გეომეტრია არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს სივრცეში არსებულ სტრუქტურებს და მათ შორის ურთიერთობას. თავის მხრივ, ის ასევე შედგება სექციებისგან და ერთ-ერთი მათგანია სტერეომეტრია. იგი ითვალისწინებს სივრცეში მდებარე მოცულობითი ფიგურების თვისებების შესწავლას: კუბი, პირამიდა, ბურთი, კონუსი, ცილინდრი და ა.შ.
კონუსი არის სხეული ევკლიდეს სივრცეში, რომელიც ესაზღვრება კონუსურ ზედაპირს და სიბრტყეს, რომელზედაც დევს მისი გენერატორების ბოლოები. მისი წარმოქმნა ხდება მართკუთხა სამკუთხედის რომელიმე ფეხის გარშემო ბრუნვის პროცესში, ამიტომ მიეკუთვნება რევოლუციის სხეულებს.
კონუსის კომპონენტები
გამოყოფენ გირჩების შემდეგ ტიპებს: ირიბი (ან ირიბი) და სწორი. ირიბი არის ის, რომლის ღერძი კვეთს მისი ფუძის ცენტრს არა სწორი კუთხით. ამ მიზეზით, ასეთ კონუსში სიმაღლე არ ემთხვევა ღერძს, რადგან ეს არის სეგმენტი, რომელიც სხეულის ზემოდან მის სიბრტყეშია დაშვებული.ბაზა 90°-ზე.
იმ კონუსს, რომლის ღერძი მისი ფუძის პერპენდიკულარულია, სწორი კონუსი ეწოდება. ასეთ გეომეტრიულ სხეულში ღერძი და სიმაღლე ემთხვევა იმის გამო, რომ მასში წვერო მდებარეობს ფუძის დიამეტრის ცენტრის ზემოთ.
კონუსი შედგება შემდეგი ელემენტებისაგან:
- წრე, რომელიც არის მისი საფუძველი.
- გვერდი.
- წერტილი არ დევს ფუძის სიბრტყეში, რომელსაც ეწოდება კონუსის ზედა ნაწილი.
- სეგმენტები, რომლებიც აკავშირებს გეომეტრიული სხეულის ფუძის წრის წერტილებს და მის ზედა.
ყველა ეს სეგმენტი არის კონუსის გენერატრიცია. ისინი მიდრეკილია გეომეტრიული სხეულის ფუძისკენ, ხოლო მარჯვენა კონუსის შემთხვევაში მათი პროექციები თანაბარია, ვინაიდან წვერო თანაბრად არის დაშორებული ფუძის წრის წერტილებისგან. ამრიგად, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ სწორ (სწორ) კონუსში გენერატორები ტოლია, ანუ მათ აქვთ იგივე სიგრძე და ქმნიან ერთსა და იმავე კუთხეებს ღერძთან (ან სიმაღლესთან) და ფუძესთან.
ვინაიდან ირიბი (ან დახრილი) რევოლუციის სხეულში წვერო გადაადგილებულია საბაზისო სიბრტყის ცენტრთან მიმართებაში, ასეთ სხეულში გენერატორებს აქვთ განსხვავებული სიგრძე და პროექცია, რადგან თითოეული მათგანი განსხვავებულ მანძილზეა. ფუძის წრის ნებისმიერი ორი წერტილიდან. გარდა ამისა, მათ შორის კუთხეები და კონუსის სიმაღლეც განსხვავებული იქნება.
გენერატორების სიგრძე მარჯვენა კონუსში
როგორც ადრე დავწერე, ბრუნვის სწორ გეომეტრიულ სხეულში სიმაღლე არის ფუძის სიბრტყის პერპენდიკულარული. ამრიგად, ფუძის გენერატრიქსი, სიმაღლე და რადიუსი ქმნის მართკუთხა სამკუთხედს კონუსში.
ანუ ფუძის რადიუსის და სიმაღლის ცოდნა, პითაგორას თეორემის ფორმულის გამოყენებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ გენერტრიქსის სიგრძე, რომელიც ტოლი იქნება ფუძის რადიუსის კვადრატების ჯამისა და სიმაღლე:
l2 =r2+ h2 ან l=√r 2 + h2
სადაც l არის გენერაცია;
r – რადიუსი;
სთ – სიმაღლე.
გენერატივი დახრილ კონუსში
იქიდან გამომდინარე, რომ ირიბი ან ირიბი კონუსში გენერატორები არ არიან ერთნაირი სიგრძის, მათი გამოთვლა შეუძლებელი იქნება დამატებითი კონსტრუქციებისა და გამოთვლების გარეშე.
პირველ რიგში, თქვენ უნდა იცოდეთ სიმაღლე, ღერძის სიგრძე და ფუძის რადიუსი.
ამ მონაცემების გათვალისწინებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ რადიუსის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს ღერძსა და სიმაღლეს შორის, პითაგორას თეორემის ფორმულის გამოყენებით:
r1=√k2 - h2
სადაც r1 არის რადიუსის ნაწილი ღერძსა და სიმაღლეს შორის;
k – ღერძის სიგრძე;
სთ – სიმაღლე.
რადიუსის (r) და მისი ნაწილის ღერძსა და სიმაღლეს შორის დამატების შედეგად (r1), შეგიძლიათ გაიგოთ მარჯვენა სრული მხარე. კონუსის გენერატრიქსის, მისი სიმაღლისა და დიამეტრის ნაწილის მიერ წარმოქმნილი სამკუთხედი:
R=r + r1
სადაც R არის სამკუთხედის ფეხი, რომელიც წარმოიქმნება სიმაღლით, გენერატრიქსით და ფუძის დიამეტრის ნაწილით;
r – ბაზის რადიუსი;
r1 - რადიუსის ნაწილი ღერძსა და სიმაღლეს შორის.
იგივე ფორმულის გამოყენებით პითაგორას თეორემიდან, შეგიძლიათ იპოვოთ კონუსის გენერტრიქსის სიგრძე:
ლ=√h2+ R2
ან, R ცალ-ცალკე გამოთვლის გარეშე, გააერთიანეთ ორი ფორმულა ერთში:
l=√h2 + (r + r1)2.
მიუხედავად იმისა, არის ეს სწორი თუ ირიბი კონუსი და რა სახის შეყვანის მონაცემებია, გენერატრიქსის სიგრძის პოვნის ყველა მეთოდი ყოველთვის ერთ შედეგამდე მოდის - პითაგორას თეორემის გამოყენება.
კონუსური განყოფილება
კონუსის ღერძული მონაკვეთი არის სიბრტყე, რომელიც გადის მისი ღერძის ან სიმაღლის გასწვრივ. მარჯვენა კონუსში ასეთი მონაკვეთია ტოლფერდა სამკუთხედი, რომელშიც სამკუთხედის სიმაღლე სხეულის სიმაღლეა, მისი გვერდები გენერატორებია, ფუძე კი ფუძის დიამეტრი. ტოლგვერდა გეომეტრიულ სხეულში ღერძული მონაკვეთი არის ტოლგვერდა სამკუთხედი, ვინაიდან ამ კონუსში ფუძისა და გენერატორების დიამეტრი ტოლია.
ღერძული მონაკვეთის სიბრტყე სწორ კონუსში არის მისი სიმეტრიის სიბრტყე. ამის მიზეზი ის არის, რომ მისი ზევით არის ფუძის ცენტრის ზემოთ, ანუ ღერძული მონაკვეთის სიბრტყე ყოფს კონუსს ორ იდენტურ ნაწილად.
რადგან სიმაღლე და ღერძი არ ემთხვევა დახრილ მყარს, ღერძული მონაკვეთის სიბრტყე შეიძლება არ შეიცავდეს სიმაღლეს. თუ შესაძლებელია ასეთ კონუსში ღერძული მონაკვეთების ნაკრების აგება, რადგან ამისთვის მხოლოდ ერთი პირობა უნდა იყოს დაცული - ის უნდა გაიაროს მხოლოდ ღერძზე, მაშინ სიბრტყის მხოლოდ ერთი ღერძული მონაკვეთი, რომელიც მიეკუთვნება სიმაღლეს. ამ კონუსის დახატვა შესაძლებელია, რადგან პირობების რაოდენობა იზრდება და, როგორც ცნობილია, ორი ხაზი (ერთად) შეიძლება მიეკუთვნებოდესმხოლოდ ერთი თვითმფრინავი.
სექციის არე
ზემოთ ნახსენები კონუსის ღერძული მონაკვეთი არის სამკუთხედი. ამის საფუძველზე მისი ფართობის გამოთვლა შესაძლებელია სამკუთხედის ფართობის ფორმულით:
S=1/2dh ან S=1/22rh
სადაც S არის კვეთის ფართობი;
d - ბაზის დიამეტრი;
r – რადიუსი;
სთ – სიმაღლე.
ირიბი ან ირიბი კონუსში ღერძის გასწვრივ მონაკვეთი ასევე სამკუთხედია, ამიტომ მასში განივი კვეთის ფართობი გამოითვლება ანალოგიურად.
ტომი
რადგან კონუსი არის სამგანზომილებიანი ფიგურა სამგანზომილებიან სივრცეში, შეგვიძლია გამოვთვალოთ მისი მოცულობა. კონუსის მოცულობა არის რიცხვი, რომელიც ახასიათებს ამ სხეულს მოცულობის ერთეულში, ანუ m3-ში. გამოთვლა არ არის დამოკიდებული სწორია თუ ირიბი (ირიბი), რადგან ამ ორი ტიპის სხეულების ფორმულები არ განსხვავდება.
როგორც უკვე აღვნიშნეთ, მართი კონუსის ფორმირება ხდება მართკუთხა სამკუთხედის ერთ-ერთი ფეხის გასწვრივ ბრუნვის გამო. დახრილი ან ირიბი კონუსი წარმოიქმნება განსხვავებულად, რადგან მისი სიმაღლე გადაადგილებულია სხეულის ფუძის სიბრტყის ცენტრიდან. თუმცა, სტრუქტურაში ასეთი განსხვავებები გავლენას არ ახდენს მისი მოცულობის გამოთვლის მეთოდზე.
მოცულობის გაანგარიშება
ნებისმიერი კონუსის მოცულობის ფორმულა ასე გამოიყურება:
V=1/3πhr2
სადაც V არის კონუსის მოცულობა;
სთ – სიმაღლე;
r – რადიუსი;
π - მუდმივი ტოლია 3, 14.
კონუსის მოცულობის გამოსათვლელად საჭიროა გქონდეთ მონაცემები სხეულის ფუძის სიმაღლეზე და რადიუსზე.
სხეულის სიმაღლის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ფუძის რადიუსი და მისი გენერატრიქსის სიგრძე. ვინაიდან რადიუსი, სიმაღლე და გენერატორი გაერთიანებულია მართკუთხა სამკუთხედში, სიმაღლე შეიძლება გამოითვალოს პითაგორას თეორემის ფორმულის გამოყენებით (a2+ b2=c 2 ან ჩვენს შემთხვევაში h2+ r2=l2 , სადაც l - გენერაცია). ამ შემთხვევაში, სიმაღლე გამოითვლება ჰიპოტენუზისა და მეორე ფეხის კვადრატებს შორის სხვაობის კვადრატული ფესვის ამოღებით:
a=√c2- b2
ანუ კონუსის სიმაღლე ტოლი იქნება გენერტრიქსის სიგრძის კვადრატსა და ფუძის რადიუსის კვადრატს შორის განსხვავებიდან კვადრატული ფესვის ამოღების შემდეგ მიღებული მნიშვნელობის:
სთ=√l2 - r2
ამ მეთოდით სიმაღლის გამოთვლა და მისი ფუძის რადიუსის ცოდნა, შეგიძლიათ გამოთვალოთ კონუსის მოცულობა. ამ შემთხვევაში გენერატრიქსი მნიშვნელოვან როლს ასრულებს, რადგან ის გამოთვლებში დამხმარე ელემენტია.
ანალოგიურად, თუ იცით სხეულის სიმაღლე და მისი გენერატრიქსის სიგრძე, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი ფუძის რადიუსი გენერატრიქსის კვადრატსა და სიმაღლის კვადრატს შორის სხვაობის კვადრატული ფესვის ამოღებით.:
r=√l2 - სთ2
შემდეგ, იგივე ფორმულის გამოყენებით, როგორც ზემოთ, გამოთვალეთ კონუსის მოცულობა.
დახრილი კონუსის მოცულობა
რადგან კონუსის მოცულობის ფორმულა ერთნაირია რევოლუციის სხეულის ყველა ტიპისთვის, მის გამოთვლაში განსხვავება სიმაღლის ძიებაა.
დახრილი კონუსის სიმაღლის გასარკვევად, შეყვანის მონაცემები უნდა შეიცავდეს გენერატრიქსის სიგრძეს, ფუძის რადიუსს და მანძილს ცენტრს შორის.ფუძე და სხეულის სიმაღლის გადაკვეთა მისი ფუძის სიბრტყესთან. ამის გაცნობიერებით, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გამოთვალოთ ფუძის დიამეტრის ის ნაწილი, რომელიც იქნება მართკუთხა სამკუთხედის ფუძე (სიმაღლით, გენერატრიქსით და ფუძის სიბრტყით ჩამოყალიბებული). შემდეგ, კვლავ პითაგორას თეორემის გამოყენებით, გამოთვალეთ კონუსის სიმაღლე და შემდგომ მისი მოცულობა.
