დღეს, თანამედროვე სამყაროში ინტერესის გარეშე შეუძლებელია. სკოლაშიც კი, მე-5 კლასიდან დაწყებული, ბავშვები სწავლობენ ამ კონცეფციას და ამ ღირებულებით წყვეტენ პრობლემებს. ინტერესი გვხვდება თანამედროვე სტრუქტურების ყველა სფეროში. ავიღოთ, მაგალითად, ბანკები: სესხის ზედმეტად გადახდის ოდენობა დამოკიდებულია ხელშეკრულებაში მითითებულ თანხაზე; საპროცენტო განაკვეთი ასევე გავლენას ახდენს მოგების ზომაზე. ამიტომ, სასიცოცხლოდ მნიშვნელოვანია ვიცოდეთ რა არის პროცენტი.
ინტერესის კონცეფცია
ერთი ლეგენდის თანახმად, პროცენტი გაჩნდა სულელური ბეჭდვითი შეცდომის გამო. კომპოზიტორს უნდა დაეყენებინა რიცხვი 100, მაგრამ აირია და დააყენა ასე: 010. ამან გამოიწვია პირველი ნულის ოდნავ აწევა, ხოლო მეორეს დაცემა. ერთეული გახდა უკანა ხაზი. ასეთმა მანიპულაციებმა გამოიწვია პროცენტის ნიშნის გამოჩენა. რა თქმა უნდა, არსებობს სხვა ლეგენდები ამ მნიშვნელობის წარმოშობის შესახებ.
ინდიელებმა იცოდნენ პროცენტების შესახებ მე-5 საუკუნეში. ევროპაში ათობითი წილადები, თანრომელიც ჩვენი კონცეფცია მჭიდროდ არის დაკავშირებული, გაჩნდა ათასწლეულის შემდეგ. პირველად ძველ სამყაროში, განსჯა იმის შესახებ, თუ რა არის პროცენტი, შემოიღო ბელგიელმა მეცნიერმა სიმონ სტევინმა. 1584 წელს იგივე მეცნიერის მიერ პირველად გამოქვეყნდა სიდიდეების ცხრილი.
სიტყვა "პროცენტი" წარმოიშვა ლათინურად, როგორც pro centum. თუ თარგმნით ფრაზას, მიიღებთ "ასიდან". ასე რომ, პროცენტი გაგებულია, როგორც მნიშვნელობის მეასედი, რიცხვი. ეს მნიშვნელობა აღინიშნება ნიშნით %.
პროცენტების წყალობით შესაძლებელი გახდა ერთი მთლიანის ნაწილების შედარება დიდი სირთულის გარეშე. აქციების შემოღებამ მნიშვნელოვნად გაამარტივა გამოთვლები, რის გამოც ისინი ასე გავრცელებული გახდა.
წილადების გადაქცევა პროცენტებად
ათწილადი წილადის პროცენტად გადასაყვანად შეიძლება დაგჭირდეთ ეგრეთ წოდებული პროცენტის ფორმულა: წილადი მრავლდება 100, %.
თუ წილადის პროცენტად გადაქცევა გჭირდებათ, ჯერ უნდა გააკეთოთ ათწილადი და შემდეგ გამოიყენოთ ზემოთ მოცემული ფორმულა.
პროცენტების გადაქცევა წილადებად
როგორც ასეთი, პროცენტული ფორმულა საკმაოდ პირობითია. მაგრამ თქვენ უნდა იცოდეთ როგორ გადაიყვანოთ ეს მნიშვნელობა წილადის გამოხატულებად. აქციების (პროცენტების) ათობითი წილადების გადასაყვანად, თქვენ უნდა ამოიღოთ % ნიშანი და გაყოთ ინდიკატორი 100-ზე.
ფორმულა რიცხვის პროცენტის გამოსათვლელად
მოსწავლეთა 30%-მა მიიღო ქიმიის ტესტისთვის „შესანიშნავი“ნიშანი. კლასში სულ 40 მოსწავლეა. Რამდენიმოსწავლეებმა დაწერეს ტესტი "5"-ზე? ეს ამოცანა ნათლად აჩვენებს, თუ როგორ უნდა გაიგოთ რიცხვის პროცენტი.
გადაწყვეტა:
1) 40 x 30=1200.
2) 1200: 100=12 (სტუდენტები).
პასუხი: 12-მა მოსწავლემ დაწერა ტესტი "5".
შეგიძლიათ გამოიყენოთ მზა ცხრილი, რომელიც აჩვენებს მათ შესაბამის წილადებს და პროცენტებს.
გამოდის, რომ პროცენტული ფორმულა ასე გამოიყურება: C=(A∙B)/100, სადაც A არის რიცხვი (კონკრეტულ მაგალითში 40-ის ტოლია); B - პროცენტების რაოდენობა (ამ პრობლემაში B=30%); С – სასურველი შედეგი.
პროცენტიდან რიცხვის გამოსათვლელი ფორმულა
შემდეგი ამოცანა გვიჩვენებს, თუ რა არის პროცენტი და როგორ მოვძებნოთ რიცხვი პროცენტიდან.
ტანსაცმლის ქარხანამ დაამზადა 1200 კაბა, საიდანაც 32% ახალი სტილის კაბაა. რამდენი ახალი სტილის კაბა დაამზადა ტანსაცმლის ქარხანამ?
გადაწყვეტა:
1. 1200: 100=12 (კაბები) - გამოშვებული ყველა ელემენტის 1%.
2. 12 x 32=384 (კაბები).
პასუხი: ქარხანამ დაამზადა 384 ახალი სტილის კაბა.
თუ თქვენ გჭირდებათ რიცხვის პოვნა მისი პროცენტების მიხედვით, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ფორმულა: C=(A∙100)/B, სადაც A - ნივთების საერთო რაოდენობა (ამ შემთხვევაში, A=1200); B - პროცენტების რაოდენობა (კონკრეტულ ამოცანაში B=32%); C არის სასურველი მნიშვნელობა.
გადიდება, რიცხვის შემცირება მოცემულობითპროცენტები
მოსწავლეებმა უნდა ისწავლონ რამდენი პროცენტია, როგორ დათვალონ ისინი და გადაჭრას სხვადასხვა პრობლემა. ამისათვის თქვენ უნდა გესმოდეთ, როგორ იზრდება ან მცირდება რიცხვი N%.
ხშირად მოცემულია დავალებები და ცხოვრებაში უნდა გაარკვიოთ რისი ტოლი იქნება რიცხვი მოცემული პროცენტით გაზრდილი. მაგალითად, X რიცხვის გათვალისწინებით. თქვენ უნდა გაარკვიოთ რა იქნება X-ის მნიშვნელობა, თუ ის გაიზრდება, ვთქვათ, 40%-ით. ჯერ 40% უნდა გადაიყვანოთ წილად რიცხვად (40/100). ასე რომ, X რიცხვის გაზრდის შედეგი იქნება: X + 40% ∙ X=(1+40/100100
) ∙ X=1, 4 ∙ X თუ X-ის ნაცვლად ჩავანაცვლებთ რომელიმე რიცხვს, ავიღოთ, მაგალითად, 100, მაშინ მთელი გამოსახულება ტოლი იქნება: 1, 4 ∙ X=1, 4 ∙ 100=140.
დაახლოებით იგივე პრინციპი გამოიყენება რიცხვის მოცემული პროცენტით შემცირებისას. აუცილებელია გამოთვლების განხორციელება: X - X ∙ 40%=X ∙ (1-40/100100)=0.6 ∙ X. თუ მნიშვნელობა არის 100, შემდეგ 0,6 ∙ X=0,6.
100=60.
არის ამოცანები, სადაც უნდა გაარკვიოთ, რა პროცენტით გაიზარდა რიცხვი.
მაგალითად, მოცემულია დავალება: მძღოლი მოძრაობდა ტრასის ერთ მონაკვეთზე 80 კმ/სთ სიჩქარით. მეორე მონაკვეთზე მატარებლის სიჩქარე 100 კმ/სთ-მდე გაიზარდა. რა პროცენტით გაიზარდა მატარებლის სიჩქარე?
გადაწყვეტა:
ვუშვათ, რომ 80 კმ/სთ არის 100%. შემდეგ ვაკეთებთ გამოთვლებს: (100% ∙ 100 კმ/სთ) / 80 კმ/სთ=1000: 8=125%. გამოდის, რომ 100 კმ/სთ არის 125%. იმის გასარკვევად, თუ რამდენად გაიზარდა სიჩქარე, უნდა გამოთვალოთ: 125% - 100%=25%.
პასუხი: მეორე მონაკვეთზე მატარებლის სიჩქარე გაიზარდა 25%.
პროპორცია
ხშირია შემთხვევები, როცა საჭიროა პროცენტული ამოცანების გადაჭრა პროპორციის გამოყენებით. ფაქტობრივად, შედეგის პოვნის ეს მეთოდი დიდად უადვილებს ამოცანას მოსწავლეებს, მასწავლებლებს და არა მხოლოდ.
მაშ რა არის პროპორცია? ეს ტერმინი აღნიშნავს ორი ურთიერთობის ტოლობას, რომელიც შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად: A/B =C / D.
მათემატიკის სახელმძღვანელოებში ასეთი წესია: უკიდურესი წევრთა ნამრავლი უდრის საშუალოების ნამრავლს. ეს გამოიხატება შემდეგი ფორმულით: A x D=B x C.
ამ ფორმულირების წყალობით, ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გამოითვალოს, თუ ცნობილია პროპორციის დანარჩენი სამი წევრი. მაგალითად, A არის უცნობი რიცხვი. მის საპოვნელად საჭიროა
პროპორციის მეთოდის გამოყენებით ამოცანების ამოხსნისას, თქვენ უნდა გესმოდეთ, რომელი რიცხვიდან აიღოთ პროცენტები. არის შემთხვევები, როდესაც აქციები უნდა აიღოთ სხვადასხვა ღირებულებიდან. შედარება:
1. მაღაზიაში გაყიდვის დასრულების შემდეგ მაისურის ღირებულება 25%-ით გაიზარდა და 200 მანეთი შეადგინა. რა ღირდა გაყიდვისას.
გადაწყვეტა:
ამ შემთხვევაში, 200 რუბლის ღირებულება შეესაბამება მაისურის თავდაპირველი (გასაყიდი) ფასის 125%-ს. შემდეგ, გაყიდვის დროს მისი ღირებულების გასარკვევად, საჭიროა (200 x 100): 125. თქვენ მიიღებთ 160 რუბლს.
2. პლანეტა ვიცენციაზე 200 000 მოსახლეა: ხალხი და ჰუმანოიდური რასის ნაავის წარმომადგენლები. ნაავი მთლიანი მოსახლეობის 80%-ს შეადგენსვისენსი. ხალხიდან 40% დასაქმებულია მაღაროს მოვლა-პატრონობაზე, დანარჩენი ტეტანისთვისაა მოპოვებული. რამდენი ადამიანი მოიპოვებს ტეტანს?
გადაწყვეტა:
უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვითი სახით ხალხის რაოდენობა და ნაავიების რაოდენობა. ასე რომ, 200 000-დან 80% იქნება 160 000. ჰუმანოიდური რასის ამდენი წარმომადგენელი ცხოვრობს ვისენსიაზე. ხალხის რაოდენობა, შესაბამისად, 40 000-ია, აქედან 40%, ანუ 16 000 მაღაროს ემსახურება. ასე რომ, 24000 ადამიანი იტანს ტეტანს.
რიცხვის განმეორებითი ცვლილება გარკვეული პროცენტით
როდესაც უკვე გესმით რა არის პროცენტი, თქვენ უნდა შეისწავლოთ აბსოლუტური და ფარდობითი ცვლილების კონცეფცია. აბსოლუტური ტრანსფორმაცია გაგებულია, როგორც რიცხვის ზრდა კონკრეტული რიცხვით. ამრიგად, X გაიზარდა 100-ით. რაც არ უნდა ჩაანაცვლოს X-ს, ეს რიცხვი მაინც გაიზრდება 100-ით: 15 + 100; 99, 9 + 100; a + 100 და ა.შ.
ფარდობითი ცვლილება გაგებულია, როგორც მნიშვნელობის ზრდა გარკვეული პროცენტით. ვთქვათ X გაიზარდა 20%-ით. ეს ნიშნავს, რომ X ტოლი იქნება: X + X ∙ 20%. ფარდობითი ცვლილება იგულისხმება, როდესაც საქმე ეხება ნახევარით ან მესამედით გაზრდას, მეოთხედით შემცირებას, 15%-ით გაზრდას და ა.შ.
არის კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი მომენტი: თუ X-ის მნიშვნელობა გაიზარდა 20%-ით და შემდეგ კიდევ 20%-ით, მაშინ მთლიანი ზრდა იქნება 44%, მაგრამ არა 40%. ეს ჩანს შემდეგი გამოთვლებიდან:
1. X + 20% ∙ X=1, 2 ∙ X
2. 1, 2 ∙ X + 20% ∙ 1, 2 ∙ X=1, 2 ∙ X + 0, 24 ∙ X=1, 44 ∙ X
ეს აჩვენებსრომ X გაიზარდა 44%-ით.
ინტერესის პრობლემების მაგალითები
1. 36-ის რამდენი პროცენტია 9?
გადაწყვეტა:
რიცხვის პროცენტის პოვნის ფორმულის მიხედვით, თქვენ უნდა გაამრავლოთ 9 100-ზე და გავყოთ 36-ზე.
პასუხი: 9 არის 36-ის 25%.
2. გამოთვალეთ რიცხვი C, რომელიც არის 40-ის 10%.
გადაწყვეტა:
რიცხვის პოვნის ფორმულის მიხედვით, თქვენ უნდა გაამრავლოთ 40 10-ზე და გაყოთ შედეგი 100-ზე.
პასუხი: 4 არის 40-ის 10%.
3. პირველმა პარტნიორმა ბიზნესში 4500 რუბლი ჩადო, მეორემ - 3500 რუბლი, მესამემ - 2000 რუბლი. მათ მიიღეს მოგება 2400 მანეთი. მათ მოგება თანაბრად გაინაწილეს. რამდენი რუბლში დაკარგა პირველმა პარტნიორმა, იმათთან შედარებით, თუ რამდენს მიიღებდა შემოსავალი დაბანდებული თანხების პროცენტის მიხედვით?
გადაწყვეტა:
ასე რომ, მათ ერთად ჩადეს ინვესტიცია 10,000 მანეთი. თითოეულის შემოსავალმა შეადგინა თანაბარი წილი 800 მანეთი. იმის გასარკვევად, თუ რამდენი უნდა მიეღო პირველ პარტნიორს და რამდენი დაკარგა, შესაბამისად, უნდა გაარკვიოთ ინვესტირებული სახსრების პროცენტი. შემდეგ თქვენ უნდა გაარკვიოთ რამდენ მოგებას მოაქვს ეს წვლილი რუბლებში. და ბოლო არის შედეგის გამოკლება 800 მანეთი.
პასუხი: პირველმა პარტნიორმა დაკარგა 280 მანეთი მოგების გაზიარებისას.
ცოტა ეკონომიურობა
დღეს საკმაოდ პოპულარული კითხვაა სესხის აღება გარკვეული ვადით. მაგრამ როგორ ავირჩიოთ მომგებიანი სესხი ისე, რომ ზედმეტი არ გადაიხადოთ? პირველ რიგში, თქვენ უნდა ნახოთსაპროცენტო განაკვეთი. სასურველია, რომ ეს მაჩვენებელი იყოს რაც შეიძლება დაბალი. შემდეგ თქვენ უნდა გამოიყენოთ სესხის პროცენტის გამოთვლის ფორმულა.
როგორც წესი, ზედმეტად გადახდის ზომაზე გავლენას ახდენს ვალის ოდენობა, საპროცენტო განაკვეთი და დაფარვის მეთოდი. არსებობს ანუიტეტი და დიფერენცირებული გადასახადები. პირველ შემთხვევაში, სესხის დაფარვა ხდება ყოველთვიურად თანაბარი განვადებით. მაშინვე იზრდება თანხა, რომელიც ფარავს ძირითად სესხს და თანდათან მცირდება პროცენტის ღირებულება. მეორე შემთხვევაში, მსესხებელი იხდის ფიქსირებულ თანხებს სესხის დასაფარად, რასაც ემატება პროცენტი ძირითადი დავალიანების ნაშთზე. ყოველთვიურად, გადახდების ჯამური ოდენობა შემცირდება.
ახლა ჩვენ უნდა განვიხილოთ სესხის დაფარვის ორივე გზა. ასე რომ, ანუიტეტის ოფციონით, ზედმეტად გადახდის ოდენობა უფრო მაღალი იქნება, ხოლო დიფერენციალური ვარიანტით, პირველი გადახდების ოდენობა. ბუნებრივია, სესხის პირობები ორივე შემთხვევაში ერთნაირია.
დასკვნა
მაშ ასე, ინტერესი. როგორ დავთვალოთ ისინი? საკმარისად მარტივი. თუმცა, ზოგჯერ ისინი შეიძლება იყოს პრობლემური. ამ თემის შესწავლა სკოლაში იწყება, მაგრამ ის ყველას სწვდება სესხების, დეპოზიტების, გადასახადების და ა.შ. ამიტომ სასურველია ჩავუღრმავდეთ ამ საკითხის არსს. თუ მაინც ვერ ახერხებთ გამოთვლებს, არსებობს უამრავი ონლაინ კალკულატორი, რომელიც დაგეხმარებათ ამოცანის შესრულებაში.
