იმისთვის, რომ გავიგოთ რა არის ფუნქციის უკიდურესი წერტილები, სულაც არ არის აუცილებელი იცოდეთ პირველი და მეორე წარმოებულების არსებობის შესახებ და გაიგოთ მათი ფიზიკური მნიშვნელობა. ჯერ უნდა გესმოდეთ შემდეგი:
- ფუნქციის უკიდურესი მაქსიმიზაცია ან, პირიქით, ფუნქციის მნიშვნელობის მინიმიზაცია თვითნებურად მცირე სამეზობლოში;
- არ უნდა იყოს ფუნქციის შესვენება უკიდურეს წერტილში.
და ახლაც იგივე, მხოლოდ უბრალო ენაზე. შეხედეთ ბურთულიანი კალმის წვერს. თუ კალამი მოთავსებულია ვერტიკალურად, ნაწერის ბოლოს, მაშინ ბურთის შუა ნაწილი იქნება უკიდურესი წერტილი - უმაღლესი წერტილი. ამ შემთხვევაში მაქსიმუმზე ვსაუბრობთ. ახლა, თუ კალამი ჩააბრუნეთ ჩაწერის ბოლოებით, მაშინ ბურთის შუაში უკვე იქნება ფუნქციის მინიმუმი. აქ მოცემული ფიგურის დახმარებით შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ ჩამოთვლილი მანიპულაციები საკანცელარიო ფანქრისთვის. ამრიგად, ფუნქციის უკიდურესობა ყოველთვის კრიტიკული წერტილებია: მისი მაქსიმუმი ან მინიმალური. დიაგრამის მიმდებარე მონაკვეთი შეიძლება იყოს თვითნებურად მკვეთრი ან გლუვი, მაგრამ ის უნდა არსებობდეს ორივე მხრიდან, მხოლოდ ამ შემთხვევაში წერტილი არის ექსტრემი. თუ სქემა მხოლოდ ერთ მხარეს არის, ეს წერტილი არ იქნება ექსტრემუმი, თუნდაც ერთ მხარესექსტრემალური პირობები დაკმაყოფილებულია. ახლა მოდით შევისწავლოთ ფუნქციის ექსტრემა მეცნიერული თვალსაზრისით. იმისათვის, რომ წერტილი ჩაითვალოს ექსტრემად, აუცილებელია და საკმარისია:
- პირველი წარმოებული იყო ნულის ტოლი ან არ არსებობდა წერტილში;
- პირველმა წარმოებულმა შეცვალა ნიშანი ამ ეტაპზე.
პირობა გარკვეულწილად განსხვავებულად არის განმარტებული უმაღლესი რიგის წარმოებულების თვალსაზრისით: წერტილში დიფერენცირებადი ფუნქციისთვის საკმარისია იყოს კენტი რიგის წარმოებული, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, ხოლო ყველა ქვედა რიგის წარმოებულები უნდა არსებობდეს და იყოს ნულის ტოლი. ეს არის თეორემების უმარტივესი ინტერპრეტაცია უმაღლესი მათემატიკის სახელმძღვანელოებიდან. მაგრამ ყველაზე ჩვეულებრივი ადამიანებისთვის, ღირს ამ საკითხის მაგალითით ახსნა. საფუძველი არის ჩვეულებრივი პარაბოლა. დაუყოვნებლივ გააკეთეთ დაჯავშნა, ნულოვან წერტილში მას აქვს მინიმალური. ცოტა მათემატიკა:
- პირველი წარმოებული (X2)|=2X, ნულოვანი წერტილისთვის 2X=0;
- მეორე წარმოებული (2X)|=2, ნულოვანი წერტილისთვის 2=2.
ეს არის პირობების მარტივი ილუსტრაცია, რომელიც განსაზღვრავს ფუნქციის უკიდურესობებს როგორც პირველი რიგის წარმოებულებისთვის, ასევე უმაღლესი რიგის წარმოებულებისთვის. ამას შეგვიძლია დავამატოთ, რომ მეორე წარმოებული არის კენტი რიგის იგივე წარმოებული, ნულის არატოლი, რომელიც ცოტა მაღლა იყო განხილული. როდესაც საქმე ეხება ორი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობას, ორივე არგუმენტისთვის პირობები უნდა იყოს დაცული. Როდესაცხდება განზოგადება, შემდეგ გამოიყენება ნაწილობრივი წარმოებულები. ანუ აუცილებელია ექსტრემის არსებობისთვის იმ წერტილში, რომ ორივე პირველი რიგის წარმოებული იყოს ნულის ტოლი, ან თუნდაც ერთი მათგანი არ არსებობს. ექსტრემის არსებობის საკმარისობისთვის გამოკვლეულია გამოხატულება, რომელიც არის განსხვავება მეორე რიგის წარმოებულების ნამრავლსა და ფუნქციის შერეული მეორე რიგის წარმოებულის კვადრატს შორის. თუ ეს გამოხატულება მეტია ნულზე, მაშინ არის უკიდურესი, ხოლო თუ არის ნული, მაშინ კითხვა რჩება ღია და საჭიროა დამატებითი კვლევა.
