პითაგორა ამტკიცებდა, რომ რიცხვი საფუძვლად უდევს სამყაროს ძირითად ელემენტებთან ერთად. პლატონი თვლიდა, რომ რიცხვი აკავშირებს ფენომენსა და ნოუმენონს, ეხმარება შემეცნებაში, გაზომვასა და დასკვნების გამოტანაში. არითმეტიკა მომდინარეობს სიტყვიდან "არითმოსი" - რიცხვი, დასაწყისი მათემატიკაში. მას შეუძლია ნებისმიერი ობიექტის აღწერა - ელემენტარული ვაშლიდან აბსტრაქტულ სივრცეებამდე.
საჭიროები, როგორც განვითარების ფაქტორი
საზოგადოების ჩამოყალიბების ადრეულ ეტაპებზე ადამიანების მოთხოვნილებები შემოიფარგლებოდა დათვლის საჭიროებით - ერთი ტომარა მარცვალი, ორი ტომარა მარცვალი და ა.შ. ამისათვის საკმარისი იყო ბუნებრივი რიცხვები, რომელთა ნაკრები არის მთელი რიცხვების უსასრულო დადებითი მიმდევრობა N.
მოგვიანებით, მათემატიკის, როგორც მეცნიერების განვითარებასთან ერთად, საჭირო გახდა Z მთელი რიცხვების ცალკე ველი - ის შეიცავს უარყოფით მნიშვნელობებს და ნულს. მისი გამოჩენა საყოფაცხოვრებო დონეზე პროვოცირებული იყო იმით, რომ პირველადი აღრიცხვაში საჭირო იყო როგორმე გამოსწორებავალები და ზარალი. მეცნიერულ დონეზე უარყოფითმა რიცხვებმა შესაძლებელი გახადა უმარტივესი წრფივი განტოლებების ამოხსნა. სხვა საკითხებთან ერთად, ახლა უკვე შესაძლებელი გახდა ტრივიალური კოორდინატთა სისტემის გამოსახულება, მას შემდეგ რაც გამოჩნდა საცნობარო წერტილი.
შემდეგი ნაბიჯი იყო წილადი რიცხვების შემოღების აუცილებლობა, რადგან მეცნიერება არ ჩერდებოდა, უფრო და უფრო მეტი აღმოჩენა მოითხოვდა თეორიულ საფუძველს ზრდის ახალი იმპულსისთვის. ასე გაჩნდა რაციონალური რიცხვების ველი Q.
საბოლოოდ, რაციონალურობამ შეწყვიტა მოთხოვნების დაკმაყოფილება, რადგან ყველა ახალი დასკვნა საჭიროებდა დასაბუთებას. გამოჩნდა რეალური რიცხვების ველი R, ევკლიდეს შრომები გარკვეული სიდიდეების შეუდარებლობის შესახებ მათი ირაციონალურობის გამო. ანუ, ძველი ბერძენი მათემატიკოსები პოზიციონირებდნენ რიცხვს არა მხოლოდ როგორც მუდმივ, არამედ აბსტრაქტულ რაოდენობად, რომელიც ხასიათდება შეუდარებელი სიდიდეების თანაფარდობით. იმის გამო, რომ რეალური რიცხვები გამოჩნდა, ისეთი სიდიდეები, როგორიცაა "pi" და "e" "დაინახა სინათლე", რომლის გარეშეც თანამედროვე მათემატიკა ვერ მოხდებოდა.
ბოლო ინოვაცია იყო კომპლექსური რიცხვი C. მან უპასუხა უამრავ კითხვას და უარყო ადრე შემოღებული პოსტულატები. ალგებრის სწრაფი განვითარების გამო შედეგი პროგნოზირებადი იყო - რეალური რიცხვების ქონა, ბევრი ამოცანის ამოხსნა შეუძლებელი იყო. მაგალითად, რთული რიცხვების წყალობით გამოირჩეოდა სიმების და ქაოსის თეორია და გაფართოვდა ჰიდროდინამიკის განტოლებები.
სიმრავლეების თეორია. კანტორი
უსასრულობის კონცეფცია ნებისმიერ დროსდაპირისპირება გამოიწვია, რადგან არც დამტკიცება და არც უარყოფა შეიძლებოდა. მათემატიკის კონტექსტში, რომელიც მოქმედებდა მკაცრად დამოწმებული პოსტულატებით, ეს ყველაზე მკაფიოდ გამოიხატა, მით უმეტეს, რომ თეოლოგიურ ასპექტს ჯერ კიდევ ჰქონდა წონა მეცნიერებაში.
თუმცა მათემატიკოს გეორგ კანტორის მუშაობის წყალობით დროთა განმავლობაში ყველაფერი თავის ადგილზე დადგა. მან დაამტკიცა, რომ არსებობს უსასრულო სიმრავლეების უსასრულო რაოდენობა და რომ R ველი მეტია N ველზე, თუნდაც ორივეს არ ჰქონდეს დასასრული. მე-19 საუკუნის შუა ხანებში მის იდეებს ხმამაღლა უწოდეს სისულელე და დანაშაული კლასიკური, ურყევი კანონების წინააღმდეგ, მაგრამ დრომ ყველაფერი თავის ადგილზე დააყენა.
ველის ძირითადი თვისებები R
რეალურ რიცხვებს აქვთ არა მხოლოდ იგივე თვისებები, როგორც მათში შემავალი ქვესიმრავლეები, არამედ ავსებენ სხვებს მათი ელემენტების მასშტაბის გამო:
- ნული არსებობს და ეკუთვნის R ველს. c + 0=c ნებისმიერი c-სთვის R-დან.
- ნული არსებობს და ეკუთვნის R ველს. c x 0=0 ნებისმიერი c-სთვის R-დან.
- კავშირი c: d d ≠ 0-სთვის არსებობს და მოქმედებს ნებისმიერი c, d R-სთვის.
- ველი R დალაგებულია, ანუ თუ c ≦ d, d ≦ c, მაშინ c=d ნებისმიერი c, d R-დან.
- მიმატება ველში R არის კომუტაციური, ანუ c + d=d + c ნებისმიერი c, d R-დან.
- გამრავლება ველში R არის კომუტაციური, ანუ c x d=d x c ნებისმიერი c, d R-დან.
- მიმატება R ველში ასოციაციურია, ანუ (c + d) + f=c + (d + f) ნებისმიერი c, d, f R-სთვის.
- R ველში გამრავლება ასოციაციურია, ანუ (c x d) x f=c x (d x f) ნებისმიერი c, d, f R-სთვის.
- ყველა რიცხვისთვის R ველში არის საპირისპირო, ისეთი, რომ c + (-c)=0, სადაც c, -c არის R-დან.
- R ველიდან თითოეული რიცხვისთვის არის მისი შებრუნებული, ისეთი, რომ c x c-1 =1, სადაც c, c-1 R.-დან
- ერთეული არსებობს და ეკუთვნის R-ს, ამიტომ c x 1=c, ნებისმიერი c-სთვის R-დან.
- განაწილების კანონი მოქმედებს, ამიტომ c x (d + f)=c x d + c x f, ნებისმიერი c, d, f R-დან.
- R ველში ნული არ არის ერთის ტოლი.
- ველი R გარდამავალია: თუ c ≦ d, d ≦ f, მაშინ c ≦ f ნებისმიერი c, d, f R-დან.
- ველში R, რიგი და შეკრება დაკავშირებულია: თუ c ≦ d, მაშინ c + f ≦ d + f ნებისმიერი c, d, f R-დან.
- ველში R, რიგი და გამრავლება დაკავშირებულია: თუ 0 ≦ c, 0 ≦ d, მაშინ 0 ≦ c x d ნებისმიერი c, d R-დან.
- როგორც უარყოფითი, ასევე დადებითი რეალური რიცხვები უწყვეტია, ანუ ნებისმიერი c, d R-სთვის არის f R-დან ისეთი, რომ c ≦ f ≦ d.
მოდული ველში R
რეალური რიცხვები მოიცავს მოდულს.
აღნიშნულია როგორც |f| ნებისმიერი f-სთვის R. |f|=f თუ 0 ≦ f და |f|=-f თუ 0 > f. თუ მოდულს განვიხილავთ, როგორც გეომეტრიულ სიდიდეს, მაშინ ეს არის გავლილი მანძილი - არ აქვს მნიშვნელობა ნული მინუსზე „გადასული“თუ პლიუსზე გადადით.
კომპლექსური და რეალური რიცხვები. რა არის მსგავსება და რა განსხვავებები?
დიდად, რთული და რეალური რიცხვები ერთი და იგივეა, გარდა იმისაწარმოსახვითი ერთეული i, რომლის კვადრატი არის -1. R და C ველების ელემენტები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ფორმულით:
c=d + f x i, სადაც d, f ეკუთვნის R ველს და i არის წარმოსახვითი ერთეული
ამ შემთხვევაში R-დან c-ის მისაღებად, f უბრალოდ ნულის ტოლია, ანუ რჩება რიცხვის მხოლოდ რეალური ნაწილი. გამომდინარე იქიდან, რომ რთული რიცხვების ველს აქვს თვისებების იგივე ნაკრები, რაც რეალური რიცხვების ველს, f x i=0, თუ f=0.
რაც შეეხება პრაქტიკულ განსხვავებებს, მაგალითად, R ველში, კვადრატული განტოლება არ იხსნება, თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია, ხოლო C ველი არ აწესებს ასეთ შეზღუდვას წარმოსახვითი ერთეულის i. შემოღების გამო.
შედეგები
იმ აქსიომებისა და პოსტულატების "აგურები", რომლებზეც მათემატიკა ემყარება, არ იცვლება. ინფორმაციის გაზრდისა და ახალი თეორიების დანერგვის გამო ზოგიერთ მათგანს შემდეგი „აგური“ედება, რაც მომავალში შეიძლება შემდგომი ნაბიჯის საფუძველი გახდეს. მაგალითად, ნატურალური რიცხვები, მიუხედავად იმისა, რომ ისინი რეალური ველის R ქვეჯგუფია, არ კარგავენ შესაბამისობას. სწორედ მათზეა დაფუძნებული მთელი ელემენტარული არითმეტიკა, რომლითაც იწყება ადამიანის ცოდნა სამყაროს შესახებ.
პრაქტიკული თვალსაზრისით, რეალური რიცხვები სწორ ხაზს ჰგავს. მასზე შეგიძლიათ აირჩიოთ მიმართულება, მიუთითოთ საწყისი და ნაბიჯი. სწორი ხაზი შედგება უსასრულო რაოდენობის წერტილებისგან, რომელთაგან თითოეული შეესაბამება ერთ რეალურ რიცხვს, მიუხედავად იმისა, რაციონალურია თუ არა. აღწერიდან ირკვევა, რომ საუბარია ცნებაზე, რომელზედაც აგებულია როგორც მათემატიკა ზოგადად, ისე ზოგადად მათემატიკური ანალიზი.კერძოდ.
