ჩამოწერილი ოთხკუთხედი წრეში. ოთხკუთხედი ABCD ჩაწერილია წრეში

2024 ავტორი: Angel Austin | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-02 17:50

მათემატიკის ალგებრასა და გეომეტრიად დაყოფით სასწავლო მასალა რთულდება. ჩნდება ახალი ფიგურები და მათი განსაკუთრებული შემთხვევები. მასალის კარგად გასაგებად აუცილებელია საგნების ცნებების, თვისებების და მასთან დაკავშირებული თეორემების შესწავლა.

ზოგადი ცნებები

ოთხკუთხედი ნიშნავს გეომეტრიულ ფიგურას. იგი შედგება 4 პუნქტისგან. უფრო მეტიც, 3 მათგანი არ არის განლაგებული იმავე სწორ ხაზზე. არის სეგმენტები, რომლებიც აკავშირებს მითითებულ წერტილებს სერიაში.

სასკოლო გეომეტრიის კურსში შესწავლილი ყველა ოთხკუთხედი ნაჩვენებია შემდეგ დიაგრამაზე. დასკვნა: წარმოდგენილი ფიგურიდან ნებისმიერ ობიექტს აქვს წინა ფიგურის თვისებები.

ოთხკუთხედი შეიძლება იყოს შემდეგი ტიპის:

• პარალელოგრამა. მისი მოპირდაპირე მხარეების პარალელურობა დასტურდება შესაბამისი თეორემებით.
• ტრაპეცია. ოთხკუთხედი პარალელური ფუძეებით. დანარჩენი ორი მხარე არ არის.
• მართკუთხედი. ფიგურა, რომელსაც აქვს ოთხივე კუთხე=90º.
• რომბი. ფიგურა, რომლის ყველა მხარე ტოლია.
• კვადრატი. აერთიანებს ბოლო ორი ფიგურის თვისებებს. მას აქვს ყველა გვერდი ტოლი და ყველა კუთხე მართია.

ამ თემის მთავარი განმარტება არის წრეში ჩაწერილი ოთხკუთხედი. იგი შედგება შემდეგში. ეს არის ფიგურა, რომლის გარშემოც აღწერილია წრე. მან უნდა გაიაროს ყველა წვერო. წრეში ჩაწერილი ოთხკუთხედის შიდა კუთხეები შეადგენს 360º-ს.

ყველა ოთხკუთხედი არ შეიძლება ჩაიწეროს. ეს გამოწვეულია იმით, რომ 4 მხარის პერპენდიკულარული ბისექტრები შეიძლება არ იკვეთებოდეს ერთ წერტილში. ეს შეუძლებელს გახდის წრის ცენტრის პოვნას, რომელიც გარშემორტყმულია 4 კუთხით.

სპეციალური შემთხვევები

ყველა წესში არის გამონაკლისი. ასე რომ, ამ თემაშიც არის განსაკუთრებული შემთხვევები:

• პარალელოგრამი, როგორც ასეთი, არ შეიძლება ჩაიწეროს წრეში. მხოლოდ მისი განსაკუთრებული შემთხვევა. ეს არის მართკუთხედი.
• თუ რომბის ყველა წვერო არის შემოხაზული ხაზი, მაშინ ის არის კვადრატი.
• ტრაპეციის ყველა წვერო წრის საზღვარზეა. ამ შემთხვევაში ისინი საუბრობენ ტოლფერდა ფიგურაზე.

ჩახაზული ოთხკუთხედის თვისებები წრეში

ამ თემაზე მარტივი და რთული ამოცანების გადაჭრამდე, თქვენ უნდა გადაამოწმოთ თქვენი ცოდნა. სასწავლო მასალის შესწავლის გარეშე შეუძლებელია ერთი მაგალითის ამოხსნა.

თეორემა 1

წრეში ჩაწერილი ოთხკუთხედის საპირისპირო კუთხეების ჯამი არის 180º.

მტკიცებულება

მოცემულია: ოთხკუთხედი ABCD ჩაწერილია წრეში. მისი ცენტრი არის წერტილი O. ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ _<A + _<C=180º და _< B + _<D=180º.

გაითვალისწინეთ წარმოდგენილი ციფრები.

1. _{<A ჩაწერილია წრეში, რომელიც ცენტრშია O წერტილში. იგი იზომება ½ BCD (ნახევარი რკალი) მეშვეობით.}
2. _{<C ჩაწერილია იმავე წრეში. ის იზომება ½ BAD-ის (ნახევრად რკალი) მეშვეობით.}
3. BAD და BCD ქმნიან მთელ წრეს, ანუ მათი სიდიდე არის 360º.
4. _<A + _{<C უდრის წარმოდგენილი ნახევარრკალების ჯამის ნახევარს.}
5. აქედან _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

ანალოგიურად, მტკიცებულება _<B და _{<D. თუმცა, არსებობს პრობლემის მეორე გადაწყვეტა.}

1. ცნობილია, რომ ოთხკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი არის 360º.
2. იმიტომ, რომ _<A + _<C=180º. შესაბამისად, _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

თეორემა 2

(მას ხშირად უწოდებენ შებრუნებულს) თუ ოთხკუთხედში _<A + _<C=180º და _{<B +} <_{D=180º (თუ ისინი საპირისპიროა), მაშინ წრე შეიძლება აღწერილი იყოს ასეთი ფიგურის გარშემო.}

მტკიცებულება

მოცემულია ABCD ოთხკუთხედის საპირისპირო კუთხეების ჯამი ტოლი 180º. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ წრე შეიძლება შემოიფარგლოს ABCD-ის გარშემო.}

გეომეტრიის კურსიდან ცნობილია, რომ წრე შეიძლება გაივლოს ოთხკუთხედის 3 წერტილში. მაგალითად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ A, B, C წერტილები. სად იქნება D წერტილი? არსებობს 3 ვარაუდი:

1. ის მთავრდება წრეში. ამ შემთხვევაში, D არ ეხება ხაზს.
2. წრის გარეთ. ის ბევრად სცილდება გამოსახულ ხაზს.
3. წრეზე გამოდის.

უნდა ვივარაუდოთ, რომ D არის წრის შიგნით. მითითებული წვერის ადგილს იკავებს D´. გამოდის ოთხკუთხედი ABCD´.

შედეგი არის:_<B + _{<D´=2 დღე.}

თუ გავაგრძელებთ AD´-მდე არსებულ წრეზე E წერტილში მდებარე კვეთამდე და დავაკავშირებთ E და C, მივიღებთ ჩაწერილ ოთხკუთხედს ABCE. პირველი თეორემიდან გამომდინარეობს ტოლობა:

გეომეტრიის კანონების მიხედვით, გამოთქმა არ არის მართებული, რადგან _<D' არის CD'E სამკუთხედის გარე კუთხე. შესაბამისად, ის უნდა იყოს _{<E-ზე მეტი. აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ D უნდა იყოს წრეზე ან მის გარეთ.}

ანალოგიურად, მესამე დაშვება შეიძლება დადასტურდეს მცდარი, როდესაც D'' სცილდება აღწერილი ფიგურის საზღვრებს.

ორი ჰიპოთეზიდან გამომდინარეობს ერთადერთი სწორი. წვერო D მდებარეობს წრის ხაზზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, D ემთხვევა E-ს. აქედან გამომდინარეობს, რომ ოთხკუთხედის ყველა წერტილი განლაგებულია აღწერილ წრფეზე.

ამათგანორი თეორემა, დასკვნა შემდეგია:

ნებისმიერი მართკუთხედი შეიძლება ჩაიწეროს წრეში. არის კიდევ ერთი შედეგი. წრე შეიძლება შემოიფარგლოს ნებისმიერი მართკუთხედის გარშემო

ტრაპეცია თანაბარი თეძოებით შეიძლება ჩაიწეროს წრეში. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ასე ჟღერს: ტრაპეციის გარშემო წრე შეიძლება იყოს აღწერილი თანაბარი კიდეებით

რამდენიმე მაგალითი

პრობლემა 1. ოთხკუთხედი ABCD ჩაწერილია წრეში. _<ABC=105º, _<CAD=35º. უნდა იპოვოთ _{<ABD. პასუხი უნდა დაიწეროს გრადუსით.}

გადაწყვეტილება. თავიდან შეიძლება რთულად მოგეჩვენოთ პასუხის პოვნა.

1. თქვენ უნდა გახსოვდეთ თვისებები ამ თემიდან. კერძოდ: მოპირდაპირე კუთხეების ჯამი=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

გეომეტრიაში ჯობია დარჩეს პრინციპი: იპოვე ყველაფერი, რაც შეგიძლია. სასარგებლო მოგვიანებით.

2. შემდეგი ნაბიჯი: გამოიყენეთ სამკუთხედის ჯამის თეორემა.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<<ADC=180º – 180º – 75º=70º}

ჩაწერილია

_<ABD და _{<ACD. პირობით, ისინი ეყრდნობიან ერთ რკალს. შესაბამისად, მათ აქვთ თანაბარი მნიშვნელობები:}

_<ABD=_<ACD=70º

პასუხი: _<ABD=70º.

პრობლემა 2. BCDE არის წრეში ჩაწერილი ოთხკუთხედი. _<B=69º, _<C=84º. წრის ცენტრი არის წერტილი E. იპოვეთ - _<E.

გადაწყვეტილება.

1. უნდა იპოვოთ _{<E თეორემა 1-ით.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

პასუხი: _{< E=96º.}

პრობლემა 3. მოცემულია წრეში ჩაწერილი ოთხკუთხედი. მონაცემები ნაჩვენებია ფიგურაში. აუცილებელია ვიპოვოთ უცნობი მნიშვნელობები x, y, z.

გადაწყვეტა:

z=180º – 93º=87º (თეორემით 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (თეორემით 1)

პასუხი: z=87º, x=82º, y=98º.

პრობლემა 4. არის წრეში ჩაწერილი ოთხკუთხედი. მნიშვნელობები ნაჩვენებია ფიგურაში. იპოვეთ x, y.

გადაწყვეტა:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

პასუხი: x=100º, y=109º.

პრობლემები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

მაგალითი 1. მოცემულია წრე. მისი ცენტრი არის წერტილი O. AC და BD არის დიამეტრი. _<ACB=38º. უნდა იპოვოთ _{<AOD. პასუხი უნდა გაიცეს გრადუსით.}

მაგალითი 2. მოცემულია ოთხკუთხედი ABCD და მის გარშემო შემოხაზული წრე. _<ABC=110º, _<ABD=70º. იპოვეთ _{<CAD. დაწერეთ თქვენი პასუხი გრადუსებში.}

მაგალითი 3. მოცემულია წრე და ჩაწერილი ოთხკუთხედი ABCD. მისი ორი კუთხე არის 82º და58º. თქვენ უნდა იპოვოთ დარჩენილი კუთხიდან ყველაზე დიდი და ჩაწეროთ პასუხი გრადუსებში.

მაგალითი 4. მოცემულია ოთხკუთხედი ABCD. A, B, C კუთხეები მოცემულია 1:2:3 თანაფარდობით. აუცილებელია ვიპოვოთ კუთხე D, თუ მითითებული ოთხკუთხედი შეიძლება ჩაიწეროს წრეში. პასუხი უნდა გაიცეს გრადუსით.

მაგალითი 5. მოცემულია ოთხკუთხედი ABCD. მისი გვერდები ქმნიან შემოხაზული წრის რკალებს. ხარისხის მნიშვნელობები AB, BC, CD და AD, შესაბამისად, არის: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. თქვენ უნდა იპოვოთ _{< მოცემული ოთხკუთხედიდან და ჩაწერეთ პასუხი გრადუსებში.}