1900 წელს გასული საუკუნის ერთ-ერთმა უდიდესმა მეცნიერმა დევიდ ჰილბერტმა შეადგინა მათემატიკაში 23 გადაუჭრელი ამოცანის სია. მათზე მუშაობამ უდიდესი გავლენა მოახდინა ადამიანური ცოდნის ამ სფეროს განვითარებაზე. 100 წლის შემდეგ კლეის მათემატიკურმა ინსტიტუტმა წარმოადგინა 7 ამოცანის სია, რომელიც ცნობილია როგორც ათასწლეულის ამოცანები. თითოეულ მათგანს შესთავაზეს პრიზი $1 მილიონი.
ერთადერთი პრობლემა, რომელიც გაჩნდა თავსატეხების ორივე ჩამონათვალში, რომელიც აწუხებდა მეცნიერებს საუკუნეზე მეტი ხნის განმავლობაში, იყო რიმანის ჰიპოთეზა. ის ჯერ კიდევ ელოდება თავის გადაწყვეტილებას.
მოკლე ბიოგრაფიული ცნობა
გეორგ ფრიდრიხ ბერნჰარდ რიმანი დაიბადა 1826 წელს ჰანოვერში, ღარიბი პასტორის მრავალშვილიან ოჯახში და მხოლოდ 39 წელი იცოცხლა. მან მოახერხა 10 ნაწარმოების გამოცემა. თუმცა, უკვე სიცოცხლეშივე რიმანი ითვლებოდა მისი მასწავლებლის იოჰან გაუსის მემკვიდრედ. 25 წლის ასაკში ახალგაზრდა მეცნიერმა დაიცვა დისერტაცია „კომპლექსური ცვლადის ფუნქციების თეორიის საფუძვლები“. მოგვიანებით მან ჩამოაყალიბამისი ცნობილი ჰიპოთეზა.
პირველი რიცხვები
მათემატიკა გაჩნდა, როცა ადამიანმა თვლა ისწავლა. ამავდროულად გაჩნდა პირველი იდეები რიცხვების შესახებ, რომელთა კლასიფიკაციაც მოგვიანებით სცადეს. ზოგიერთ მათგანს საერთო თვისებები აქვს. კერძოდ, ნატურალურ რიცხვებს შორის, ანუ მათ შორის, რომლებიც გამოიყენებოდა დათვლაში (ნუმერაციაში) ან ობიექტების რაოდენობის აღნიშვნაში, გამოირჩეოდა ჯგუფი, რომელიც იყოფა მხოლოდ ერთზე და საკუთარ თავზე. მათ უბრალოებს უწოდებენ. ასეთი რიცხვების სიმრავლის უსასრულობის თეორემის ელეგანტური მტკიცებულება მოცემულია ევკლიდემ თავის ელემენტებში. ამ დროისთვის მათი ძებნა გრძელდება. კერძოდ, უკვე ცნობილი ყველაზე დიდი რიცხვია 274 207 281 – 1.
ეილერის ფორმულა
მარტივი რიცხვების სიმრავლის უსასრულობის კონცეფციასთან ერთად, ევკლიდემ ასევე დაადგინა მეორე თეორემა ერთადერთ შესაძლო დაშლის მარტივ ფაქტორებად. მისი მიხედვით, ნებისმიერი დადებითი მთელი რიცხვი არის მარტივი რიცხვების მხოლოდ ერთი სიმრავლის ნამრავლი. 1737 წელს დიდმა გერმანელმა მათემატიკოსმა ლეონჰარდ ეულერმა გამოთქვა ევკლიდეს პირველი უსასრულობის თეორემა ქვემოთ მოცემული ფორმულით.
მას უწოდებენ ზეტა ფუნქციას, სადაც s არის მუდმივი და p იღებს ყველა პირველ მნიშვნელობას. ევკლიდეს განცხადება გაფართოების უნიკალურობის შესახებ პირდაპირ მას მოჰყვა.
Riemann Zeta ფუნქცია
ეილერის ფორმულა, უფრო მჭიდრო შემოწმებისას, სრულიად არისგასაკვირია, რადგან ის განსაზღვრავს ურთიერთობას პირველსა და მთელ რიცხვებს შორის. ბოლოს და ბოლოს, უსაზღვროდ ბევრი გამონათქვამი, რომელიც მხოლოდ მარტივ რიცხვებზეა დამოკიდებული, მრავლდება მის მარცხენა მხარეს და ყველა დადებით რიცხვთან დაკავშირებული ჯამი მდებარეობს მარჯვნივ.
რიმანი ეილერზე შორს წავიდა. რიცხვების განაწილების პრობლემის გასაღების საპოვნელად, მან შესთავაზა განესაზღვრათ ფორმულა როგორც რეალური, ასევე რთული ცვლადებისთვის. სწორედ მან მიიღო შემდგომში რიმანის ზეტა ფუნქციის სახელი. 1859 წელს მეცნიერმა გამოაქვეყნა სტატია სათაურით "მარტივი რიცხვების რაოდენობის შესახებ, რომლებიც არ აღემატება მოცემულ მნიშვნელობას", სადაც მან შეაჯამა ყველა თავისი იდეა.
რიმანმა შემოგვთავაზა ეილერის სერიების გამოყენება, რომელიც აერთიანებს ნებისმიერ რეალურ s>1-ს. თუ იგივე ფორმულა გამოიყენება რთული s-სთვის, მაშინ სერია გადაიყრება ამ ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, რომლის რეალური ნაწილია 1-ზე მეტი. რიმანმა გამოიყენა ანალიტიკური გაგრძელების პროცედურა, გააფართოვა ზეტა(ების) განმარტება ყველა კომპლექსურ რიცხვზე, მაგრამ "გადააგდეს" ერთეული. ის გამოირიცხა, რადგან s=1-ზე ზეტა ფუნქცია იზრდება უსასრულობამდე.
პრაქტიკული აზრი
იბადება ლოგიკური კითხვა: რატომ არის ზეტა ფუნქცია, რომელიც მთავარია რიმანის მუშაობაში ნულ ჰიპოთეზაზე, საინტერესო და მნიშვნელოვანი? მოგეხსენებათ, ამ დროისთვის არ არის გამოვლენილი მარტივი ნიმუში, რომელიც აღწერს მარტივი რიცხვების განაწილებას ნატურალურ რიცხვებს შორის. რიმანმა შეძლო აღმოეჩინა, რომ რიცხვი pi(x), რომელიც არ აღემატებოდა x-ს, გამოიხატება ზეტა ფუნქციის არატრივიალური ნულების განაწილებით. უფრო მეტიც, რიმანის ჰიპოთეზა არისაუცილებელი პირობა ზოგიერთი კრიპტოგრაფიული ალგორითმის მუშაობისთვის დროის შეფასების დასამტკიცებლად.
რიმანის ჰიპოთეზა
ამ მათემატიკური ამოცანის ერთ-ერთი პირველი ფორმულირება, რომელიც დღემდე არ არის დადასტურებული, ასე ჟღერს: არატრივიალური 0 ზეტა ფუნქციები რთული რიცხვებია, რომელთა რეალური ნაწილი უდრის ½-ს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ისინი განლაგებულია ხაზზე Re s=½.
არსებობს ასევე განზოგადებული რიმანის ჰიპოთეზა, რომელიც იგივე განცხადებაა, მაგრამ ზეტა ფუნქციების განზოგადებისთვის, რომლებსაც ჩვეულებრივ უწოდებენ დირიხლეს L-ფუნქციებს (იხილეთ სურათი ქვემოთ).
ფორმულაში χ(n) - ზოგიერთი რიცხვითი სიმბოლო (მოდული k).
რიმანის დებულება განიხილება ეგრეთ წოდებული ნულოვანი ჰიპოთეზა, რადგან ის შემოწმდა არსებული ნიმუშის მონაცემებთან შესაბამისობაში.
როგორც რიმანი ამტკიცებდა
გერმანელი მათემატიკოსის შენიშვნა თავდაპირველად საკმაოდ შემთხვევით იყო ჩამოყალიბებული. ფაქტია, რომ იმ დროს მეცნიერი აპირებდა დაემტკიცებინა თეორემა მარტივი რიცხვების განაწილების შესახებ და ამ კონტექსტში ამ ჰიპოთეზას განსაკუთრებული მნიშვნელობა არ ჰქონდა. თუმცა, მისი როლი მრავალი სხვა საკითხის გადაჭრაში უზარმაზარია. სწორედ ამიტომ, რიმანის ვარაუდი აღიარებულია მრავალი მეცნიერის მიერ, როგორც ყველაზე მნიშვნელოვანი დაუმტკიცებელი მათემატიკური ამოცანებიდან.
როგორც უკვე აღვნიშნეთ, რიმანის სრული ჰიპოთეზა არ არის საჭირო განაწილების თეორემის დასამტკიცებლად და საკმარისია ლოგიკურად დასაბუთება, რომ ზეტა ფუნქციის ნებისმიერი არატრივიალური ნულის რეალური ნაწილი არის0-სა და 1-ს შორის. ამ თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ ზეტა ფუნქციის ყველა 0-ის ჯამი, რომელიც ჩნდება ზემოთ მოცემულ ზუსტ ფორმულაში, არის სასრული მუდმივი. x-ის დიდი მნიშვნელობებისთვის ის შეიძლება საერთოდ დაიკარგოს. ფორმულის ერთადერთი წევრი, რომელიც იგივე რჩება ძალიან დიდი x-ისთვისაც, არის თავად x. დარჩენილი რთული ტერმინები მასთან შედარებით ასიმპტომურად ქრება. ასე რომ, შეწონილი ჯამი x-ისკენ მიისწრაფვის. ეს გარემოება შეიძლება ჩაითვალოს მარტივი რიცხვების განაწილების თეორემის ჭეშმარიტების დადასტურებად. ამრიგად, რიმანის ზეტა ფუნქციის ნულებს განსაკუთრებული როლი აქვთ. იგი მოიცავს იმის მტკიცებას, რომ ასეთი მნიშვნელობები არ შეიძლება მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანოს დაშლის ფორმულაში.
რიმანის მიმდევრები
ტუბერკულოზით გამოწვეული ტრაგიკულმა სიკვდილმა ამ მეცნიერს არ მისცა საშუალება მიეყვანა თავისი პროგრამა ლოგიკურ დასასრულამდე. თუმცა შ-ჟ-მ მისგან გადაიბარა. de la Vallée Poussin და Jacques Hadamard. ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად მათ გამოიტანეს თეორემა მარტივი რიცხვების განაწილების შესახებ. ჰადამარმა და პუსინმა შეძლეს დაემტკიცებინათ, რომ ყველა არატრივიალური 0 ზეტა ფუნქცია კრიტიკულ დიაპაზონშია.
ამ მეცნიერების მუშაობის წყალობით მათემატიკაში ახალი მიმართულება გაჩნდა - რიცხვების ანალიტიკური თეორია. მოგვიანებით, თეორემის კიდევ რამდენიმე პრიმიტიული მტკიცებულება, რომელზეც რიმანი მუშაობდა, სხვა მკვლევარებმა მოიპოვეს. კერძოდ, პალ ერდოსმა და ატლე სელბერგმა აღმოაჩინეს ამის დამადასტურებელი ძალიან რთული ლოგიკური ჯაჭვი, რომელიც არ საჭიროებდა კომპლექსური ანალიზის გამოყენებას. თუმცა, ამ ეტაპზე რამდენიმე მნიშვნელოვანიათეორემები, რიცხვების თეორიის მრავალი ფუნქციის მიახლოების ჩათვლით. ამ მხრივ, ერდოსის და ატლე სელბერგის ახალმა ნამუშევარმა პრაქტიკულად არაფერზე იმოქმედა.
პრობლემის ერთ-ერთი უმარტივესი და ულამაზესი მტკიცებულება აღმოაჩინა 1980 წელს დონალდ ნიუმენმა. იგი ეფუძნებოდა ცნობილ კოშის თეორემას.
ემუქრება თუ არა რიმანის ჰიპოთეზა თანამედროვე კრიპტოგრაფიის საფუძვლებს
მონაცემთა დაშიფვრა წარმოიშვა იეროგლიფების გამოჩენასთან ერთად, უფრო სწორედ, ისინი თავად შეიძლება ჩაითვალოს პირველ კოდებად. ამ დროისთვის არის ციფრული კრიპტოგრაფიის მთელი სფერო, რომელიც ავითარებს დაშიფვრის ალგორითმებს.
პირველი და "ნახევრად მთავარი" რიცხვები, ანუ ის, რომლებიც იყოფა მხოლოდ 2 სხვა რიცხვზე იმავე კლასიდან, ქმნიან საჯარო გასაღების სისტემის საფუძველს, რომელიც ცნობილია როგორც RSA. მას აქვს ყველაზე ფართო გამოყენება. კერძოდ, იგი გამოიყენება ელექტრონული ხელმოწერის გენერირებისას. რიმანის ჰიპოთეზა ამტკიცებს, რომ არსებობს მარტივი რიცხვების განაწილების სისტემა. ამრიგად, კრიპტოგრაფიული გასაღებების სიძლიერე, რომელზედაც დამოკიდებულია ონლაინ ტრანზაქციების უსაფრთხოება ელექტრონული კომერციის სფეროში, მნიშვნელოვნად შემცირდა.
სხვა გადაუჭრელი მათემატიკური ამოცანები
ღირს სტატიის დასრულება ათასწლეულის სხვა მიზნებისთვის რამდენიმე სიტყვით. ეს მოიცავს:
- P და NP კლასების თანასწორობა. პრობლემა ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: თუ კონკრეტულ კითხვაზე დადებითი პასუხი მოწმდება პოლინომიურ დროში, მაშინ მართალია თუ არა თავად ამ კითხვაზე პასუხიშეგიძლიათ სწრაფად იპოვოთ?
- ჰოჯის ვარაუდი. მარტივი სიტყვებით, ის შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: ზოგიერთი ტიპის პროექციული ალგებრული ჯიშებისთვის (სივრცეები), ჰოჯის ციკლები არის ობიექტების კომბინაციები, რომლებსაც აქვთ გეომეტრიული ინტერპრეტაცია, ანუ ალგებრული ციკლები..
- პუანკარეს ვარაუდი. ეს არის ერთადერთი ათასწლეულის გამოწვევა, რომელიც აქამდე დადასტურდა. მისი მიხედვით, ნებისმიერი სამგანზომილებიანი ობიექტი, რომელსაც აქვს სამგანზომილებიანი სფეროს სპეციფიკური თვისებები, უნდა იყოს სფერო, დეფორმაციამდე.
- იანგის კვანტური თეორიის დადასტურება - მილსი. საჭიროა დაამტკიცოს, რომ ამ მეცნიერების მიერ წამოყენებული კვანტური თეორია R 4 სივრცისთვის არსებობს და აქვს მე-0 მასის დეფექტი ნებისმიერი მარტივი კომპაქტური ლიანდაგის ჯგუფისთვის G.
- ბირჩ-სვინერტონ-დაიერის ჰიპოთეზა. ეს არის კიდევ ერთი საკითხი, რომელიც დაკავშირებულია კრიპტოგრაფიასთან. ის ეხება ელიფსურ მოსახვევებს.
- ნავიე-სტოუკსის განტოლებების ამონახსნების არსებობისა და სიგლუვის პრობლემა.
ახლა თქვენ იცით რიმანის ჰიპოთეზა. მარტივი სიტყვებით, ჩვენ ჩამოვაყალიბეთ ათასწლეულის სხვა გამოწვევები. რომ მოგვარდება ან დადასტურდება, რომ გამოსავალი არ აქვთ, დროის საკითხია. უფრო მეტიც, ნაკლებად სავარაუდოა, რომ ამას ძალიან დიდი ხნის ლოდინი მოუწევს, რადგან მათემატიკა სულ უფრო მეტად იყენებს კომპიუტერების გამოთვლით შესაძლებლობებს. თუმცა, ყველაფერი არ ექვემდებარება ტექნოლოგიას და პირველ რიგში, ინტუიცია და კრეატიულობაა საჭირო მეცნიერული პრობლემების გადასაჭრელად.
