უტოლობა და უტოლობათა სისტემები ერთ-ერთი თემაა, რომელიც ისწავლება საშუალო სკოლის ალგებრაში. სირთულის თვალსაზრისით, ეს არ არის ყველაზე რთული, რადგან მას აქვს მარტივი წესები (მათ შესახებ ცოტა მოგვიანებით). როგორც წესი, სკოლის მოსწავლეები საკმაოდ მარტივად სწავლობენ უთანასწორობის სისტემების ამოხსნას. ეს იმითაც არის განპირობებული, რომ მასწავლებლები უბრალოდ „ავარჯიშებენ“მოსწავლეებს ამ თემაზე. და მათ არ შეუძლიათ ამის გაკეთება, რადგან ის მომავალში შეისწავლება სხვა მათემატიკური სიდიდეების გამოყენებით, ასევე მოწმდება OGE-სთვის და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის. სასკოლო სახელმძღვანელოებში უთანასწორობისა და უთანასწორობის სისტემების თემა დეტალურად არის გაშუქებული, ამიტომ თუ მის შესწავლას აპირებთ, უმჯობესია მათ მიმართოთ. ეს სტატია მხოლოდ ბევრი მასალის პერიფრაზია და შესაძლოა შეიცავდეს ზოგიერთ გამოტოვებას.
უტოლობათა სისტემის კონცეფცია
თუ სამეცნიერო ენას მივმართავთ, შეგვიძლია განვსაზღვროთ "სისტემის" ცნებაუტოლობები". ეს არის ისეთი მათემატიკური მოდელი, რომელიც წარმოადგენს რამდენიმე უტოლობას. რა თქმა უნდა, ეს მოდელი საჭიროებს ამოხსნას და ეს იქნება ზოგადი პასუხი ამოცანაში შემოთავაზებული სისტემის ყველა უტოლობაზე (ჩვეულებრივ, ასე იწერება, მაგალითი: "ამოხსენით უტოლობების სისტემა 4 x + 1 > 2 და 30 - x > 6…").
უტოლობების სისტემები და განტოლებათა სისტემები
ახალი თემის შესწავლის პროცესში ხშირად ჩნდება გაუგებრობები. ერთის მხრივ, ყველაფერი გასაგებია და მირჩევნია ამოცანების ამოხსნა დავიწყო, მაგრამ მეორე მხრივ, რაღაც მომენტები „ჩრდილში“რჩება, კარგად არ არის გასაგები. ასევე, უკვე მიღებული ცოდნის ზოგიერთი ელემენტი შეიძლება გადახლართული იყოს ახალთან. შეცდომები ხშირად ხდება ამ გადახურვის შედეგად.
ამიტომ, სანამ ჩვენი თემის ანალიზს გავაგრძელებთ, უნდა გავიხსენოთ განტოლებები და უტოლობა, მათი სისტემები. ამისათვის საჭიროა კიდევ ერთხელ განვმარტოთ რა არის ეს მათემატიკური ცნებები. განტოლება ყოველთვის თანასწორობაა და ის ყოველთვის რაღაცის ტოლია (მათემატიკაში ეს სიტყვა აღინიშნება ნიშნით "="). უტოლობა არის მოდელი, რომელშიც ერთი მნიშვნელობა ან მეტია ან ნაკლებია მეორეზე, ან შეიცავს მტკიცებას, რომ ისინი არ არიან იგივე. ამრიგად, პირველ შემთხვევაში, მიზანშეწონილია საუბარი თანასწორობაზე, ხოლო მეორეში, რაც არ უნდა აშკარად ჟღერდესთავად სახელი, საწყისი მონაცემების უთანასწორობის შესახებ. განტოლებათა და უტოლობათა სისტემები პრაქტიკულად არ განსხვავდება ერთმანეთისგან და მათი ამოხსნის მეთოდები ერთი და იგივეა. ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ პირველი იყენებს ტოლობას, ხოლო მეორე იყენებს უტოლობას.
უტოლობების ტიპები
არსებობს უტოლობების ორი ტიპი: რიცხვითი და უცნობი ცვლადით. პირველ ტიპში მოცემულია მნიშვნელობები (რიცხვები), რომლებიც არ არის ერთმანეთის ტოლი, მაგალითად, 8 > 10. მეორე ტიპი არის უტოლობები, რომლებიც შეიცავს უცნობ ცვლადს (მითითებულია ლათინური ანბანის ზოგიერთი ასოთი, ყველაზე ხშირად X). ეს ცვლადი უნდა მოიძებნოს. იმის მიხედვით, თუ რამდენია, მათემატიკური მოდელი განასხვავებს უტოლობას ერთით (ისინი ქმნიან უტოლობათა სისტემას ერთი ცვლადით) ან რამდენიმე ცვლადით (ისინი ქმნიან უტოლობათა სისტემას რამდენიმე ცვლადით).
ბოლო ორი ტიპი, მათი აგებულების ხარისხისა და ამოხსნის სირთულის დონის მიხედვით, იყოფა მარტივ და რთულებად. მარტივებს ასევე უწოდებენ წრფივ უტოლობას. ისინი, თავის მხრივ, იყოფა მკაცრ და არამკაცრად. მკაცრად კონკრეტულად "თქვით", რომ ერთი მნიშვნელობა უნდა იყოს ან ნაკლები ან მეტი, ასე რომ, ეს არის სუფთა უთანასწორობა. არსებობს რამდენიმე მაგალითი: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 და ა.შ. არამკაცრებში ასევე შედის თანასწორობა. ანუ, ერთი მნიშვნელობა შეიძლება იყოს სხვა მნიშვნელობაზე მეტი ან ტოლი (ნიშანი "≧") ან ნაკლები ან ტოლი სხვა მნიშვნელობაზე (ნიშანი "≦"). ჯერ კიდევ რიგშიუტოლობაში ცვლადი არ დგას ფესვზე, კვადრატში, არ იყოფა არაფერზე, რის გამოც მათ „მარტივი“ეწოდება. რთულები მოიცავს უცნობ ცვლადებს, რომელთა აღმოჩენაც მეტ მათემატიკურ ოპერაციებს მოითხოვს. ისინი ხშირად არიან კვადრატში, კუბში ან ფესვის ქვეშ, შეიძლება იყოს მოდულარული, ლოგარითმული, წილადი და ა.შ. მაგრამ რადგან ჩვენი ამოცანაა გავიგოთ უტოლობების სისტემების ამოხსნა, ვისაუბრებთ წრფივი უტოლობების სისტემაზე. თუმცა მანამდე მათ თვისებებზე ორიოდე სიტყვა უნდა ითქვას.
უტოლობების თვისებები
უტოლობების თვისებები მოიცავს შემდეგ დებულებებს:
- უტოლობის ნიშანი შებრუნებულია, თუ გამოიყენება გვერდების თანმიმდევრობის შეცვლის ოპერაცია (მაგალითად, თუ t1 ≦ t2, შემდეგ t 2 ≧ t1).
- უტოლობის ორივე ნაწილი საშუალებას გაძლევთ დაამატოთ იგივე რიცხვი საკუთარ თავს (მაგალითად, თუ t1 ≦ t2, შემდეგ t 1 + ნომერი ≦ t2 + ნომერი).
- ორი ან მეტი უტოლობა ერთი და იგივე მიმართულების ნიშნით საშუალებას გაძლევთ დაამატოთ მათი მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები (მაგალითად, თუ t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, შემდეგ t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- უტოლობის ორივე ნაწილი საშუალებას აძლევს საკუთარ თავს გამრავლდეს ან გაიყოს იმავე დადებით რიცხვზე (მაგალითად, თუ t1 ≦ t2და ნომერი ≦ 0, შემდეგ ნომერი t1 ≧ ნომერი t2).
- ორი ან მეტი უტოლობა, რომელსაც აქვს დადებითი ტერმინები და ერთი და იგივე მიმართულების ნიშანი, იძლევა საშუალებასგავამრავლოთ ერთმანეთი (მაგალითად, თუ t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 შემდეგ t1 t3 ≦ t2 t4).
- უტოლობის ორივე ნაწილი საშუალებას აძლევს საკუთარ თავს გამრავლდეს ან გაიყოს იმავე უარყოფით რიცხვზე, მაგრამ უტოლობის ნიშანი იცვლება (მაგალითად, თუ t1 ≦ t2 და ნომერი ≦ 0, შემდეგ ნომერი t1 ≧ ნომერი t2).
- ყველა უტოლობა გარდამავალია (მაგალითად, თუ t1 ≦ t2 და t2≦ t3, შემდეგ t1 ≦ t3).
ახლა, უტოლობასთან დაკავშირებული თეორიის ძირითადი დებულებების შესწავლის შემდეგ, შეგვიძლია პირდაპირ გადავიდეთ მათი სისტემების ამოხსნის წესების განხილვაზე.
უტოლობათა სისტემების ამოხსნა. Ზოგადი ინფორმაცია. გადაწყვეტილებები
როგორც ზემოთ აღინიშნა, გამოსავალი არის ცვლადის მნიშვნელობები, რომლებიც შეესაბამება მოცემული სისტემის ყველა უტოლობას. უტოლობების სისტემების ამოხსნა არის მათემატიკური ოპერაციების განხორციელება, რომლებიც საბოლოოდ იწვევს მთელი სისტემის ამოხსნას ან ამტკიცებს, რომ მას არ აქვს ამონახსნები. ამ შემთხვევაში, ამბობენ, რომ ცვლადი ეხება ცარიელ რიცხვთა კომპლექტს (იწერება შემდეგნაირად: ასო, რომელიც აღნიშნავს ცვლადს ∈ (ნიშანი "ეკუთვნის") ø (ნიშანი "ცარიელი ნაკრები"), მაგალითად, x ∈ ø (იკითხება ასე: „ცვლადი „x“ეკუთვნის ცარიელ სიმრავლეს“). უტოლობათა სისტემის ამოხსნის რამდენიმე გზა არსებობს:გრაფიკული, ალგებრული, ჩანაცვლების მეთოდი. აღსანიშნავია, რომ ისინი ეხება იმ მათემატიკურ მოდელებს, რომლებსაც აქვთ რამდენიმე უცნობი ცვლადი. იმ შემთხვევაში, თუ არსებობს მხოლოდ ერთი, ინტერვალის მეთოდი მუშაობს.
გრაფიკული მეთოდი
საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ უტოლობების სისტემა რამდენიმე უცნობიდან (ორიდან ან მეტიდან). ამ მეთოდის წყალობით წრფივი უტოლობათა სისტემა საკმაოდ მარტივად და სწრაფად წყდება, ამიტომ ის ყველაზე გავრცელებული მეთოდია. ეს იმიტომ ხდება, რომ ნახატი ამცირებს მათემატიკური ოპერაციების ჩაწერის რაოდენობას. განსაკუთრებით სასიამოვნო ხდება კალმისგან ცოტათი შესვენება, სახაზავი ფანქრის აღება და მათი დახმარებით შემდგომი მოქმედებების გაგრძელება, როცა ბევრი სამუშაოა გაკეთებული და ცოტა მრავალფეროვნება გინდა. თუმცა, ზოგს ეს მეთოდი არ მოსწონს იმის გამო, რომ თქვენ უნდა გაშორდეთ დავალებას და გადართოთ თქვენი გონებრივი აქტივობა ხატვაზე. თუმცა ეს ძალიან ეფექტური საშუალებაა.
უტოლობების სისტემის ამოსახსნელად გრაფიკული მეთოდით, აუცილებელია თითოეული უტოლობის ყველა წევრი გადავიტანოთ მათ მარცხენა მხარეს. ნიშნები შებრუნებული იქნება, მარჯვნივ უნდა დაიწეროს ნული, შემდეგ ყოველი უტოლობა ცალ-ცალკე დაიწეროს. შედეგად, ფუნქციები მიიღება უტოლობებიდან. ამის შემდეგ შეგიძლიათ მიიღოთ ფანქარი და სახაზავი: ახლა თქვენ უნდა დახაზოთ თითოეული მიღებული ფუნქციის გრაფიკი. რიცხვების მთელი სიმრავლე, რომელიც იქნება მათი გადაკვეთის ინტერვალში, იქნება უტოლობათა სისტემის ამოხსნა.
ალგებრული გზა
საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ უტოლობათა სისტემა ორი უცნობი ცვლადით. უტოლობებსაც უნდა ჰქონდეთ იგივე უტოლობის ნიშანი (ანუ უნდა შეიცავდეს ან მხოლოდ ნიშანს „დიდზე“, ან მხოლოდ „ნაკლებად“ნიშანს და ა.შ.) მიუხედავად მისი შეზღუდვებისა, ეს მეთოდი ასევე უფრო რთულია. იგი გამოიყენება ორ ეტაპად.
პირველი გულისხმობს ერთ-ერთი უცნობი ცვლადის მოშორებას. ჯერ უნდა აირჩიოთ ის, შემდეგ შეამოწმეთ ამ ცვლადის წინ ნომრების არსებობა. თუ არცერთი არ არის (მაშინ ცვლადი გამოიყურება როგორც ერთი ასო), მაშინ ჩვენ არაფერს ვცვლით, თუ არის (ცვლადის ტიპი იქნება, მაგალითად, 5y ან 12y), მაშინ აუცილებელია დარწმუნდეთ რომ თითოეულ უტოლობაში არჩეული ცვლადის წინ რიცხვი იგივეა. ამისათვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ უტოლობების თითოეული წევრი საერთო კოეფიციენტზე, მაგალითად, თუ პირველ უტოლობაში 3y იწერება, ხოლო მეორეში 5y, მაშინ პირველი უტოლობის ყველა წევრი უნდა გაამრავლოთ 5-ზე., ხოლო მეორე 3-ით. თქვენ მიიღებთ 15 წ და 15 წ, შესაბამისად.
გადაწყვეტილების მეორე ეტაპი. აუცილებელია თითოეული უტოლობის მარცხენა მხარე გადავიტანოთ მათ მარჯვენა მხარეს, თითოეული წევრის ნიშნის საპირისპირო ცვლილებით, მარჯვნივ ჩაწეროთ ნული. შემდეგ მოდის სახალისო ნაწილი: არჩეული ცვლადის მოშორება (სხვაგვარად ცნობილი როგორც "შემცირება") უტოლობების დამატებით. თქვენ მიიღებთ უტოლობას ერთი ცვლადით, რომელიც უნდა გადაიჭრას. ამის შემდეგ, თქვენ უნდა გააკეთოთ იგივე, მხოლოდ სხვა უცნობი ცვლადით. მიღებული შედეგები იქნება სისტემის ამოხსნა.
ჩანაცვლების მეთოდი
გაძლევს საშუალებას გადაჭრას უტოლობათა სისტემა, როცა ახალი ცვლადის დანერგვის შესაძლებლობა გაქვს. როგორც წესი, ეს მეთოდი გამოიყენება მაშინ, როდესაც უცნობი ცვლადი უტოლობის ერთ წევრში ამაღლებულია მეოთხე ხარისხში, ხოლო მეორე პუნქტში კვადრატში. ამრიგად, ეს მეთოდი მიზნად ისახავს სისტემაში უთანასწორობის ხარისხის შემცირებას. ნიმუშის უტოლობა x4 - x2 - 1 ≦ 0 იხსნება შემდეგნაირად. შემოღებულია ახალი ცვლადი, მაგალითად t. ისინი წერენ: "მოდით t=x2", შემდეგ მოდელი გადაიწერება ახალი ფორმით. ჩვენს შემთხვევაში, მივიღებთ t2 - t - 1 ≦0. ეს უტოლობა უნდა გადაწყდეს ინტერვალის მეთოდით (დაახლოებით ცოტა მოგვიანებით), შემდეგ დაუბრუნდეთ X ცვლადს, შემდეგ იგივე გააკეთოთ სხვა უტოლობით. მიღებული პასუხები იქნება სისტემის გადაწყვეტილება.
ინტერვალის მეთოდი
ეს უტოლობების სისტემების ამოხსნის უმარტივესი გზაა და ამავდროულად უნივერსალური და ფართოდ გავრცელებული. იგი გამოიყენება საშუალო სკოლაში და თუნდაც საშუალო სკოლაში. მისი არსი მდგომარეობს იმაში, რომ სტუდენტი ეძებს უტოლობის ინტერვალებს რიცხვით წრფეზე, რომელიც დახატულია რვეულში (ეს არ არის გრაფიკი, არამედ ჩვეულებრივი სწორი ხაზი რიცხვებით). სადაც უტოლობათა ინტერვალები იკვეთება, სისტემის ამონახსნები იპოვება. ინტერვალის მეთოდის გამოსაყენებლად მიჰყევით ამ ნაბიჯებს:
- თითოეული უტოლობის ყველა წევრი გადადის მარცხენა მხარეს, ნიშნის საპირისპირო ცვლილებით (მარჯვნივ იწერება ნული).
- უტოლობა იწერება ცალ-ცალკე, დგინდება თითოეული მათგანის ამონახსნი.
- უტოლობების კვეთები რიცხვზესწორი. ყველა რიცხვი ამ კვეთაზე იქნება გამოსავალი.
რომელი გზა გამოვიყენოთ?
ცხადია, რომ ყველაზე მარტივი და მოსახერხებელია, მაგრამ არის შემთხვევები, როდესაც ამოცანები მოითხოვს გარკვეულ მეთოდს. ყველაზე ხშირად, ისინი ამბობენ, რომ თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ ან გრაფიკის გამოყენებით, ან ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით. ალგებრული მეთოდი და ჩანაცვლება გამოიყენება ძალიან იშვიათად ან საერთოდ არ გამოიყენება, რადგან ისინი საკმაოდ რთული და დამაბნეველია და გარდა ამისა, ისინი უფრო მეტად გამოიყენება განტოლებების სისტემების გადასაჭრელად, ვიდრე უტოლობა, ამიტომ უნდა მიმართოთ გრაფიკების და ინტერვალების დახატვას. მათ მოაქვთ ხილვადობა, რაც ხელს უწყობს მათემატიკური ოპერაციების ეფექტურ და სწრაფ შესრულებას.
თუ რამე არ მუშაობს
ალგებრაში კონკრეტული თემის შესწავლისას, რა თქმა უნდა, შეიძლება წარმოიშვას პრობლემები მის გაგებაში. და ეს ნორმალურია, რადგან ჩვენი ტვინი შექმნილია ისე, რომ მას არ შეუძლია რთული მასალის ერთბაშად გაგება. ხშირად გჭირდებათ აბზაცის ხელახლა წაკითხვა, მასწავლებლის დახმარება ან ტიპიური პრობლემების გადაჭრის ვარჯიში. ჩვენს შემთხვევაში, ისინი, მაგალითად, ასე გამოიყურებიან: "ამოხსენით უტოლობების სისტემა 3 x + 1 ≧ 0 და 2 x - 1 > 3". ამრიგად, პირადი სწრაფვა, აუტსაიდერთა დახმარება და პრაქტიკა დაგეხმარებათ ნებისმიერი რთული თემის გაგებაში.
რეშებნიკ?
და გადაწყვეტის წიგნიც ძალიან კარგია, მაგრამ არა საშინაო დავალების მოსატყუებლად, არამედ თვითდახმარებისთვის. მათში შეგიძლიათ იპოვოთ უტოლობების სისტემები ამონახსნით, შეხედეთმათ (როგორც შაბლონები), შეეცადეთ გაიგოთ ზუსტად როგორ გაართვა თავი ამოხსნის ავტორმა დავალებას და შემდეგ შეეცადეთ ამის გაკეთება დამოუკიდებლად.
დასკვნა
ალგებრა ერთ-ერთი ყველაზე რთული საგანია სკოლაში. აბა, რისი გაკეთება შეგიძლია? მათემატიკა ყოველთვის ასე იყო: ზოგისთვის ის ადვილად მოდის, ზოგისთვის კი რთული. მაგრამ ნებისმიერ შემთხვევაში, უნდა გვახსოვდეს, რომ ზოგადსაგანმანათლებლო პროგრამა შექმნილია ისე, რომ ნებისმიერ სტუდენტს შეუძლია გაუმკლავდეს მას. გარდა ამისა, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ ასისტენტების დიდი რაოდენობა. ზოგიერთი მათგანი ზემოთ იყო ნახსენები.
