სიტყვა "უსასრულობა" თითოეულ ადამიანს აქვს საკუთარი ასოციაციები. ბევრი თავის წარმოსახვაში ხატავს ზღვას, რომელიც სცილდება ჰორიზონტს, ზოგს კი თვალწინ უსასრულო ვარსკვლავური ცის სურათი აქვს. რიცხვებთან მუშაობას მიჩვეული მათემატიკოსები სულ სხვაგვარად წარმოუდგენიათ უსასრულობას. მრავალი საუკუნის განმავლობაში ისინი ცდილობდნენ იპოვონ გაზომვისთვის საჭირო ფიზიკური სიდიდეებიდან ყველაზე დიდი. ერთ-ერთი მათგანია გრეჰემის ნომერი. რამდენი ნული არის მასში და რისთვის გამოიყენება, ეს სტატია გეტყვით.
უსასრულოდ დიდი რიცხვი
მათემატიკაში ეს არის ცვლადის სახელი x , თუ რომელიმე მოცემული დადებითი რიცხვისთვის M შეიძლება მიუთითოთ ნატურალური რიცხვი N ისე, რომ ყველა n რიცხვისთვის N-ზე მეტი. უტოლობა |x | > M. თუმცა, არა, მაგალითად, მთელი Z შეიძლება ჩაითვალოს უსასრულოდ დიდი, რადგან ის ყოველთვის იქნება ნაკლები (Z + 1).
რამდენიმე სიტყვა "გიგანტების" შესახებ
ყველაზე დიდი რიცხვები, რომლებსაც აქვთ ფიზიკური მნიშვნელობა, ითვლება:
- 1080. ეს რიცხვი, რომელსაც ჩვეულებრივ კვინკვავიგინტილიონს უწოდებენ, გამოიყენება სამყაროში კვარკების და ლეპტონების (უმცირესი ნაწილაკების) სავარაუდო რაოდენობის აღსანიშნავად.
- 1 Google. ათობითი სისტემაში ასეთი რიცხვი იწერება როგორც ერთეული 100 ნულით. ზოგიერთი მათემატიკური მოდელის მიხედვით, დიდი აფეთქების დროიდან ყველაზე მასიური შავი ხვრელის აფეთქებამდე, 1-დან 1,5 გუგოლ წლამდე უნდა გაიაროს, რის შემდეგაც ჩვენი სამყარო გადავა თავისი არსებობის ბოლო ეტაპზე, ე.ი. დავუშვათ, რომ ამ რიცხვს აქვს გარკვეული ფიზიკური მნიშვნელობა.
- 8, 5 x 10185. პლანკის მუდმივი არის 1,616199 x 10-35 მ, ანუ ათობითი აღნიშვნით ის გამოიყურება 0,0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000616199 მ. ინჩში არის დაახლოებით 1 გუგოლი პლანკის სიგრძე. გამოთვლილია, რომ დაახლოებით 8,5 x 10185 პლანკის სიგრძე შეიძლება მოერგოს მთელ ჩვენს სამყაროს.
- 277 232 917 - 1. ეს არის ყველაზე დიდი ცნობილი მარტივი რიცხვი. თუ მის ორობით აღნიშვნას აქვს საკმაოდ კომპაქტური ფორმა, მაშინ იმისათვის, რომ გამოსახოთ იგი ათობითი ფორმით, დასჭირდება არანაკლებ 13 მილიონი სიმბოლო. ის 2017 წელს აღმოაჩინეს მერსენის ნომრების ძიების პროექტის ფარგლებში. თუ ენთუზიასტები გააგრძელებენ ამ მიმართულებით მუშაობას, მაშინ კომპიუტერული ტექნოლოგიების განვითარების ამჟამინდელ დონეზე, უახლოეს მომავალში ისინი ნაკლებად სავარაუდოა, რომ იპოვონ მერსენის რიცხვი 277 232 917-ზე მეტი სიდიდის ბრძანებით.- 1, თუმცა ასეთიიღბლიანი გამარჯვებული მიიღებს 150000 აშშ დოლარს.
- ჰუგოპლექსი. აქ ჩვენ უბრალოდ ვიღებთ 1-ს და ვამატებთ ნულებს მის შემდეგ 1 გუგოლის ოდენობით. შეგიძლიათ დაწეროთ ეს რიცხვი 10^10^100. მისი ათწილადის სახით წარმოდგენა შეუძლებელია, რადგან თუ სამყაროს მთელი სივრცე ივსება ქაღალდის ნაჭრებით, რომელთაგან თითოეულზე 0 დაიწერება შრიფტის „Word“ზომით 10, მაშინ ამ შემთხვევაში მხოლოდ ნახევარი. ყველა 0 1-ის შემდეგ მიიღება googolplex ნომრისთვის.
- 10^10^10^10^10^1.1. ეს არის რიცხვი, რომელიც აჩვენებს წლების რაოდენობას, რომლის შემდეგაც, პუანკარეს თეორემის მიხედვით, ჩვენი სამყარო, შემთხვევითი კვანტური რყევების შედეგად, დაუბრუნდება დღევანდელ მდგომარეობას.
როგორ გაჩნდა გრეჰემის რიცხვები
1977 წელს მეცნიერების ცნობილმა პოპულარიზატორმა მარტინ გარდნერმა გამოაქვეყნა სტატია Scientific American-ში გრეჰემის მიერ რამზეს თეორიის ერთ-ერთი პრობლემის დადასტურების შესახებ. მასში მან მეცნიერის მიერ დადგენილ ზღვარს უწოდა ყველაზე დიდი რიცხვი, რაც კი ოდესმე გამოიყენებოდა სერიოზული მათემატიკური მსჯელობისას.
ვინ არის რონალდ ლუის გრეჰემი
მეცნიერი, რომელიც ახლა უკვე 80 წლისაა, კალიფორნიაში დაიბადა. 1962 წელს მიიღო დოქტორის ხარისხი მათემატიკაში ბერკლის უნივერსიტეტში. ის მუშაობდა Bell Labs-ში 37 წლის განმავლობაში და მოგვიანებით გადავიდა AT&T Labs-ში. მეცნიერი აქტიურად თანამშრომლობდა მე-20 საუკუნის ერთ-ერთ უდიდეს მათემატიკოსთან Pal Erdős-თან და არის მრავალი პრესტიჟული ჯილდოს მფლობელი. გრეჰემის სამეცნიერო ბიბლიოგრაფია შეიცავს 320-ზე მეტ სამეცნიერო ნაშრომს.
70-იანი წლების შუა ხანებში მეცნიერი დაინტერესდა თეორიასთან დაკავშირებული პრობლემითრემსი. მის მტკიცებულებაში განისაზღვრა ხსნარის ზედა ზღვარი, რომელიც არის ძალიან დიდი რიცხვი, რომელსაც შემდგომში რონალდ გრეჰემის სახელი ეწოდა.
ჰიპერკუბის პრობლემა
გრეჰემის რიცხვის არსის გასაგებად, ჯერ უნდა გესმოდეთ, როგორ იქნა მიღებული იგი.
მეცნიერი და მისი კოლეგა ბრიუს როტშილდი წყვეტდნენ შემდეგ პრობლემას:
არსებობს n-განზომილებიანი ჰიპერკუბი. მისი წვეროების ყველა წყვილი დაკავშირებულია ისე, რომ მიიღება სრული გრაფიკი 2წვერით. მისი თითოეული კიდე შეღებილია ლურჯი ან წითელი. საჭირო იყო იმ წვეროების მინიმალური რაოდენობის პოვნა, რომელიც უნდა ჰქონდეს ჰიპერკუბს, რათა ყოველი ასეთი შეღებვა შეიცავდეს სრულ მონოქრომატულ ქვეგრაფს 4 წვერით, რომლებიც დევს იმავე სიბრტყეში.
გადაწყვეტილება
გრეჰემმა და როტშილდმა დაამტკიცეს, რომ პრობლემას აქვს გამოსავალი N', რომელიც აკმაყოფილებს პირობას 6 ⩽ N' ⩽N, სადაც N არის კარგად განსაზღვრული, ძალიან დიდი რიცხვი.
N-ის ქვედა ზღვარი შემდგომში დაიხვეწა სხვა მეცნიერებმა, რომლებმაც დაამტკიცეს, რომ N უნდა იყოს 13-ზე მეტი ან ტოლი. ამრიგად, ჰიპერკუბის წვეროების უმცირესი რაოდენობის გამოხატულება, რომელიც აკმაყოფილებს ზემოთ მოცემულ პირობებს, გახდა. 13 ⩽ N'⩽ N.
კნუტის ისრის აღნიშვნა
გრეჰემის რიცხვის განსაზღვრამდე, თქვენ უნდა გაეცნოთ მისი სიმბოლური წარმოდგენის მეთოდს, რადგან არც ათობითი და არც ორობითი აღნიშვნა არ არის აბსოლუტურად შესაფერისი ამისთვის.
ამჟამად კნუტის ისრის აღნიშვნა გამოიყენება ამ სიდიდის გამოსასახად. მისი თქმით:
ab=ა "ზემო ისარი" b.
მრავალჯერადი სიმძლავრის მოქმედებისთვის დაინერგა ჩანაწერი:
a "up arrow" "up arrow" b=ab="კოშკი, რომელიც შედგება a-სგან b ცალი ოდენობით."
და პენტატისთვის, ანუ წინა ოპერატორის განმეორებითი მნიშვნელობის სიმბოლური აღნიშვნისთვის, კნუტმა უკვე გამოიყენა 3 ისარი.
გრეჰემის რიცხვის ამ აღნიშვნის გამოყენებით, ჩვენ გვაქვს "ისრის" თანმიმდევრობა ჩაწყობილი ერთმანეთში, 64 ცალი ოდენობით.
მასშტაბი
მათი ცნობილი რიცხვი, რომელიც აღძრავს ფანტაზიას და აფართოებს ადამიანის ცნობიერების საზღვრებს, სცილდება მას სამყაროს საზღვრებს, გრეჰემმა და მისმა კოლეგებმა მიიღეს იგი, როგორც N რიცხვის ზედა ზღვარი ჰიპერკუბის მტკიცებულებაში. ზემოთ წარმოდგენილი პრობლემა. უბრალო ადამიანისთვის უაღრესად ძნელი წარმოსადგენია, რამდენად დიდია მისი მასშტაბები.
შეკითხვა სიმბოლოების რაოდენობის შესახებ, ან როგორც ზოგჯერ შეცდომით ამბობენ, ნულები გრეჰემის რიცხვში, საინტერესოა თითქმის ყველასთვის, ვინც პირველად გაიგო ამ მნიშვნელობის შესახებ.
საკმარისია იმის თქმა, რომ საქმე გვაქვს სწრაფად მზარდ თანმიმდევრობასთან, რომელიც შედგება 64 წევრისაგან. მისი პირველი ტერმინიც კი წარმოუდგენელია, რადგან ის შედგება n "კოშკისგან", რომელიც შედგება 3-დან. უკვე მისი „ქვედა სართული“3 სამეული უდრის 7,625,597,484,987, ანუ ის აჭარბებს 7 მილიარდს, რაც უნდა ითქვას 64-ე სართულზე (არა წევრი!). ამრიგად, ამჟამად შეუძლებელია ზუსტად იმის თქმა, თუ რა არის გრეჰამის რიცხვი, რადგან მისი გამოთვლა საკმარისი არ არის.დღეს დედამიწაზე არსებული ყველა კომპიუტერის ერთობლივი სიმძლავრე.
რეკორდი მოხსნილია?
კრუსკალის თეორემის დამტკიცების პროცესში, გრეჰემის რიცხვი "გადააგდეს კვარცხლბეკიდან". მეცნიერმა შემოგვთავაზა შემდეგი პრობლემა:
არსებობს სასრული ხეების უსასრულო თანმიმდევრობა. კრუსკალმა დაამტკიცა, რომ ყოველთვის არსებობს რაღაც გრაფის მონაკვეთი, რომელიც არის როგორც დიდი გრაფიკის ნაწილი, ასევე მისი ზუსტი ასლი. ეს განცხადება არანაირ ეჭვს არ იწვევს, რადგან აშკარაა, რომ ყოველთვის იქნება ზუსტად განმეორებითი კომბინაცია უსასრულობაში
მოგვიანებით, ჰარვი ფრიდმანმა გარკვეულწილად შეამცირა ეს პრობლემა მხოლოდ ისეთი აციკლური გრაფიკების (ხეების) განხილვით, რომლებიც i კოეფიციენტის მქონე კონკრეტულისთვის არის მაქსიმუმ (i + k) წვეროები. მან გადაწყვიტა გაერკვია რა უნდა იყოს აციკლური გრაფიკების რაოდენობა, რათა მათი ამოცანის ამ მეთოდით ყოველთვის შესაძლებელი ყოფილიყო სხვა ხეში ჩასმული ქვეხის პოვნა.
ამ საკითხზე ჩატარებული კვლევის შედეგად დადგინდა, რომ N, k-დან გამომდინარე, უზარმაზარი სიჩქარით იზრდება. კერძოდ, თუ k=1, მაშინ N=3. თუმცა, k=2, N უკვე აღწევს 11-ს. ყველაზე საინტერესო იწყება, როდესაც k=3. ამ შემთხვევაში, N სწრაფად "აფრინდება" და აღწევს მნიშვნელობას, რომელიც ბევრჯერ აღემატება გრეჰემის რიცხვს. იმის წარმოსადგენად, თუ რამდენად დიდია ის, საკმარისია ჩავწეროთ რონალდ გრეჰემის მიერ გამოთვლილი რიცხვი G64 (3) სახით. მაშინ Friedman-Kruskal მნიშვნელობა (rev. FinKraskal(3)), იქნება G(G(187196)) რიგის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მიიღება მეგა-მნიშვნელობა, რომელიც უსასრულოდ დიდიაგრეჰემის წარმოუდგენლად დიდი რიცხვი. ამავდროულად, ისიც კი იქნება უსასრულობაზე გიგანტური რაოდენობის ჯერ. აზრი აქვს ამ კონცეფციაზე უფრო დეტალურად ვისაუბროთ.
უსასრულობა
ახლა, როდესაც ჩვენ ავუხსენით რა არის გრეჰამის რიცხვი თითებზე, უნდა გვესმოდეს მნიშვნელობა, რომელიც იყო და ჩადებულია ამ ფილოსოფიურ კონცეფციაში. ყოველივე ამის შემდეგ, "უსასრულობა" და "უსასრულოდ დიდი რიცხვი" შეიძლება ჩაითვალოს იდენტურად გარკვეულ კონტექსტში.
ამ საკითხის შესწავლაში უდიდესი წვლილი მიუძღვის არისტოტელეს. ანტიკურობის დიდმა მოაზროვნემ უსასრულობა პოტენციურად და ფაქტობრივად დაყო. ამ უკანასკნელში ის გულისხმობდა უსასრულო საგნების არსებობის რეალობას.
არისტოტელეს მიხედვით, ამ ფუნდამენტური კონცეფციის შესახებ იდეების წყაროებია:
- დრო;
- მნიშვნელობების გამოყოფა;
- საზღვრის ცნება და მის მიღმა რაღაცის არსებობა;
- შემოქმედებითი ბუნების ამოუწურავი;
- აზროვნება, რომელსაც არ აქვს საზღვრები.
უსასრულობის თანამედროვე ინტერპრეტაციით, თქვენ არ შეგიძლიათ მიუთითოთ რაოდენობრივი საზომი, ასე რომ, ყველაზე დიდი რიცხვის ძიება შეიძლება სამუდამოდ გაგრძელდეს.
დასკვნა
შეიძლება თუ არა მეტაფორა "მზერა უსასრულობაში" და გრეჰემის რიცხვი გარკვეული გაგებით სინონიმად ჩაითვალოს? უფრო სწორად კი და არა. ორივეს წარმოდგენა შეუძლებელია, თუნდაც ყველაზე ძლიერი ფანტაზიით. თუმცა, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, არ შეიძლება ჩაითვალოს „ყველაზე, ყველაზე მეტად“. კიდევ ერთი რამ არის ის, რომ ამ დროისთვის გრეჰემის რიცხვზე მეტი მნიშვნელობები არ არის დადგენილიფიზიკური გრძნობა.
ასევე, მას არ გააჩნია უსასრულო რიცხვისთვისებები, როგორიცაა:
- ∞ + 1=∞;
- არის უსასრულო რაოდენობა როგორც კენტ, ასევე ლუწ რიცხვებში;
- ∞ - 1=∞;
- კენტი რიცხვების რიცხვი არის ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
შეჯამება: გრეჰემის რიცხვი არის ყველაზე დიდი რიცხვი მათემატიკური მტკიცებულების პრაქტიკაში, გინესის რეკორდების წიგნის მიხედვით. თუმცა არის რიცხვები, რომლებიც ბევრჯერ აღემატება ამ მნიშვნელობას.
სავარაუდოდ, მომავალში კიდევ უფრო დიდი "გიგანტების" საჭიროება გაჩნდება, მით უმეტეს, თუ ადამიანი ჩვენს მზის სისტემას სცილდება ან ჩვენი ცნობიერების ამჟამინდელ დონეზე წარმოუდგენელ რამეს გამოიგონებს.
