კვადრატული განტოლებები არის მეორე დონის ტოლობები ერთი ცვლადით. ისინი ასახავს პარაბოლის ქცევას კოორდინატულ სიბრტყეზე. სასურველი ფესვები აჩვენებს წერტილებს, რომლებზეც გრაფიკი კვეთს OX ღერძს. კოეფიციენტების მიხედვით, პირველ რიგში შეგიძლიათ გაარკვიოთ პარაბოლის გარკვეული თვისებები. მაგალითად, თუ რიცხვის მნიშვნელობა x2-მდე არის უარყოფითი, მაშინ პარაბოლას ტოტები გამოიყურებიან ზემოთ. გარდა ამისა, არსებობს რამდენიმე ხრიკი, რომლითაც შეგიძლიათ მნიშვნელოვნად გაამარტივოთ მოცემული განტოლების ამოხსნა.
კვადრატული განტოლებების ტიპები
სკოლაში ისწავლება რამდენიმე ტიპის კვადრატული განტოლება. აქედან გამომდინარე, არსებობს მათი გადაჭრის გზებიც. სპეციალურ ტიპებს შორის შეიძლება გამოიყოს პარამეტრის მქონე კვადრატული განტოლებები. ეს ტიპი შეიცავს რამდენიმე ცვლადს:
ah2+12x-3=0
შემდეგი ვარიაცია არის განტოლება, რომელშიც ცვლადი წარმოდგენილია არა ერთი რიცხვით, არამედ მთელი გამოსახულებით:
21(x+13)2-17(x+13)-12=0
აღსანიშნავია, რომ ესყველაფერი კვადრატული განტოლებების ზოგადი ფორმაა. ზოგჯერ ისინი წარმოდგენილია ფორმატში, რომელშიც ჯერ უნდა იყოს მოწესრიგებული, ფაქტორირებული ან გამარტივებული.
4(x+26)2-(-43x+27)(7-x)=4x
გადაწყვეტილების პრინციპი
კვადრატული განტოლებები იხსნება შემდეგი გზით:
- საჭიროების შემთხვევაში, იპოვეთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი.
- განტოლება მოცემულია შესაბამისი ფორმით.
- დისკრიმინანტი ნაპოვნია შესაბამისი ფორმულის მიხედვით: D=b2-4ac.
- დისკრიმინანტის მნიშვნელობის მიხედვით კეთდება დასკვნები ფუნქციასთან დაკავშირებით. თუ D>0, მაშინ ისინი ამბობენ, რომ განტოლებას აქვს ორი განსხვავებული ფესვი (D-სთვის).
- ამის შემდეგ იპოვეთ განტოლების ფესვები.
- შემდეგი (დავალებიდან გამომდინარე) შექმენით გრაფიკი ან იპოვეთ მნიშვნელობა გარკვეულ წერტილში.
კვადრატული განტოლებები: ვიეტას თეორემა და სხვა ხრიკები
თითოეულ მოსწავლეს სურს გამოიჩინოს თავისი ცოდნა, გამომგონებლობა და უნარები კლასში. კვადრატული განტოლებების შესწავლისას, ეს შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით.
იმ შემთხვევაში, როდესაც კოეფიციენტი a=1, შეგვიძლია ვისაუბროთ ვიეტას თეორემის გამოყენებაზე, რომლის მიხედვითაც ფესვების ჯამი უდრის x-ის წინ b რიცხვის მნიშვნელობას (a-ით. ნიშანი არსებულის საპირისპიროდ), ხოლო ნამრავლი x 1 და x2 უდრის c. ასეთ განტოლებებს უწოდებენ შემცირებულს.
x2-20x+91=0,
x1x2=91 და x1+x 2 =20,=> x1=13 და x2=7
მეტიმათემატიკური სამუშაოს ლამაზად გამარტივების ერთ-ერთი გზა არის პარამეტრების თვისებების გამოყენება. ასე რომ, თუ ყველა პარამეტრის ჯამი არის 0, მაშინ მივიღებთ, რომ x1=1 და x2=c/a.
17x2-7x-10=0
17-7-10=0, შესაბამისად ფესვი 1: x1=1 და ფესვი 2: x2=- 10/ 12
თუ a და c კოეფიციენტების ჯამი b-ის ტოლია, მაშინ x1=-1 და, შესაბამისად, x2=-c /a
25x2+49x+24=0
25+24=49, შესაბამისად x1=-1 და x2=-24/25
ეს მიდგომა კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას მნიშვნელოვნად ამარტივებს გამოთვლის პროცესს და ასევე დაზოგავს უზარმაზარ დროს. ყველა ქმედება შეიძლება შესრულდეს გონებაში, სვეტში გამრავლებაზე ან კალკულატორის გამოყენებით კონტროლის ან გადამოწმების ძვირფასი წუთების დახარჯვის გარეშე.
კვადრატული განტოლებები ემსახურება როგორც კავშირს რიცხვებსა და კოორდინატთა სიბრტყეს შორის. შესაბამისი ფუნქციის პარაბოლას სწრაფად და მარტივად ასაგებად, მისი წვერის პოვნის შემდეგ აუცილებელია x-ღერძზე პერპენდიკულარული ვერტიკალური ხაზის დახატვა. ამის შემდეგ, თითოეული მიღებული წერტილი შეიძლება აირეკლოს მოცემულ წრფესთან მიმართებაში, რომელსაც სიმეტრიის ღერძი ეწოდება.
