პლანიმეტრია არის გეომეტრიის ფილიალი, რომელიც სწავლობს სიბრტყე ფიგურების თვისებებს. ეს მოიცავს არა მხოლოდ ცნობილ სამკუთხედებს, კვადრატებს, მართკუთხედებს, არამედ სწორ ხაზებსა და კუთხეებს. პლანიმეტრიაში ასევე არის ისეთი ცნებები, როგორიცაა კუთხეები წრეში: ცენტრალური და ჩაწერილი. მაგრამ რას ნიშნავს ისინი?
რა არის ცენტრალური კუთხე?
იმისათვის, რომ გაიგოთ რა არის ცენტრალური კუთხე, თქვენ უნდა განსაზღვროთ წრე. წრე არის მოცემული წერტილიდან (წრის ცენტრიდან) თანაბარი მანძილის ყველა წერტილის კოლექცია.
ძალიან მნიშვნელოვანია მისი გარჩევა წრისგან. უნდა გვახსოვდეს, რომ წრე არის დახურული ხაზი, ხოლო წრე არის მისით შემოსაზღვრული სიბრტყის ნაწილი. მრავალკუთხედი ან კუთხე შეიძლება ჩაიწეროს წრეში.
ცენტრალური კუთხე არის კუთხე, რომლის წვერო ემთხვევა წრის ცენტრს და რომლის გვერდები კვეთენ წრეს ორ წერტილში. რკალს, რომელსაც კუთხე ზღუდავს გადაკვეთის წერტილებით, ეწოდება რკალი, რომელზეც ეყრდნობა მოცემული კუთხე.
იხილეთ მაგალითი 1.
სურათზე AOB კუთხე ცენტრალურია, რადგან კუთხის წვერო და წრის ცენტრი არის ერთი წერტილი O. ის ეყრდნობა AB რკალს, რომელიც არ შეიცავს C წერტილს.
რით განსხვავდება ჩაწერილი კუთხე ცენტრალურისაგან?
თუმცა, ცენტრალურის გარდა, არის ჩაწერილი კუთხეებიც. რა განსხვავებაა მათ შორის? ისევე, როგორც ცენტრალური, წრეში ჩაწერილი კუთხე ეყრდნობა გარკვეულ რკალს. მაგრამ მისი წვერო არ ემთხვევა წრის ცენტრს, არამედ დევს მასზე.
მოდით ავიღოთ შემდეგი მაგალითი.
კუთხე ACB ეწოდება კუთხეს, რომელიც ჩაწერილია წრეში, რომელიც ცენტრშია O წერტილში. წერტილი C ეკუთვნის წრეს, ანუ დევს მასზე. კუთხე ეყრდნობა AB რკალს.
რა არის ცენტრალური კუთხე
იმისთვის, რომ წარმატებით გაუმკლავდეთ პრობლემებს გეომეტრიაში, საკმარისი არ არის წარწერიანი და ცენტრალური კუთხის გარჩევა. როგორც წესი, მათ გადასაჭრელად, თქვენ ზუსტად უნდა იცოდეთ, როგორ იპოვოთ ცენტრალური კუთხე წრეში და შეძლოთ მისი მნიშვნელობის გამოთვლა გრადუსებში.
ასე რომ, ცენტრალური კუთხე უდრის რკალის გრადუსის ზომას, რომელზეც იგი ეყრდნობა.
სურათზე AOB კუთხე ეყრდნობა AB რკალს, რომელიც ტოლია 66°. ასე რომ, კუთხე AOB ასევე უდრის 66°-ს.
ამგვარად, ტოლი რკალებზე დაფუძნებული ცენტრალური კუთხეები ტოლია.
სურათზე რკალი DC უდრის რკალს AB. ასე რომ, კუთხე AOB უდრის კუთხეს DOC.
როგორ ვიპოვოთ ჩაწერილი კუთხე
შეიძლება ჩანდეს, რომ წრეში ჩაწერილი კუთხე ცენტრალური კუთხის ტოლია,რომელიც ეყრდნობა იმავე რკალს. თუმცა, ეს უხეში შეცდომაა. სინამდვილეში, თუნდაც მხოლოდ ნახატის დათვალიერება და ამ კუთხეების ერთმანეთთან შედარება, ხედავთ, რომ მათი ხარისხის ზომები განსხვავებული მნიშვნელობები იქნება. რა არის წრეში ჩაწერილი კუთხე?
ჩაწერილი კუთხის გრადუსის ზომა არის რკალის ნახევარი, რომელზეც ის ეყრდნობა, ან ცენტრალური კუთხის ნახევარი, თუ ისინი ეყრდნობიან იმავე რკალს.
მოდით განვიხილოთ მაგალითი. კუთხე ACB დაფუძნებულია რკალზე, რომელიც ტოლია 66°.
ასე რომ კუთხე DIA=66°: 2=33°
მოდით განვიხილოთ ამ თეორემის ზოგიერთი შედეგი.
- ჩაწერილი კუთხეები, თუ ისინი დაფუძნებულია იმავე რკალზე, აკორდზე ან ტოლ რკალზე, ტოლია.
- თუ ჩაწერილი კუთხეები დაფუძნებულია ერთსა და იმავე აკორდზე, მაგრამ მათი წვეროები დევს მის მოპირდაპირე მხარეს, ასეთი კუთხის გრადუსის ზომების ჯამი არის 180°, რადგან ამ შემთხვევაში ორივე კუთხე ემყარება რკალებს, რომლის საერთო გრადუსის ზომაა 360° (მთელი წრე), 360°: 2=180°
- თუ ჩაწერილი კუთხე ეფუძნება მოცემული წრის დიამეტრს, მისი გრადუსის საზომია 90°, ვინაიდან დიამეტრი ექვემდებარება რკალს ტოლი 180°, 180°: 2=90°
- თუ წრეში ცენტრალური და ჩაწერილი კუთხეები ეფუძნება ერთსა და იმავე რკალს ან აკორდს, მაშინ ჩაწერილი კუთხე უდრის ცენტრალურის ნახევარს.
სად შეიძლება მოიძებნოს პრობლემები ამ თემაზე? მათი ტიპები და გადაწყვეტილებები
რადგან წრე და მისი თვისებები გეომეტრიის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მონაკვეთია, განსაკუთრებით პლანიმეტრია, წრეში ჩაწერილი და ცენტრალური კუთხეები ფართო და დეტალური თემაა.სწავლობდა სასკოლო სასწავლო გეგმაში. მათი თვისებებისადმი მიძღვნილი ამოცანები გვხვდება მთავარ სახელმწიფო გამოცდაში (OGE) და ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში (USE). როგორც წესი, ამ ამოცანების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იპოვოთ კუთხეები წრეზე გრადუსით.
კუთხეები იმავე რკალზე
ამ ტიპის პრობლემა, ალბათ, ერთ-ერთი ყველაზე მარტივია, რადგან მის გადასაჭრელად საჭიროა მხოლოდ ორი მარტივი თვისება იცოდეთ: თუ ორივე კუთხე ჩაწერილია და ეყრდნობა ერთსა და იმავე აკორდს, ისინი ტოლია, თუ ერთ-ერთი მათგანია. ცენტრალური, მაშინ შესაბამისი ჩაწერილი კუთხე უდრის ნახევარს. თუმცა, მათი გადაჭრისას ძალიან ფრთხილად უნდა იყოთ: ზოგჯერ ძნელია ამ თვისების შემჩნევა და სტუდენტები, ასეთი მარტივი პრობლემების გადაჭრისას, ჩიხში ხვდებიან. განვიხილოთ მაგალითი.
პრობლემა 1
მოცემულია წრე, რომელიც ორიენტირებულია O წერტილში. კუთხე AOB არის 54°. იპოვეთ კუთხის ხარისხიანი ზომა DIA.
ეს ამოცანა წყდება ერთი ნაბიჯით. ერთადერთი, რაც გჭირდებათ, რომ მასზე პასუხი სწრაფად იპოვოთ, არის შეამჩნიოთ, რომ რკალი, რომელზეც ორივე კუთხე ეყრდნობა, საერთოა. ამის დანახვისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ უკვე ნაცნობი თვისება. კუთხე ACB არის AOB კუთხის ნახევარი. ასე რომ, 1) AOB=54°: 2=27°.
პასუხი: 54°.
კუთხეები ერთი და იმავე წრის სხვადასხვა რკალზე დაფუძნებული
ზოგჯერ რკალის ზომა, რომელზეც ეყრდნობა საჭირო კუთხე, პირდაპირ არ არის მითითებული პრობლემის პირობებში. მისი გამოსათვლელად თქვენ უნდა გააანალიზოთ ამ კუთხეების სიდიდე და შეადაროთ ისინი წრის ცნობილ თვისებებს.
პრობლემა 2
წრეში, რომელიც ცენტრშია O, AOC კუთხეარის 120°, ხოლო AOB კუთხე არის 30°. იპოვე კუთხე შენ.
დასაწყისად, ღირს იმის თქმა, რომ შესაძლებელია ამ პრობლემის გადაჭრა ტოლფერდა სამკუთხედების თვისებების გამოყენებით, მაგრამ ამას მეტი მათემატიკური მოქმედებები დასჭირდება. მაშასადამე, აქ ჩვენ გავაანალიზებთ ამონახსანს წრეში ცენტრალური და შემოხაზული კუთხეების თვისებების გამოყენებით.
ასე რომ, AOC კუთხე ეყრდნობა AC რკალს და არის ცენტრალური, რაც ნიშნავს, რომ რკალი AC უდრის AOC კუთხეს.
AC=120°
ასევე, AOB კუთხე ეყრდნობა AB რკალს.
AB=30°.
ეს და მთელი წრის (360°) ხარისხის საზომის ცოდნით, შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ რკალის სიდიდე BC.
BC=360° - AC - AB
ძვ.წ.=360° - 120° - 30°=210°
კუთხის CAB წვერო, წერტილი A, დევს წრეზე. აქედან გამომდინარე, კუთხე CAB არის ჩაწერილი და ტოლია CB რკალის ნახევარს.
CAB კუთხე=210°: 2=110°
პასუხი: 110°
პრობლემები დაფუძნებული რკალის თანაფარდობაზე
ზოგიერთი ამოცანა საერთოდ არ შეიცავს მონაცემებს კუთხეების შესახებ, ამიტომ მათი მოძიება საჭიროა მხოლოდ ცნობილი თეორემებისა და წრის თვისებების საფუძველზე.
პრობლემა 1
იპოვეთ წრეში ჩაწერილი კუთხე, რომელსაც აქვს მოცემული წრის რადიუსის ტოლი აკორდი.
თუ გონებრივად დახაზავთ ხაზებს, რომლებიც აკავშირებს სეგმენტის ბოლოებს წრის ცენტრთან, მიიღებთ სამკუთხედს. მისი შესწავლის შემდეგ, ხედავთ, რომ ეს ხაზები არის წრის რადიუსი, რაც ნიშნავს, რომ სამკუთხედის ყველა მხარე თანაბარია. ჩვენ ვიცით, რომ ტოლგვერდა სამკუთხედის ყველა კუთხეუდრის 60°-ს. მაშასადამე, რკალი AB, რომელიც შეიცავს სამკუთხედის წვეროს, უდრის 60°-ს. აქედან ვპოულობთ რკალს AB, რომელზეც დაფუძნებულია სასურველი კუთხე.
AB=360° - 60°=300°
კუთხე ABC=300°: 2=150°
პასუხი: 150°
პრობლემა 2
წრეში, რომელიც ცენტრშია O წერტილში, რკალი დაკავშირებულია როგორც 3:7. იპოვეთ უფრო პატარა ჩაწერილი კუთხე.
ამოხსნისთვის ერთ ნაწილს აღვნიშნავთ როგორც X, შემდეგ ერთი რკალი უდრის 3X-ს, ხოლო მეორე, შესაბამისად, 7X. იმის ცოდნა, რომ წრის გრადუსის ზომა არის 360°, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ განტოლება.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
პირობის მიხედვით, თქვენ უნდა იპოვოთ უფრო მცირე კუთხე. ცხადია, თუ კუთხის მნიშვნელობა პირდაპირპროპორციულია იმ რკალისა, რომელზეც ის ეყრდნობა, მაშინ საჭირო (პატარა) კუთხე შეესაბამება 3X-ის ტოლ რკალს..
ასე რომ, უფრო მცირე კუთხე არის (36°3): 2=108°: 2=54°
პასუხი: 54°
პრობლემა 3
წრეში, რომელიც ცენტრშია O წერტილში, კუთხე AOB არის 60°, ხოლო პატარა რკალის სიგრძე არის 50. გამოთვალეთ დიდი რკალის სიგრძე.
უფრო დიდი რკალის სიგრძის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გააკეთოთ პროპორცია - როგორ უკავშირდება პატარა რკალი უფრო დიდს. ამისათვის ჩვენ ვიანგარიშებთ ორივე რკალის სიდიდეს გრადუსებში. პატარა რკალი უდრის მასზე დაყრდნობილი კუთხის. მისი ხარისხი არის 60°. უფრო დიდი რკალი უდრის სხვაობას წრის გრადუსის ზომას შორის (ის უდრის 360°-ს, სხვა მონაცემების მიუხედავად) და პატარა რკალს შორის.
დიდი რკალი არის 360° - 60°=300°.
300°: 60°=5-დან, უფრო დიდი რკალი 5-ჯერ უფრო პატარაა.
დიდი რკალი=505=250
პასუხი: 250
ასე რომ, რა თქმა უნდა, არის სხვებიცმსგავსი ამოცანების გადაჭრის მიდგომები, მაგრამ ყველა მათგანი რატომღაც ეფუძნება ცენტრალური და ჩაწერილი კუთხეების, სამკუთხედების და წრეების თვისებებს. მათი წარმატებით გადაჭრისთვის საჭიროა ნახატის გულდასმით შესწავლა და პრობლემის მონაცემებთან შედარება, ასევე შეგეძლოთ თქვენი თეორიული ცოდნის პრაქტიკაში გამოყენება.
