ნომრის სისტემები - რა არის ეს? ამ კითხვაზე პასუხის ცოდნის გარეშეც, თითოეული ჩვენგანი უნებურად იყენებს რიცხვთა სისტემებს ჩვენს ცხოვრებაში და არ ეჭვობს მასში. მართალია, მრავლობითი! ანუ ერთი კი არა, რამდენიმე. სანამ არაპოზიციური რიცხვითი სისტემების მაგალითებს მოვიყვანთ, გავიგოთ ეს საკითხი, ვისაუბროთ პოზიციურ სისტემებზეც.
საჭიროა ინვოისი
ძველი დროიდან ადამიანებს ჰქონდათ დათვლის მოთხოვნილება, ანუ ინტუიციურად ხვდებოდნენ, რომ სჭირდებოდათ როგორმე გამოეხატათ რაოდენობრივი ხედვა საგნებსა და მოვლენებზე. ტვინი ვარაუდობდა, რომ საჭირო იყო ობიექტების გამოყენება დასათვლელად. თითები ყოველთვის ყველაზე მოსახერხებელი იყო და ეს გასაგებია, რადგან ისინი ყოველთვის ხელმისაწვდომია (იშვიათი გამონაკლისის გარდა).
ასე რომ, კაცობრიობის უძველეს წარმომადგენლებს უწევდათ თითების მოხრა პირდაპირი მნიშვნელობით - მაგალითად მოკლული მამონტების რაოდენობის მითითებით. ანგარიშის ასეთ ელემენტებს ჯერ არ ჰქონდათ სახელები, არამედ მხოლოდ ვიზუალური სურათი, შედარება.
თანამედროვე პოზიციური რიცხვითი სისტემები
რიცხვთა სისტემა არის რაოდენობრივი მნიშვნელობებისა და რაოდენობების წარმოდგენის მეთოდი (გზა) გარკვეული ნიშნების (სიმბოლოების ან ასოების) გამოყენებით.
აუცილებელია გავიგოთ რა არის პოზიციური და არაპოზიციური დათვლაში არაპოზიციური რიცხვითი სისტემების მაგალითების მოყვანამდე. არსებობს მრავალი პოზიციური რიცხვითი სისტემა. ახლა ცოდნის სხვადასხვა სფეროში გამოიყენება შემდეგი: ორობითი (მოიცავს მხოლოდ ორ მნიშვნელოვან ელემენტს: 0 და 1), თექვსმეტობითი (სიმბოლოების რაოდენობა - 6), რვადი (სიმბოლოები - 8), თორმეტგოჯა (თორმეტი სიმბოლო), თექვსმეტობითი (მოიცავს თექვსმეტს. პერსონაჟები). უფრო მეტიც, სისტემებში სიმბოლოების თითოეული რიგი იწყება ნულიდან. თანამედროვე კომპიუტერული ტექნოლოგიები დაფუძნებულია ორობითი კოდების გამოყენებაზე - ბინარული პოზიციური რიცხვების სისტემა.
ათწილადი რიცხვების სისტემა
პოზიციურობა არის მნიშვნელოვანი პოზიციების არსებობა სხვადასხვა ხარისხით, რომლებზეც განთავსებულია რიცხვის ნიშნები. ამის საუკეთესო დემონსტრირება შესაძლებელია ათობითი რიცხვების სისტემის მაგალითის გამოყენებით. მის გამოყენებას ხომ ბავშვობიდან ვართ მიჩვეული. ამ სისტემაში ათი ნიშანია: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. აიღეთ რიცხვი 327. მას აქვს სამი ნიშანი: 3, 2, 7. თითოეული მათგანი მდებარეობს საკუთარი პოზიცია (ადგილი). შვიდი იკავებს პოზიციას, რომელიც დაცულია ცალკეული მნიშვნელობებისთვის (ერთეულებისთვის), ორი - ათეული, ხოლო სამი - ასეული. ვინაიდან რიცხვი სამნიშნაა, ამიტომ მასში მხოლოდ სამი პოზიციაა.
ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, ესსამნიშნა ათობითი რიცხვი შეიძლება აღიწეროს შემდეგნაირად: სამი ასეული, ორი ათეული და შვიდი ერთეული. უფრო მეტიც, პოზიციების მნიშვნელობა (მნიშვნელობა) ითვლება მარცხნიდან მარჯვნივ, სუსტი პოზიციიდან (ერთი) ძლიერამდე (ასობით).
ჩვენ თავს ძალიან კომფორტულად ვგრძნობთ ათობითი პოზიციური რიცხვების სისტემაში. ხელებზე გვაქვს ათი თითი და იგივე ფეხებზე. ხუთს პლუს ხუთი - ასე რომ, თითების წყალობით, ბავშვობიდან იოლად წარმოვიდგენთ ათეულს. ამიტომ ბავშვებისთვის ადვილია ხუთსა და ათზე გამრავლების ცხრილების სწავლა. ასევე ძალიან ადვილია ისწავლო ბანკნოტების დათვლა, რომლებიც ყველაზე ხშირად მრავლდება (ანუ ნარჩენების გარეშე იყოფა) ხუთზე და ათზე.
სხვა პოზიციური რიცხვების სისტემები
ბევრისთვის გასაკვირად, უნდა ითქვას, რომ არა მხოლოდ ათობითი დათვლის სისტემაში, ჩვენი ტვინი შეჩვეულია გარკვეული გამოთვლების გაკეთებას. აქამდე კაცობრიობა იყენებდა ექვს და თორმეტგოჯა რიცხვთა სისტემებს. ანუ, ასეთ სისტემაში არის მხოლოდ ექვსი სიმბოლო (თექვსმეტობით): 0, 1, 2, 3, 4, 5. თორმეტგოჯა რიცხვში არის თორმეტი მათგანი: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6., 7, 8, 9, A, B, სადაც A - აღნიშნავს რიცხვს 10, B - რიცხვს 11 (რადგან ნიშანი უნდა იყოს ერთი).
განსაჯეთ თქვენთვის. დროს ექვსად ვითვლით, არა? ერთი საათი არის სამოცი წუთი (ექვსი ათეული), ერთი დღე არის ოცდაოთხი საათი (ორჯერ თორმეტი), წელიწადი თორმეტი თვე და ასე შემდეგ… ყველა დროის ინტერვალი ადვილად ჯდება ექვს და თორმეტგოჯა სერიებში. მაგრამ ჩვენ ისე მიჩვეულები ვართ, რომ არც კი ვფიქრობთ ამაზე დროის დათვლისას.
არაპოზიციური რიცხვითი სისტემები. ერთიანი
აუცილებელია განვსაზღვროთ რა არის ეს - არაპოზიციური რიცხვითი სისტემა. ეს არის ისეთი ნიშანთა სისტემა, რომელშიც არ არის პოზიციები რიცხვის ნიშნებისთვის, ან რიცხვის „კითხვის“პრინციპი არ არის დამოკიდებული პოზიციაზე. მას ასევე აქვს წერის ან გამოთვლის საკუთარი წესები.
მოვიყვანოთ არაპოზიციური რიცხვითი სისტემების მაგალითები. დავუბრუნდეთ ანტიკურს. ხალხს სჭირდებოდა ანგარიში და მოიფიქრა უმარტივესი გამოგონება - კვანძები. არაპოზიციური რიცხვების სისტემა კვანძოვანია. ერთი ნივთი (ბრინჯის ტომარა, ხარი, თივის ღერო და ა.შ.) ითვლიდა, მაგალითად, ყიდვისას ან გაყიდვისას და აეკრა ძაფს.
შედეგად, თოკზე იმდენი კვანძი გაკეთდა, რამდენი ტომარა ბრინჯი იყიდა (მაგალითად). მაგრამ ეს ასევე შეიძლება იყოს ჭრილობები ხის ჯოხზე, ქვის ფილაზე და ა.შ. ასეთი რიცხვების სისტემა ცნობილი გახდა, როგორც კვანძოვანი. მას მეორე სახელი აქვს - უნარი, ან სინგლი ("uno" ლათინურად ნიშნავს "ერთს").
ცხადი ხდება, რომ ეს რიცხვითი სისტემა არაპოზიციურია. ბოლოს და ბოლოს, რა პოზიციებზე შეიძლება ვისაუბროთ, როცა ის (პოზიცია) მხოლოდ ერთია! უცნაურად საკმარისია, რომ დედამიწის ზოგიერთ ნაწილში ჯერ კიდევ გამოიყენება ერთიანი არაპოზიციური რიცხვების სისტემა.
ასევე, არაპოზიციური რიცხვების სისტემები მოიცავს:
- რომაული (ასოები გამოიყენება რიცხვების დასაწერად - ლათინური სიმბოლოები);
- ძველი ეგვიპტური (რომაულის მსგავსად, ასევე იყენებდნენ სიმბოლოებს);
- ანბანური (გამოყენებული იყო ანბანის ასოები);
- ბაბილონური (ლურსმული - გამოიყენება პირდაპირი დაშებრუნებული "სოლი");
- ბერძნული (ასევე მოიხსენიება როგორც ანბანურად).
რომაული რიცხვების სისტემა
ძველი რომის იმპერია, ისევე როგორც მისი მეცნიერება, ძალიან პროგრესული იყო. რომაელებმა მსოფლიოს მისცეს მეცნიერებისა და ხელოვნების მრავალი სასარგებლო გამოგონება, მათ შორის მათი დათვლის სისტემა. ორასი წლის წინ რომაული ციფრები გამოიყენებოდა ბიზნეს დოკუმენტებში თანხების აღსანიშნავად (ამგვარად გაყალბების თავიდან აცილება).
რომაული ნუმერაცია არის არაპოზიციური რიცხვების სისტემის მაგალითი, ჩვენ ეს ახლა ვიცით. ასევე, რომაული სისტემა აქტიურად გამოიყენება, მაგრამ არა მათემატიკური გამოთვლებისთვის, არამედ ვიწრო ორიენტირებული მოქმედებებისთვის. მაგალითად, რომაული ნომრების დახმარებით, ჩვეულებრივია წიგნების პუბლიკაციებში ისტორიული თარიღების, საუკუნეების, ტომების, სექციებისა და თავების რიცხვის დანიშვნა. რომაული ნიშნები ხშირად გამოიყენება საათის ციფერბლატის გასაფორმებლად. ასევე რომაული ნუმერაცია არის არაპოზიციური რიცხვების სისტემის მაგალითი.
რომაელები აღნიშნავდნენ რიცხვებს ლათინური ასოებით. მეტიც, ნომრებს გარკვეული წესების მიხედვით იწერდნენ. რომაულ რიცხვთა სისტემაში არის ძირითადი სიმბოლოების სია, რომელთა დახმარებითაც ყველა რიცხვი იწერებოდა გამონაკლისის გარეშე.
| ნომერი (ათწილადი) | რომაული რიცხვი (ლათინური ანბანის ასო) |
| 1 | მე |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
წესები რიცხვების შედგენის
საჭირო რიცხვი მიიღეს ნიშნების (ლათინური ასოების) დამატებით და მათი ჯამის გამოთვლით. განვიხილოთ, თუ როგორ იწერება ნიშნები რომაულ სისტემაში სიმბოლურად და როგორ უნდა „წაიკითხოს“. ჩამოვთვალოთ რიცხვების ფორმირების ძირითადი კანონები რომაულ არაპოზიციურ რიცხვთა სისტემაში.
- რიცხვი ოთხი - IV, შედგება ორი სიმბოლოსგან (I, V - ერთი და ხუთი). იგი მიიღება უფრო მცირე ნიშნის გამოკლებით, თუ ის მარცხნივ არის. როდესაც უფრო მცირე ნიშანი მდებარეობს მარჯვნივ, თქვენ უნდა დაამატოთ, შემდეგ მიიღებთ რიცხვს ექვსი - VI.
- აუცილებელია ერთმანეთის გვერდით ორი იდენტური ნიშნის დამატება. მაგალითად: SS არის 200 (C არის 100), ან XX არის 20.
- თუ რიცხვის პირველი ნიშანი ნაკლებია მეორეზე, მაშინ ამ მწკრივის მესამე სიმბოლო შეიძლება იყოს სიმბოლო, რომლის მნიშვნელობაც პირველზე ნაკლებია. დაბნეულობის თავიდან ასაცილებლად, აქ არის მაგალითი: CDX - 410 (ათწილადში).
- ზოგიერთი დიდი რიცხვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სხვადასხვა გზით, რაც რომაული დათვლის სისტემის ერთ-ერთი მინუსია. აქ მოცემულია რამდენიმე მაგალითი: MVM (რომაული)=1000 + (1000 - 5)=1995 (ათწილადი) ან MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. და ეს ყველაფერი არ არის.
არითმეტიკული ხრიკები
არაპოზიციური რიცხვების სისტემა ზოგჯერ არის რიცხვების ფორმირების, მათი დამუშავების (მათზე მოქმედებების) წესების რთული ნაკრები. არითმეტიკული მოქმედებები არაპოზიციურ რიცხვთა სისტემებში ადვილი არ არისთანამედროვე ადამიანებისთვის. ჩვენ არ გვშურს ძველი რომაელი მათემატიკოსების!
მიმატების მაგალითი. შევეცადოთ დავამატოთ ორი რიცხვი: XIX + XXVI=XXXV, ეს დავალება შესრულებულია ორ ეტაპად:
- პირველი - აიღეთ და დაამატეთ რიცხვების უფრო მცირე წილადები: IX + VI=XV (I შემდეგ V და I -მდე X-მდე "ვანგრევთ" ერთმანეთს).
- მეორე - დაამატეთ ორი რიცხვის დიდი წილადები: X + XX=XXX.
გამოკლება გარკვეულწილად უფრო რთულია. შესამცირებელი რიცხვი უნდა დაიყოს მის შემადგენელ ელემენტებად და შემდეგ დუბლირებული სიმბოლოები შემცირდეს შესამცირებლად და გამოკლებულ რიცხვში. გამოვაკლოთ 263 500-ს:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
რომაული რიცხვების გამრავლება. სხვათა შორის, აუცილებელია აღვნიშნოთ, რომ რომაელებს არ ჰქონდათ არითმეტიკული მოქმედებების ნიშნები, ისინი უბრალოდ სიტყვებით აღნიშნავდნენ.
მრავალჯერადი რიცხვი უნდა გამრავლებულიყო მულტიპლიკატორის თითოეულ ცალკეულ სიმბოლოზე, რის შედეგადაც რამდენიმე პროდუქტი უნდა დაემატებინა. ასე მრავლდება მრავალწევრები.
რაც შეეხება დაყოფას, ეს პროცესი რომაულ რიცხვთა სისტემაში იყო და რჩება ყველაზე რთული. აქ გამოიყენებოდა ძველი რომაული აბაკუსი. მასთან მუშაობისთვის ადამიანებს სპეციალურად ამზადებდნენ (და ყველა ვერ ახერხებდა ასეთი მეცნიერების დაუფლებას).
არაპოზიციური სისტემების უარყოფითი მხარეების შესახებ
როგორც ზემოთ აღინიშნა, არაპოზიციურ რიცხვთა სისტემებს აქვთ თავისი ნაკლი, უხერხულობა გამოყენებისას. Unary საკმარისად მარტივია მარტივი დათვლისთვის, მაგრამ არითმეტიკული და რთული გამოთვლებისთვის ეს ასე არ არისსაკმარისად კარგი.
რომაულში არ არსებობს დიდი რიცხვების ფორმირების ერთიანი წესები და წარმოიქმნება დაბნეულობა და ასევე ძალიან რთულია მასში გამოთვლების გაკეთება. ასევე, ყველაზე დიდი რიცხვი, რომელსაც ძველ რომაელებს შეეძლოთ დაეწერათ მათი მეთოდით, იყო 100000.
