადებითი ინტეგრალური ამონახსნები არის მცირე გვერდების x, y და მართკუთხა სამკუთხედების სიგრძეები, ასევე ჰიპოტენუზა z მთელი რიცხვითი გვერდითი ზომებით. ეს რიცხვები ცნობილია როგორც პითაგორას რიცხვები. მითითებულია ყველა სამეული პრიმის მიმართზემოთ ცვლადები მოცემულია x=m2 – n2, y=2mn, z=m2, y=2mn, z=m2+ n
2, სადაც m და n არის მთელი და მარტივი რიცხვები (m>n>0).
დიოფანტე თავის არითმეტიკაში ეძებს რაციონალურ (არა აუცილებლად ინტეგრალურ) ამონახსნებს მისი განსაკუთრებული ტიპის უტოლობების შესახებ. პირველი ხარისხის დიოფანტინის განტოლებების ამოხსნის ზოგადი თეორია შეიმუშავა C. G. Basschet-მა XVII საუკუნეში. სხვა მეცნიერები მე-19 საუკუნის დასაწყისში ძირითადად სწავლობდნენ მსგავს უტოლობებს, როგორიცაა ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, სადაც a, b, c, d, e და f არის ზოგადი, ჰეტეროგენული, მეორე ხარისხის ორი უცნობი. ლაგრანჟმა გამოიყენა უწყვეტი წილადები თავის კვლევაში. გაუსმა კვადრატული ფორმებისთვის შეიმუშავა ზოგადი თეორია, რომელიც ეფუძნება ზოგიერთი სახის ამონახსნებს.
ამ მეორე ხარისხის უთანასწორობების შესწავლისას მნიშვნელოვანი პროგრესი განხორციელდა მხოლოდ მე-20 საუკუნეში. ა. ტუუმ აღმოაჩინა, რომ დიოფანტინის განტოლება a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, სადაც n≧3, a0, …, a , c არის მთელი რიცხვები და a0tn + …+ a არ შეიძლება ჰქონდეს მთელი რიცხვების ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. თუმცა, Thue-ს მეთოდი არ იყო სათანადოდ შემუშავებული. ა. ბეიკერმა შექმნა ეფექტური თეორემები, რომლებიც აფასებენ ამ ტიპის ზოგიერთი განტოლების შესრულებას. BN Delaunay შემოგვთავაზა გამოკვლევის სხვა მეთოდი, რომელიც გამოიყენება ამ უტოლობების ვიწრო კლასში. კერძოდ, ფორმა ax3 + y3 =1 სრულად ამოსახსნელია ამ გზით.
დიოფანტინის განტოლებები: ამოხსნის მეთოდები
დიოფანტეს თეორიას მრავალი მიმართულება აქვს. ამრიგად, ამ სისტემაში კარგად ცნობილი პრობლემაა ჰიპოთეზა, რომ არ არსებობს დიოფანტინის განტოლებების არატრივიალური ამონახსნები xn + y =z. n თუ n ≧ 3 (ფერმატის შეკითხვა). უტოლობის მთელი რიცხვების შესრულების შესწავლა პითაგორას სამეულების პრობლემის ბუნებრივი განზოგადებაა. ეილერმა მიიღო ფერმას ამოცანის დადებითი გადაწყვეტა n=4-ისთვის. ამ შედეგის მიხედვით, ეს ეხება განტოლების გამოტოვებული მთელი რიცხვის მტკიცებულებას, თუ n არის კენტი მარტივი რიცხვი.
შესწავლა გადაწყვეტილებასთან დაკავშირებით არ დასრულებულა. მისი განხორციელების სირთულეები დაკავშირებულია იმასთან, რომ ალგებრული მთელი რიცხვების რგოლში მარტივი ფაქტორიზაცია უნიკალური არ არის. ამ სისტემაში გამყოფების თეორია მარტივი მაჩვენებლების მრავალი კლასისთვის შესაძლებელს ხდის ფერმას თეორემის მართებულობის დადასტურებას. ამრიგად, წრფივი დიოფანტინის განტოლება ორი უცნობით სრულდება არსებული მეთოდებითა და გზებით.
აღწერილი ამოცანების ტიპები და ტიპები
ალგებრული მთელი რიცხვების რგოლების არითმეტიკა ასევე გამოიყენება დიოფანტინის განტოლებების ბევრ სხვა ამოცანებში და ამონახსნებში. მაგალითად, ასეთი მეთოდები გამოიყენებოდა N(a1 x1 +…+ a უტოლობების შესრულებისას. x)=m, სადაც N(a) არის a-ს ნორმა, და x1, …, xn ნაპოვნია ინტეგრალური რაციონალური ცვლადები. ეს კლასი მოიცავს პელის განტოლებას x2–dy2=1.
მნიშვნელობები a1, …, a , რომელიც ჩანს, ეს განტოლებები იყოფა ორ ტიპად. პირველი ტიპი - ეგრეთ წოდებული სრული ფორმები - მოიცავს განტოლებებს, რომლებშიც a-ს შორის არის m წრფივი დამოუკიდებელი რიცხვები Q რაციონალური ცვლადების ველზე, სადაც m=[Q(a1, …, a):Q], რომელშიც არის ალგებრული მაჩვენებლების ხარისხი Q (a1, …, a ) Q-ზე. არასრული სახეობებია რომლის მაქსიმალური რაოდენობა a i ნაკლებია m.
სრული ფორმები უფრო მარტივია, მათი შესწავლა დასრულებულია და ყველა ამოხსნის აღწერა შესაძლებელია. მეორე ტიპი, არასრული სახეობა, უფრო რთულია და ასეთი თეორიის შემუშავება ჯერ არ დასრულებულა. ასეთი განტოლებები შესწავლილია დიოფანტინის მიახლოებების გამოყენებით, რომელიც მოიცავს უტოლობას F(x, y)=C, სადაც F (x, y) არის n≧3 ხარისხის შეუქცევადი, ერთგვაროვანი პოლინომი. ამრიგად, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ yi→∞. შესაბამისად, თუ yi საკმარისად დიდია, მაშინ უტოლობა ეწინააღმდეგება Thue, Siegel და Roth-ის თეორემას, საიდანაც გამოდის, რომ F(x, y)=C, სადაც F არის მესამე ხარისხის ან ზემოთ ფორმას, შეუქცევადს არ შეიძლება ჰქონდეს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.
როგორ ამოხსნათ დიოფანტინის განტოლება?
ეს მაგალითი საკმაოდ ვიწრო კლასია ყველას შორის. მაგალითად, მიუხედავად მათი სიმარტივისა, x3 + y3 + z3=N, და x2 +y 2 +z2 +u2 =N არ შედის ამ კლასში. ამონახსნების შესწავლა დიოფანტინის განტოლებების საკმაოდ საგულდაგულოდ შესწავლილი ფილიალია, სადაც საფუძველია რიცხვების კვადრატული ფორმებით წარმოდგენა. ლაგრანჟიშექმნა თეორემა, რომელიც ამბობს, რომ შესრულება არსებობს ყველა ბუნებრივი N-ისთვის. ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სამი კვადრატის ჯამის სახით (გაუსის თეორემა), მაგრამ ის არ უნდა იყოს 4a ფორმის. (8K- 1), სადაც a და k არის არაუარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლები.
რაციონალური ან ინტეგრალური ამონახსნები F ტიპის დიოფანტინის განტოლების სისტემისთვის (x1, …, x)=a, სადაც F (x 1, …, x) არის კვადრატული ფორმა მთელი რიცხვების კოეფიციენტებით. ამრიგად, მინკოვსკი-ჰასეს თეორემის მიხედვით, უტოლობა ∑aijxixj=b ijდა b არის რაციონალური, აქვს ინტეგრალური ამონახსნები ნამდვილ და p-ადურ რიცხვებში ყოველი მარტივი რიცხვისთვის p მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის ამ სტრუქტურაში ამოსახსნელია.
თანდაყოლილი სირთულეებიდან გამომდინარე, ნაკლებად შესწავლილია მესამე ხარისხის და ზემოთ თვითნებური ფორმების მქონე რიცხვების შესწავლა. შესრულების ძირითადი მეთოდი არის ტრიგონომეტრიული ჯამების მეთოდი. ამ შემთხვევაში, განტოლების ამონახსნების რაოდენობა ცალსახად იწერება ფურიეს ინტეგრალის მიხედვით. ამის შემდეგ გარემოს მეთოდი გამოიყენება შესაბამისი კონგრუენციების უტოლობის შესრულების რაოდენობის გამოსახატავად. ტრიგონომეტრიული ჯამების მეთოდი დამოკიდებულია უტოლობების ალგებრულ მახასიათებლებზე. არსებობს წრფივი დიოფანტინის განტოლებების ამოხსნის ელემენტარული მეთოდების დიდი რაოდენობა.
დიოფანტინის ანალიზი
მათემატიკის განყოფილება, რომლის საგანია ალგებრის განტოლებათა სისტემების ინტეგრალური და რაციონალური ამონახსნების შესწავლა გეომეტრიის მეთოდებით, იგივესფეროები. XIX საუკუნის მეორე ნახევარში ამ რიცხვების თეორიის გაჩენამ განაპირობა დიოფანტის განტოლებების შესწავლა თვითნებური ველიდან კოეფიციენტებით და ამონახსნები განიხილებოდა ან მასში ან მის რგოლებში. რიცხვების პარალელურად განვითარებული ალგებრული ფუნქციების სისტემა. ამ ორს შორის არსებულმა ძირითადმა ანალოგიამ, რომელსაც ხაზი გაუსვა დ. ჰილბერტმა და, კერძოდ, ლ. კრონეკერმა, განაპირობა სხვადასხვა არითმეტიკული ცნების ერთგვაროვანი აგება, რომლებსაც ჩვეულებრივ უწოდებენ გლობალურს.
ეს განსაკუთრებით შესამჩნევია, თუ მუდმივთა სასრულ ველზე შესასწავლი ალგებრული ფუნქციები ერთი ცვლადია. ცნებები, როგორიცაა კლასის ველის თეორია, გამყოფი, და განშტოება და შედეგები ზემოაღნიშნულის კარგი ილუსტრაციაა. ეს თვალსაზრისი დიოფანტის უტოლობების სისტემაში მხოლოდ მოგვიანებით იქნა მიღებული და სისტემატური კვლევა არა მხოლოდ რიცხვითი კოეფიციენტებით, არამედ კოეფიციენტებითაც, რომლებიც ფუნქციებია, მხოლოდ 1950-იან წლებში დაიწყო. ამ მიდგომის ერთ-ერთი გადამწყვეტი ფაქტორი იყო ალგებრული გეომეტრიის განვითარება. რიცხვებისა და ფუნქციების ველების ერთდროულმა შესწავლამ, რომლებიც წარმოიქმნება, როგორც ერთი და იგივე საგნის ორი თანაბრად მნიშვნელოვანი ასპექტი, არა მარტო ელეგანტური და დამაჯერებელი შედეგების მომტანი იყო, არამედ ორი თემის ურთიერთ გამდიდრებამდე მიგვიყვანა.
ალგებრულ გეომეტრიაში მრავალფეროვნების ცნება ჩანაცვლებულია უტოლობების არაინვარიანტული სიმრავლით მოცემულ K ველზე და მათი ამონახსნები იცვლება რაციონალური წერტილებით K მნიშვნელობებით ან მის სასრულ გაფართოებაში. შესაბამისად შეიძლება ითქვას, რომ დიოფანტის გეომეტრიის ფუნდამენტური პრობლემა რაციონალური წერტილების შესწავლააალგებრული სიმრავლის X(K), ხოლო X არის გარკვეული რიცხვები K ველში. მთელი რიცხვის შესრულებას აქვს გეომეტრიული მნიშვნელობა წრფივი დიოფანტის განტოლებებში.
უთანასწორობის კვლევები და შესრულების ვარიანტები
ალგებრულ ჯიშებზე რაციონალური (ან ინტეგრალური) წერტილების შესწავლისას ჩნდება პირველი პრობლემა, რაც მათი არსებობაა. ჰილბერტის მეათე პრობლემა ჩამოყალიბებულია, როგორც ამ პრობლემის გადაჭრის ზოგადი მეთოდის პოვნის პრობლემა. ალგორითმის ზუსტი განმარტების შექმნის პროცესში და მას შემდეგ რაც დადასტურდა, რომ არ არსებობს ასეთი აღსრულებები დიდი რაოდენობის პრობლემებისთვის, პრობლემამ მიიღო აშკარა უარყოფითი შედეგი და ყველაზე საინტერესო საკითხია დიოფანტინის განტოლებების კლასების განსაზღვრა. რისთვისაც ზემოაღნიშნული სისტემა არსებობს. ყველაზე ბუნებრივი მიდგომა, ალგებრული თვალსაზრისით, არის ეგრეთ წოდებული ჰასეს პრინციპი: საწყისი ველი K შესწავლილია მის დასრულებებთან ერთად Kv ყველა შესაძლო შეფასებით. ვინაიდან X(K)=X(Kv) არსებობის აუცილებელი პირობაა და K წერტილი ითვალისწინებს, რომ სიმრავლე X(Kv) არ არის ცარიელი ყველა v.
მნიშვნელობა მდგომარეობს იმაში, რომ იგი აერთიანებს ორ პრობლემას. მეორე გაცილებით მარტივია, ის ამოხსნილია ცნობილი ალგორითმით. კონკრეტულ შემთხვევაში, სადაც X ჯიში პროექციულია, ჰანსელის ლემა და მისი განზოგადება შესაძლებელს ხდის შემდგომ შემცირებას: პრობლემა შეიძლება შემცირდეს რაციონალური წერტილების შესწავლით სასრულ ველზე. შემდეგ ის გადაწყვეტს კონცეფციის შექმნას თანმიმდევრული კვლევის ან უფრო ეფექტური მეთოდების მეშვეობით.
ბოლომნიშვნელოვანი მოსაზრებაა, რომ სიმრავლეები X(Kv) არ არის ცარიელი ყველასთვის, გარდა v-ის სასრული რიცხვისა, ამიტომ პირობების რაოდენობა ყოველთვის სასრულია და მათი ეფექტურად ტესტირება შესაძლებელია. თუმცა, ჰასეს პრინციპი არ ვრცელდება ხარისხების მოსახვევებზე. მაგალითად, 3x3 + 4y3=5 აქვს ქულა ყველა p-adic რიცხვის ველში და ნამდვილ რიცხვთა სისტემაში, მაგრამ არ აქვს რაციონალური წერტილები.
ეს მეთოდი ემსახურებოდა ამოსავალ წერტილს აბელიური ჯიშების ძირითადი ერთგვაროვანი სივრცეების კლასების აღწერისთვის, ჰასეს პრინციპიდან "გადახრის" შესაქმნელად. იგი აღწერილია სპეციალური სტრუქტურის თვალსაზრისით, რომელიც შეიძლება ასოცირებული იყოს თითოეულ მრავალფეროვნებასთან (ტატე-შაფარევიჩის ჯგუფი). თეორიის მთავარი სირთულე მდგომარეობს იმაში, რომ ჯგუფების გამოთვლის მეთოდები ძნელად მოსაპოვებელია. ეს კონცეფცია ასევე გავრცელდა ალგებრული ჯიშების სხვა კლასებზე.
მოძებნეთ უტოლობების შესრულების ალგორითმი
კიდევ ერთი ევრისტიკული იდეა, რომელიც გამოიყენება დიოფანტინის განტოლებების შესწავლისას არის ის, რომ თუ უტოლობათა სიმრავლეში ჩართული ცვლადების რაოდენობა დიდია, მაშინ სისტემას ჩვეულებრივ აქვს ამონახსნები. თუმცა, ამის დამტკიცება ძალიან რთულია რომელიმე კონკრეტულ შემთხვევაში. ამ ტიპის პრობლემების ზოგადი მიდგომა იყენებს რიცხვების ანალიტიკურ თეორიას და ეფუძნება ტრიგონომეტრიული ჯამების შეფასებებს. ეს მეთოდი თავდაპირველად გამოიყენებოდა განტოლებების სპეციალურ სახეობებზე.
თუმცა მოგვიანებით მისი დახმარებით დადასტურდა, რომ თუ კენტი ხარისხის ფორმა არის F, d-შიდა n ცვლადი და რაციონალური კოეფიციენტებით, მაშინ n საკმარისად დიდია d-თან შედარებით, ამიტომ პროექციულ ჰიპერზედაპირს F=0 აქვს რაციონალური წერტილი. არტინის ვარაუდის მიხედვით, ეს შედეგი მართალია მაშინაც კი, თუ n > d2. ეს მხოლოდ კვადრატულ ფორმებზეა დადასტურებული. მსგავსი პრობლემები შეიძლება დაისვას სხვა სფეროებშიც. დიოფანტის გეომეტრიის ცენტრალური პრობლემა არის მთელი რიცხვების ან რაციონალური წერტილების სიმრავლის სტრუქტურა და მათი შესწავლა და პირველი საკითხი, რომელიც უნდა დაზუსტდეს, არის თუ არა ეს სიმრავლე სასრული. ამ პრობლემაში, სიტუაციას, როგორც წესი, აქვს შესრულების სასრული რაოდენობა, თუ სისტემის ხარისხი ბევრად აღემატება ცვლადების რაოდენობას. ეს არის ძირითადი დაშვება.
უტოლობა წრფეებსა და მრუდეებზე
ჯგუფი X(K) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც r რანგის თავისუფალი სტრუქტურისა და n რიგის სასრული ჯგუფის პირდაპირი ჯამი. 1930-იანი წლებიდან შესწავლილი იყო საკითხი იმის შესახებ, არის თუ არა ეს რიცხვები შემოსაზღვრული ყველა ელიფსური მრუდის სიმრავლეზე მოცემულ K ველზე. ბრუნვის n-ის შეზღუდვა ნაჩვენები იყო სამოცდაათიან წლებში. ფუნქციურ შემთხვევაში არის თვითნებური მაღალი რანგის მრუდები. რიცხობრივ შემთხვევაში, ამ კითხვაზე პასუხი ჯერ კიდევ არ არის.
და ბოლოს, მორდელის ვარაუდი ამბობს, რომ ინტეგრალური წერტილების რაოდენობა სასრულია g>1 გვარის მრუდისთვის. ფუნქციურ შემთხვევაში, ეს კონცეფცია აჩვენა Yu I. Manin-მა 1963 წელს. მთავარი ინსტრუმენტი, რომელიც გამოიყენება დიოფანტის გეომეტრიაში სასრულობის თეორემების დასამტკიცებლად არის სიმაღლე. ალგებრული ჯიშებიდან ერთის ზემოთ ზომები აბელიურიამრავალგანზომილებიანი ანალოგები, რომლებიც წარმოადგენენ ელიფსური მრუდების მრავალგანზომილებიან ანალოგებს, ყველაზე საფუძვლიანად იქნა შესწავლილი.
A. ვეილმა განაზოგადა თეორემა რაციონალური წერტილების ჯგუფის გენერატორების რაოდენობის სასრულობის შესახებ ნებისმიერი განზომილების აბელიურ სახეობებზე (მორდელ-ვეილის კონცეფცია), გააფართოვა იგი. 1960-იან წლებში გამოჩნდა ბირჩისა და სვინერტონ-დაიერის ვარაუდი, რომელმაც გააუმჯობესა ეს და ჯგუფი და ზეტა ფუნქციები. ამ ჰიპოთეზას ადასტურებს რიცხვითი მტკიცებულებები.
გადაჭრის პრობლემა
ალგორითმის პოვნის პრობლემა, რომელიც შეიძლება გამოვიყენოთ იმის დასადგენად, აქვს თუ არა რომელიმე დიოფანტინის განტოლებას ამონახსნი. დასმული პრობლემის არსებითი მახასიათებელია უნივერსალური მეთოდის ძიება, რომელიც შესაფერისი იქნება ნებისმიერი უთანასწორობისთვის. ასეთი მეთოდი ასევე იძლევა ზემოაღნიშნული სისტემების ამოხსნის საშუალებას, ვინაიდან იგი უდრის P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 ან p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. მთელი რიცხვებით წრფივი უტოლობების ამონახსნების ასეთი უნივერსალური გზის პოვნის პრობლემა დასვა დ. გილბერტი.
1950-იანი წლების დასაწყისში გამოჩნდა პირველი კვლევები, რომლებიც მიზნად ისახავდა დიოფანტინის განტოლებების ამოხსნის ალგორითმის არარსებობის დამტკიცებას. ამ დროს გამოჩნდა დევისის ვარაუდი, რომელიც ამბობდა, რომ ნებისმიერი უთვალავი ნაკრები ასევე ეკუთვნის ბერძენ მეცნიერს. იმის გამო, რომ ალგორითმულად გადაუჭრელი კომპლექტების მაგალითები ცნობილია, მაგრამ ისინი რეკურსიულად უთვალავია. აქედან გამომდინარეობს, რომ დევისის ვარაუდი მართალია და ამ განტოლებების ამოხსნადობის პრობლემააქვს უარყოფითი შესრულება.
ამის შემდეგ, დევისის ვარაუდისთვის, რჩება იმის მტკიცება, რომ არსებობს უტოლობის გარდაქმნის მეთოდი, რომელსაც ასევე (ან არ ჰქონდა) ამავე დროს გამოსავალი. ნაჩვენები იყო, რომ დიოფანტინის განტოლების ასეთი ცვლილება შესაძლებელია, თუ მას აქვს ზემოთ ჩამოთვლილი ორი თვისება: 1) ამ ტიპის ნებისმიერ ამონახსნში v ≦ uu; 2) ნებისმიერი k-სთვის არის შესრულება ექსპონენციალური ზრდით.
ამ კლასის წრფივი დიოფანტინის განტოლების მაგალითი დაასრულა მტკიცებულება. რაციონალურ რიცხვებში ამ უტოლობათა ამოხსნადობისა და ამოცნობის ალგორითმის არსებობის პრობლემა კვლავ მნიშვნელოვან და ღია საკითხად ითვლება, რომელიც საკმარისად არ არის შესწავლილი.
