პოლიედრები არა მხოლოდ გამორჩეულ ადგილს იკავებს გეომეტრიაში, არამედ გვხვდება თითოეული ადამიანის ყოველდღიურ ცხოვრებაში. რომ აღარაფერი ვთქვათ ხელოვნურად შექმნილ საყოფაცხოვრებო ნივთებზე სხვადასხვა მრავალკუთხედის სახით, დაწყებული ასანთის კოლოფით და დამთავრებული არქიტექტურული ელემენტებით, კრისტალები კუბის სახით (მარილი), პრიზმი (კრისტალი), პირამიდა (შეელიტი), რვაედრონი (ბრილიანტი), და ა.შ. e.
მრავალედნის ცნება, პოლიედრების ტიპები გეომეტრიაში
გეომეტრია, როგორც მეცნიერება, შეიცავს სტერეომეტრიის ნაწილს, რომელიც სწავლობს სამგანზომილებიანი ფიგურების მახასიათებლებსა და თვისებებს. გეომეტრიულ სხეულებს, რომელთა გვერდები სამგანზომილებიან სივრცეში წარმოიქმნება შეზღუდული სიბრტყეებით (სახეებით), ეწოდება "პოლიედრები". პოლიედრების ტიპები მოიცავს ათზე მეტ წარმომადგენელს, რომლებიც განსხვავდებიან სახეების რაოდენობისა და ფორმის მიხედვით.
თუმცა, ყველა პოლიედას აქვს საერთო თვისებები:
- ყველას აქვს 3 აუცილებელი კომპონენტი: სახე(მრავალკუთხედის ზედაპირი), წვერო (სახეების შეერთებისას წარმოქმნილი კუთხეები), კიდე (ფიგურის მხარე ან ორი სახის შეერთებისას წარმოქმნილი სეგმენტი).
- თითოეული მრავალკუთხედის კიდე აკავშირებს ორ და მხოლოდ ორ სახეს, რომლებიც ერთმანეთის მიმდებარედ არიან.
- ამოზნექილი ნიშნავს, რომ სხეული მთლიანად განლაგებულია სიბრტყის მხოლოდ ერთ მხარეს, რომელზეც ერთ-ერთი სახე დევს. წესი ვრცელდება პოლიედრონის ყველა სახეზე. სტერეომეტრიაში ასეთ გეომეტრიულ ფიგურებს ამოზნექილი პოლიედრები ეწოდება. გამონაკლისია ვარსკვლავის ფორმის პოლიედრები, რომლებიც რეგულარული მრავალწახნაგოვანი გეომეტრიული მყარი ნაწილების წარმოებულებია.
პოლიჰედრა პირობითად შეიძლება დაიყოს:
- ამოზნექილი პოლიედრების ტიპები, რომლებიც შედგება შემდეგი კლასებისაგან: ჩვეულებრივი ან კლასიკური (პრიზმა, პირამიდა, პარალელეპიპედი), რეგულარული (ასევე უწოდებენ პლატონურ მყარებს), ნახევრადრეგულარული (მეორე სახელი - არქიმედეს მყარები).
- არაამოზნექილი პოლიედრები (ვარსკვლავის ფორმის).
პრიზმი და მისი თვისებები
სტერეომეტრია, როგორც გეომეტრიის ფილიალი, სწავლობს სამგანზომილებიანი ფიგურების თვისებებს, პოლიედრების ტიპებს (პრიზმა ერთ-ერთი მათგანია). პრიზმა არის გეომეტრიული სხეული, რომელსაც აუცილებლად აქვს ორი აბსოლუტურად იდენტური სახე (მათ ასევე უწოდებენ ფუძეებს), რომლებიც მდებარეობს პარალელურ სიბრტყეებში და n-ე რიცხვი გვერდითი სახეების პარალელოგრამების სახით. თავის მხრივ, პრიზმას ასევე აქვს რამდენიმე სახეობა, მათ შორის ისეთი ტიპის პოლიედრები, როგორიცაა:
- პარალელეპიპედი - წარმოიქმნება, თუ ფუძე პარალელოგრამია -მრავალკუთხედი 2 წყვილი თანაბარი საპირისპირო კუთხით და 2 წყვილი თანაბარი საპირისპირო გვერდით.
- სწორ პრიზმას აქვს ფუძის პერპენდიკულარული კიდეები.
- დახრილი პრიზმა ახასიათებს არასწორ კუთხეებს (90-ის გარდა) სახეებსა და ფუძეს შორის.
- რეგულარულ პრიზმას ახასიათებს ფუძეები რეგულარული მრავალკუთხედის სახით თანაბარი გვერდითი სახეებით.
პრიზმის ძირითადი თვისებები:
- კონგრუენტური ფუძეები.
- პრიზმის ყველა კიდე ტოლია და ერთმანეთის პარალელურია.
- ყველა გვერდითი სახე პარალელოგრამის ფორმისაა.
პირამიდა
პირამიდა არის გეომეტრიული სხეული, რომელიც შედგება ერთი ფუძისა და n-ე რაოდენობის სამკუთხა სახეებისგან, რომლებიც დაკავშირებულია ერთ წერტილში - ზედა. უნდა აღინიშნოს, რომ თუ პირამიდის გვერდითი სახეები აუცილებლად წარმოდგენილია სამკუთხედებით, მაშინ ფუძე შეიძლება იყოს ან სამკუთხა მრავალკუთხედი, ან ოთხკუთხედი, ან ხუთკუთხედი და ასე შემდეგ უსასრულოდ. ამ შემთხვევაში, პირამიდის სახელი შეესაბამება ძირში არსებულ მრავალკუთხედს. მაგალითად, თუ სამკუთხედი დევს პირამიდის ძირში, ეს არის სამკუთხა პირამიდა, ოთხკუთხედი არის ოთხკუთხედი და ა.შ.
პირამიდები არის კონუსის მსგავსი პოლიედრები. ამ ჯგუფის პოლიედრების ტიპები, გარდა ზემოთ ჩამოთვლილთა, მოიცავს შემდეგ წარმომადგენლებსაც:
- რეგულარულ პირამიდას აქვს რეგულარული მრავალკუთხედი მის ფუძესთან და მისი სიმაღლე დაპროექტებულია ცენტრშიძირში ჩაწერილი ან მის გარშემო შემოხაზული წრე.
- მართკუთხა პირამიდა იქმნება, როდესაც ერთ-ერთი გვერდითი კიდე კვეთს ფუძეს მარჯვენა კუთხით. ამ შემთხვევაში, ასევე სამართლიანია ამ კიდეს პირამიდის სიმაღლე ვუწოდოთ.
პირამიდის თვისებები:
- თუ პირამიდის ყველა გვერდითი კიდე კონგრუენტულია (იგივე სიმაღლის), მაშინ ისინი ყველა ერთნაირი კუთხით იკვეთება ფუძესთან, ხოლო ფუძის გარშემო შეგიძლიათ დახაზოთ წრე, რომლის ცენტრი ემთხვევა პროექციას. პირამიდის მწვერვალი.
- თუ პირამიდის ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი, მაშინ ყველა გვერდითი კიდე თანმიმდევრულია, ხოლო სახეები არის ტოლფერდა სამკუთხედები.
რეგულარული მრავალწახნაგები: პოლიედრების ტიპები და თვისებები
სტერეომეტრიაში განსაკუთრებული ადგილი უკავია გეომეტრიულ სხეულებს აბსოლუტურად თანაბარი სახეებით, რომელთა წვეროებზე ერთნაირი რაოდენობის კიდეებია დაკავშირებული. ამ მყარ ნივთიერებებს პლატონურ მყარებს, ანუ ჩვეულებრივ პოლიედრებს უწოდებენ. ასეთი თვისებების მქონე პოლიედრების ტიპებს აქვთ მხოლოდ ხუთი ფორმა:
- ტეტრაედონი.
- ჰექსაედონი.
- ოქტაედონი.
- დოდეკაედონი.
- იკოსაედონი.
რეგულარული პოლიედრები თავიანთ სახელს ენიჭება ძველ ბერძენ ფილოსოფოს პლატონს, რომელმაც აღწერა ეს გეომეტრიული სხეულები თავის ნაწერებში და დააკავშირა ისინი ბუნებრივ ელემენტებთან: დედამიწა, წყალი, ცეცხლი, ჰაერი. მეხუთე ფიგურას მიენიჭა მსგავსება სამყაროს სტრუქტურასთან. მისი აზრით, ბუნებრივი ელემენტების ატომები ფორმაში წააგავს ჩვეულებრივი პოლიედრების ტიპებს. მისი ყველაზე საინტერესო ქონების გამო -სიმეტრიით, ეს გეომეტრიული სხეულები დიდ ინტერესს იწვევდა არა მხოლოდ უძველესი მათემატიკოსებისა და ფილოსოფოსებისთვის, არამედ ყველა დროის არქიტექტორებისთვის, მხატვრებისთვის და მოქანდაკეებისთვის. აბსოლუტური სიმეტრიის მქონე პოლიედრების მხოლოდ 5 ტიპის არსებობა ფუნდამენტურ აღმოჩენად მიიჩნიეს, მათ ღვთაებრივ პრინციპთან კავშირიც კი მიენიჭათ.
ჰექსაედონი და მისი თვისებები
ექვსკუთხედის სახით პლატონის მემკვიდრეებმა მიიჩნიეს მსგავსება დედამიწის ატომების სტრუქტურასთან. რა თქმა უნდა, დღეისათვის ეს ჰიპოთეზა სრულიად უარყოფილია, რაც, თუმცა, ხელს არ უშლის ფიგურებს, მიიზიდონ ცნობილი ფიგურების გონება თანამედროვეობის ესთეტიკით.
გეომეტრიაში ჰექსაედონი, რომელიც ასევე ცნობილია როგორც კუბი, განიხილება პარალელეპიპედის განსაკუთრებულ შემთხვევად, რომელიც, თავის მხრივ, ერთგვარი პრიზმაა. შესაბამისად, კუბის თვისებები დაკავშირებულია პრიზმის თვისებებთან, ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ კუბის ყველა სახე და კუთხე ერთმანეთის ტოლია. აქედან გამომდინარეობს შემდეგი თვისებები:
- კუბის ყველა კიდე თანმიმდევრულია და ერთმანეთის მიმართ პარალელურ სიბრტყეში დევს.
- ყველა სახე არის თანმიმდევრული კვადრატი (კუბში სულ 6ა), რომელთაგან ნებისმიერი შეიძლება მივიღოთ ფუძედ.
- ინტერფეისის ყველა კუთხე არის 90.
- თითოეული წვეროდან გამოდის კიდეების თანაბარი რაოდენობა, კერძოდ 3.
- კუბს აქვს სიმეტრიის 9 ღერძი, რომლებიც ყველა იკვეთება ექვსკუთხედის დიაგონალების გადაკვეთის ადგილზე, რომელსაც სიმეტრიის ცენტრი ეწოდება.
ტეტრაედონი
ტეტრაედონი არის ტეტრაედონი ტოლი სახეებით სამკუთხედების სახით, რომლის თითოეული წვერო.არის სამი სახის შეერთების წერტილი.
რეგულარული ტეტრაედონის თვისებები:
- ტეტრაედრის ყველა სახე ტოლგვერდა სამკუთხედია, რაც ნიშნავს, რომ ოთხკუთხედის ყველა სახე თანაბარია.
- რადგან ფუძე წარმოდგენილია რეგულარული გეომეტრიული ფიგურით, ანუ მას აქვს თანაბარი გვერდები, ტეტრაედრის სახეები ერთი და იგივე კუთხით იყრიან თავს, ანუ ყველა კუთხე ტოლია.
- ბრტყელი კუთხეების ჯამი თითოეულ წვეროზე არის 180, რადგან ყველა კუთხე ტოლია, მაშინ რეგულარული ტეტრაედონის ნებისმიერი კუთხე არის 60.
- თითოეული წვერო დაპროექტებულია მოპირდაპირე (ორთოცენტრის) სახის სიმაღლეების გადაკვეთის წერტილამდე.
ოქტაედონი და მისი თვისებები
რეგულარული პოლიედრების ტიპების აღწერისას არ შეიძლება არ აღვნიშნოთ ისეთი ობიექტი, როგორიცაა ოქტაედრონი, რომელიც ვიზუალურად შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც ორი ოთხკუთხა რეგულარული პირამიდა, რომლებიც ერთმანეთთან არის დამაგრებული.
ოქტაედონის თვისებები:
- გეომეტრიული სხეულის სახელი მიუთითებს მისი სახეების რაოდენობაზე. ოქტაედრონი შედგება 8 თანმიმდევრული ტოლგვერდა სამკუთხედისაგან, რომელთა თითოეულ წვეროზე იყრება თანაბარი რაოდენობის სახეები, კერძოდ 4.
- რადგან ოქტაედრის ყველა სახე ტოლია, მისი ინტერფეისის კუთხეებიც ტოლია, რომელთაგან თითოეული უდრის 60-ს, და ამგვარად, რომელიმე წვერის სიბრტყე კუთხის ჯამი არის 240.
დოდეკაედონი
თუ წარმოვიდგენთ, რომ გეომეტრიული სხეულის ყველა სახე არის რეგულარული ხუთკუთხედი, მაშინ მივიღებთ დოდეკაედრონს -12 მრავალკუთხედის ფიგურა.
დოდეკაედონის თვისებები:
- სამი სახე იკვეთება თითოეულ წვეროზე.
- ყველა სახე ტოლია და აქვს ერთი კიდის სიგრძე და თანაბარი ფართობი.
- დოდეკაედრონს აქვს 15 ღერძი და სიმეტრიის სიბრტყე და რომელიმე მათგანი გადის სახის წვეროზე და მოპირდაპირე კიდის შუაზე.
იკოსაედონი
დოდეკაედრონზე არანაკლებ საინტერესოა, იკოსაედრონის ფიგურა არის სამგანზომილებიანი გეომეტრიული სხეული 20 თანაბარი სახეებით. რეგულარული ოცი ჰედრონის თვისებებს შორის შეიძლება აღინიშნოს შემდეგი:
- იკოსაედრონის ყველა სახე ტოლფერდა სამკუთხედია.
- მრავალედნის თითოეულ წვეროზე ხუთი სახე იყრის თავს და წვეროს მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 300.
- იკოსაედრონს, ისევე როგორც დოდეკაედრონს, აქვს 15 ღერძი და სიმეტრიის სიბრტყე, რომელიც გადის საპირისპირო ხაზების შუა წერტილებში.
ნახევრად რეგულარული მრავალკუთხედები
პლატონური მყარის გარდა, ამოზნექილი პოლიედრების ჯგუფში ასევე შედის არქიმედეს მყარები, რომლებიც შეკვეცილი რეგულარული პოლიედრებია. ამ ჯგუფის პოლიედრების ტიპებს აქვთ შემდეგი თვისებები:
- გეომეტრიულ სხეულებს აქვთ წყვილ-წყვილად თანაბარი სახეები რამდენიმე ტიპის, მაგალითად, წაჭრილ ტეტრაედრონს აქვს 8 სახე, როგორც ჩვეულებრივი ტეტრაედონი, მაგრამ არქიმედეს მყარის შემთხვევაში, 4 სახე იქნება სამკუთხა და 4 ექვსკუთხა.
- ერთი წვერის ყველა კუთხე კონგრუენტულია.
ვარსკვლავური პოლიედრა
გეომეტრიული სხეულების არამოცულობითი ტიპების წარმომადგენლები არიან ვარსკვლავური პოლიედრები, რომელთა სახეები ერთმანეთს კვეთენ. ისინი შეიძლება წარმოიქმნას ორი ჩვეულებრივი 3D მყარი ნაწილის შერწყმით ან მათი სახეების გაფართოებით.
ამგვარად, ასეთი ვარსკვლავური პოლიედრები ცნობილია, როგორც: ოქტაედრის ვარსკვლავიანი ფორმები, დოდეკაედრონი, იკოსაედონი, კუბოქტაედონი, იკოსოდოდოდეკედრონი.
