ბევრი ადამიანისთვის მათემატიკური ანალიზი არის მხოლოდ გაუგებარი რიცხვების, ხატებისა და განმარტებების ნაკრები, რომლებიც შორს არის რეალური ცხოვრებისგან. თუმცა, სამყარო, რომელშიც ჩვენ ვარსებობთ, აგებულია რიცხვით შაბლონებზე, რომელთა იდენტიფიკაცია გვეხმარება არა მხოლოდ გაეცნონ ჩვენს გარშემო არსებულ სამყაროს და გადაჭრას მისი რთული პრობლემები, არამედ გაამარტივოს ყოველდღიური პრაქტიკული ამოცანები. რას გულისხმობს მათემატიკოსი, როცა ამბობს, რომ რიცხვების თანმიმდევრობა იყრის თავს? ეს უფრო დეტალურად უნდა იყოს განხილული.
რა არის უსასრულო?
მოდით წარმოვიდგინოთ მატრიოშკას თოჯინები, რომლებიც ერგებიან ერთს მეორეში. მათი ზომები, დაწერილი რიცხვების სახით, დაწყებული უდიდესით და მათგან უმცირესით დამთავრებული, ქმნიან თანმიმდევრობას. თუ წარმოგიდგენიათ ასეთი ნათელი ფიგურების უსასრულო რაოდენობა, მაშინ მიღებული რიგი ფანტასტიკურად გრძელი იქნება. ეს არის კონვერგენტული რიცხვების თანმიმდევრობა. და ის მიდრეკილია ნულისკენ, რადგან ყოველი მომდევნო მობუდარი თოჯინის ზომა, კატასტროფულად მცირდება, თანდათან არაფერად იქცევა. ასე რომ ადვილიაშეიძლება აიხსნას: რა არის უსასრულოდ მცირე.
მსგავსი მაგალითი იქნება შორს მიმავალი გზა. და მის გასწვრივ დამკვირვებლისგან მოშორებული მანქანის ვიზუალური ზომები, თანდათან მცირდება, გადაიქცევა უფორმო ლაქად, რომელიც ჰგავს წერტილს. ამრიგად, მანქანა, როგორც ობიექტი, რომელიც შორდება უცნობი მიმართულებით, ხდება უსასრულოდ პატარა. მითითებული სხეულის პარამეტრები არასოდეს იქნება ნული სიტყვის პირდაპირი გაგებით, მაგრამ უცვლელად მიდრეკილია ამ მნიშვნელობისკენ საბოლოო ლიმიტში. მაშასადამე, ეს თანმიმდევრობა ისევ ნულამდე იყრის თავს.
გამოთვალეთ ყველაფერი წვეთი წვეთით
მოდით წარმოვიდგინოთ ახლა ამქვეყნიური სიტუაცია. ექიმმა პაციენტს დანიშნა წამლის მიღება დღეში ათი წვეთიდან და ყოველ მეორე დღეს 2-ის დამატებით. ასე რომ, ექიმმა შესთავაზა გაგრძელება მანამ, სანამ არ ამოიწურება წამლის ფლაკონის შიგთავსი, რომლის მოცულობა 190 წვეთია. ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს, რომ დღეების მიხედვით დაგეგმილ ასეთთა რიცხვი იქნება შემდეგი რიცხვითი სერიები: 10, 12, 14 და ასე შემდეგ.
როგორ გავარკვიოთ მთელი კურსის დასრულების დრო და თანმიმდევრობის წევრების რაოდენობა? აქ, რა თქმა უნდა, პრიმიტიულად შეიძლება წვეთების დათვლა. მაგრამ, შაბლონიდან გამომდინარე, ბევრად უფრო ადვილია არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულის გამოყენება საფეხურით d=2. და ამ მეთოდის გამოყენებით გაარკვიეთ, რომ რიცხვთა სერიის წევრების რაოდენობა არის 10. ამ შემთხვევაში, a10=28. პენისის ნომერი მიუთითებს წამლის მიღების დღეების რაოდენობაზე და 28 შეესაბამება პაციენტს წვეთების რაოდენობას.გამოიყენეთ ბოლო დღეს. ეს თანმიმდევრობა ერთმანეთს ემთხვევა? არა, რადგან იმისდა მიუხედავად, რომ ის შემოიფარგლება 10-ით ქვემოდან და 28-ით ზემოდან, ასეთ რიცხვთა სერიას წინა მაგალითებისგან განსხვავებით არ აქვს ლიმიტი.
რა განსხვავებაა?
მოდით ახლა ვცადოთ გარკვევა: როდესაც რიცხვების სერია აღმოჩნდება კონვერგენტული მიმდევრობა. ამ სახის განმარტება, როგორც ზემოაღნიშნულიდან შეიძლება დავასკვნათ, პირდაპირ კავშირშია სასრული ზღვრის ცნებასთან, რომლის არსებობაც ავლენს საკითხის არსს. რა არის ფუნდამენტური განსხვავება ადრე მოცემულ მაგალითებს შორის? და რატომ არ შეიძლება ამ უკანასკნელში რიცხვი 28 ჩაითვალოს X =10 + 2(n-1)?
ამ კითხვის გასარკვევად, განიხილეთ ქვემოთ მოცემული ფორმულით მოცემული სხვა თანმიმდევრობა, სადაც n ეკუთვნის ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს.
წევრთა ეს საზოგადოება არის საერთო წილადების ერთობლიობა, რომელთა მრიცხველი არის 1, ხოლო მნიშვნელი მუდმივად იზრდება: 1, ½ …
უფრო მეტიც, ამ სერიის ყოველი მომდევნო წარმომადგენელი რიცხვთა წრფეზე მდებარეობის თვალსაზრისით სულ უფრო და უფრო უახლოვდება 0-ს და ეს ნიშნავს, რომ ასეთი სამეზობლო ჩნდება, სადაც წერტილები გროვდება ნულის გარშემო, რაც არის ზღვარი. და რაც უფრო ახლოს არიან მასთან, მით უფრო მჭიდრო ხდება მათი კონცენტრაცია რიცხვით წრფეზე. და მათ შორის მანძილი კატასტროფულად მცირდება, უსასრულოდ მცირედ იქცევა. ეს იმის ნიშანია, რომ თანმიმდევრობა თანხვედრაშია.
მსგავსიამრიგად, ნახატზე გამოსახული მრავალფეროვანი მართკუთხედები, სივრცეში მოშორებისას, ვიზუალურად უფრო ხალხმრავლობაა, ჰიპოთეტურ ზღვარში გადაიქცევა უმნიშვნელოდ.
უსასრულოდ დიდი თანმიმდევრობა
კონვერგენტული მიმდევრობის განმარტების გაანალიზების შემდეგ გადავიდეთ კონტრმაგალითებზე. ბევრი მათგანი უძველესი დროიდან იყო ცნობილი ადამიანისთვის. განსხვავებული მიმდევრობების უმარტივესი ვარიანტებია ნატურალური და ლუწი რიცხვების რიგი. მათ სხვაგვარად უწოდებენ უსასრულოდ დიდებს, რადგან მათი წევრები, რომლებიც მუდმივად იზრდებიან, სულ უფრო უახლოვდებიან პოზიტიურ უსასრულობას.
ასეთი მაგალითი ასევე შეიძლება იყოს ნებისმიერი არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესია საფეხურით და მნიშვნელით, შესაბამისად, ნულზე მეტი. გარდა ამისა, რიცხვითი სერიები განიხილება განსხვავებულ მიმდევრებად, რომლებსაც საერთოდ არ აქვთ ლიმიტი. მაგალითად, X =(-2) -1.
ფიბონაჩის თანმიმდევრობა
წინასწარ აღნიშნული რიცხვების სერიის პრაქტიკული სარგებელი კაცობრიობისთვის უდაოა. მაგრამ არსებობს უამრავი სხვა შესანიშნავი მაგალითი. ერთ-ერთი მათგანია ფიბონაჩის თანმიმდევრობა. მისი თითოეული წევრი, რომელიც იწყება ერთით, არის წინა წევრების ჯამი. მისი პირველი ორი წარმომადგენელია 1 და 1. მესამე 1+1=2, მეოთხე 1+2=3, მეხუთე 2+3=5. გარდა ამისა, იგივე ლოგიკით, მოჰყვება რიცხვები 8, 13, 21 და ასე შემდეგ.
რიცხვების ეს სერია იზრდება განუსაზღვრელი ვადით და არ აქვსსაბოლოო ლიმიტი. მაგრამ მას აქვს კიდევ ერთი შესანიშნავი თვისება. ყოველი წინა რიცხვის შეფარდება მომდევნო რიცხვთან უფრო და უფრო უახლოვდება თავისი მნიშვნელობით 0,618-ს.აქ შეგიძლიათ გაიგოთ განსხვავება კონვერგენციულ და განსხვავებულ მიმდევრობას შორის, რადგან თუ თქვენ გააკეთებთ მიღებული ნაწილობრივი გაყოფის სერიას, მითითებული რიცხვითი სისტემა იქნება. აქვს სასრული ზღვარი ტოლი 0,618.
ფიბონაჩის თანაფარდობების თანმიმდევრობა
ზემოთ მითითებული რიცხვების სერია ფართოდ გამოიყენება ბაზრების ტექნიკური ანალიზის პრაქტიკული მიზნებისთვის. მაგრამ ეს არ შემოიფარგლება მისი შესაძლებლობებით, რაც ეგვიპტელებმა და ბერძნებმა იცოდნენ და შეძლეს პრაქტიკაში გამოეყენებინათ ძველად. ამას მოწმობს მათ მიერ აშენებული პირამიდები და პართენონი. ყოველივე ამის შემდეგ, რიცხვი 0.618 არის ოქროს მონაკვეთის მუდმივი კოეფიციენტი, რომელიც კარგად იყო ცნობილი ძველ დროში. ამ წესის მიხედვით, ნებისმიერი თვითნებური სეგმენტი შეიძლება დაიყოს ისე, რომ მის ნაწილებს შორის თანაფარდობა დაემთხვა სეგმენტებიდან ყველაზე დიდსა და მთლიან სიგრძეს შორის.
მოდით ავაშენოთ მითითებული მიმართებების სერია და შევეცადოთ გავაანალიზოთ ეს თანმიმდევრობა. რიცხვების სერია იქნება შემდეგი: 1; 0,5; 0,67; 0.6; 0.625; 0.615; 0, 619 და ასე შემდეგ. ასე რომ გავაგრძელოთ, შეგვიძლია დავრწმუნდეთ, რომ კონვერგენტული მიმდევრობის ზღვარი ნამდვილად იქნება 0,618, თუმცა აუცილებელია ამ კანონზომიერების სხვა თვისებების აღნიშვნა. აქ რიცხვები, როგორც ჩანს, შემთხვევით მიდის და სულაც არ არის აღმავალი ან კლებადი თანმიმდევრობით. ეს ნიშნავს, რომ ეს კონვერგენტული თანმიმდევრობა არ არის ერთფეროვანი. რატომ არის ეს ასე, შემდგომში იქნება განხილული.
მონოტონურობა და შეზღუდვა
რიცხვების სერიის წევრებს შეუძლიათ აშკარად შემცირდეს რიცხვის გაზრდით (თუ x1>x2>x3>…>x >…) ან იზრდება (თუ x1<x2316323<…<x <…). ამ შემთხვევაში მიმდევრობა მკაცრად მონოტონურია. სხვა ნიმუშების დაკვირვებაც შესაძლებელია, სადაც რიცხვითი სერიები იქნება უცვლელი და არ მზარდი (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… ან x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), მაშინ თანმიმდევრული კონვერგენტი ასევე მონოტონურია, მაგრამ არა მკაცრი გაგებით. ამ ვარიანტებიდან პირველის კარგი მაგალითია შემდეგი ფორმულით მოცემული რიცხვების სერია.
ამ სერიის ნომრების დახატვის შემდეგ, ხედავთ, რომ მისი რომელიმე წევრი, რომელიც განუსაზღვრელი ვადით უახლოვდება 1-ს, არასოდეს გადააჭარბებს ამ მნიშვნელობას. ამ შემთხვევაში, ამბობენ, რომ კონვერგენტული მიმდევრობა შეზღუდულია. ეს ხდება მაშინ, როდესაც არის ასეთი დადებითი რიცხვი M, რომელიც ყოველთვის აღემატება სერიის მოდულის რომელიმე ტერმინს. თუ რიცხვთა სერიას აქვს ერთფეროვნების ნიშნები და აქვს ზღვარი და, შესაბამისად, თანხვედრა, მაშინ ის აუცილებლად დაჯილდოებულია ასეთი თვისებით. და პირიქით არ უნდა იყოს მართალი. ამას მოწმობს შეზღუდულობის თეორემა კონვერგენტული მიმდევრობისთვის.
ასეთი დაკვირვებების პრაქტიკაში გამოყენება ძალიან სასარგებლოა. მოდით მოვიყვანოთ კონკრეტული მაგალითი X =მიმდევრობის თვისებების შესწავლითn/n+1 და დაამტკიცეთ მისი კონვერგენცია. მარტივია იმის ჩვენება, რომ ის ერთფეროვანია, რადგან (x +1 – x) დადებითი რიცხვია ნებისმიერი n მნიშვნელობებისთვის. მიმდევრობის ზღვარი უდრის რიცხვს 1, რაც ნიშნავს, რომ ზემოაღნიშნული თეორემის, რომელსაც ასევე ვაიერშტრასის თეორემას უწოდებენ, ყველა პირობა დაკმაყოფილებულია. კონვერგენტული მიმდევრობის შეზღუდვის შესახებ თეორემა ამბობს, რომ თუ მას აქვს ზღვარი, მაშინ ნებისმიერ შემთხვევაში ის შემოსაზღვრული აღმოჩნდება. თუმცა, ავიღოთ შემდეგი მაგალითი. რიცხვების სერია X =(-1) ქვემოდან შემოსაზღვრულია -1-ით და ზემოდან 1-ით. მაგრამ ეს მიმდევრობა არ არის ერთფეროვანი, არ აქვს ლიმიტი და, შესაბამისად, არ ემთხვევა. ანუ ლიმიტის არსებობა და კონვერგენცია ყოველთვის არ გამომდინარეობს შეზღუდვებისგან. ამან რომ იმუშაოს, ქვედა და ზედა ზღვარი უნდა ემთხვეოდეს, როგორც ფიბონაჩის კოეფიციენტების შემთხვევაში.
სამყაროს რიცხვები და კანონები
კონვერგენციული და განსხვავებული მიმდევრობის უმარტივესი ვარიანტებია ალბათ რიცხვითი სერია X =n და X =1/n. პირველი მათგანი არის რიცხვების ბუნებრივი სერია. ის, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, უსასრულოდ დიდია. მეორე კონვერგენტული თანმიმდევრობა შემოსაზღვრულია და მისი ტერმინები სიდიდით უსასრულოდ მცირეა. თითოეული ეს ფორმულა ახასიათებს მრავალმხრივი სამყაროს ერთ-ერთ მხარეს, ეხმარება ადამიანს წარმოიდგინოს და გამოთვალოს რაღაც შეუცნობელი, შეზღუდული აღქმისთვის მიუწვდომელი რიცხვებისა და ნიშნების ენაზე.
სამყაროს კანონები, დაწყებული უმნიშვნელოდან წარმოუდგენლად დიდამდე, ასევე გამოხატავს ოქროს თანაფარდობას 0,618. მეცნიერებიმათ მიაჩნიათ, რომ ის არის საგნების არსის საფუძველი და მას ბუნება იყენებს მისი ნაწილების შესაქმნელად. ფიბონაჩის სერიის მომდევნო და წინა წევრებს შორის ურთიერთობა, რომელიც უკვე აღვნიშნეთ, არ ამთავრებს ამ უნიკალური სერიის საოცარი თვისებების დემონსტრირებას. თუ გავითვალისწინებთ წინა წევრის მომდევნო წევრზე ერთზე გაყოფის კოეფიციენტს, მივიღებთ 0,5-ის სერიას; 0,33; 0.4; 0.375; 0.384; 0.380; 0, 382 და ასე შემდეგ. საინტერესოა, რომ ეს შეზღუდული თანმიმდევრობა იყრის თავს, ის არ არის ერთფეროვანი, მაგრამ გარკვეული წევრის მეზობელი რიცხვების უკიდურესი შეფარდება ყოველთვის დაახლოებით უდრის 0,382-ს, რომელიც ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას არქიტექტურაში, ტექნიკურ ანალიზსა და სხვა ინდუსტრიებში.
არის ფიბონაჩის სერიის სხვა საინტერესო კოეფიციენტებიც, ისინი ყველა განსაკუთრებულ როლს თამაშობს ბუნებაში და ასევე გამოიყენება ადამიანის მიერ პრაქტიკული მიზნებისთვის. მათემატიკოსები დარწმუნებულნი არიან, რომ სამყარო ვითარდება გარკვეული "ოქროს სპირალის" მიხედვით, რომელიც ჩამოყალიბებულია მითითებული კოეფიციენტებიდან. მათი დახმარებით შესაძლებელია დედამიწაზე და კოსმოსში მომხდარი მრავალი ფენომენის გამოთვლა, დაწყებული გარკვეული ბაქტერიების რაოდენობის ზრდადან შორეული კომეტების მოძრაობამდე. როგორც ირკვევა, დნმ-ის კოდი ემორჩილება მსგავს კანონებს.
შემცირებული გეომეტრიული პროგრესია
არსებობს თეორემა, რომელიც ამტკიცებს კონვერგენტული მიმდევრობის ზღვრის უნიკალურობას. ეს ნიშნავს, რომ მას არ შეიძლება ჰქონდეს ორი ან მეტი ზღვარი, რაც უდავოდ მნიშვნელოვანია მისი მათემატიკური მახასიათებლების საპოვნელად.
მოდით გადავხედოთ ზოგიერთსშემთხვევები. ნებისმიერი რიცხვითი სერია, რომელიც შედგება არითმეტიკული პროგრესიის წევრებისაგან, განსხვავებულია, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ნულოვანი ნაბიჯია. იგივე ეხება გეომეტრიულ პროგრესიას, რომლის მნიშვნელი 1-ზე მეტია. ასეთი რიცხვითი რიგის საზღვრებია უსასრულობის „პლუს“ან „მინუს“. თუ მნიშვნელი ნაკლებია -1-ზე, მაშინ ლიმიტი საერთოდ არ არსებობს. შესაძლებელია სხვა ვარიანტებიც.
გაითვალისწინეთ რიცხვების სერია, რომელიც მოცემულია ფორმულით X =(1/4) -1. ერთი შეხედვით, ადვილი მისახვედრია, რომ ეს კონვერგენტული მიმდევრობა შემოსაზღვრულია, რადგან ის მკაცრად კლებადია და არანაირად არ შეუძლია მიიღოს უარყოფითი მნიშვნელობები.
მოდით დავწეროთ მისი წევრების რაოდენობა ზედიზედ.
გამოვა: 1; 0,25; 0,0625; 0.015625; 0, 00390625 და ასე შემდეგ. საკმაოდ მარტივი გამოთვლები საკმარისია იმის გასაგებად, თუ რამდენად სწრაფად მცირდება ეს გეომეტრიული პროგრესია მნიშვნელებიდან 0<q<1. სანამ ტერმინების მნიშვნელი იზრდება განუსაზღვრელი ვადით, ისინი თავად ხდებიან უსასრულოდ მცირე. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვების სერიის ზღვარი არის 0. ეს მაგალითი კიდევ ერთხელ აჩვენებს კონვერგენტული მიმდევრობის შეზღუდულ ბუნებას.
ფუნდამენტური თანმიმდევრობები
ავგუსტინ ლუი კოში, ფრანგი მეცნიერი, მსოფლიოს გაუმხილა მათემატიკურ ანალიზთან დაკავშირებული მრავალი ნაშრომი. მან განსაზღვრა ისეთ ცნებებს, როგორიცაა დიფერენციალური, ინტეგრალი, ლიმიტი და უწყვეტობა. მან ასევე შეისწავლა კონვერგენტული მიმდევრობების ძირითადი თვისებები. იმისათვის, რომ გავიგოთ მისი იდეების არსი,საჭიროა რამდენიმე მნიშვნელოვანი დეტალის შეჯამება.
სტატიის დასაწყისშივე აჩვენეს, რომ არის ისეთი მიმდევრობები, რომლებისთვისაც არის სამეზობლო, სადაც წერტილები, რომლებიც წარმოადგენენ გარკვეული სერიის წევრებს რეალურ ხაზზე, იწყებენ ჯგუფს, უფრო და უფრო რიგდებიან. მჭიდროდ. ამავდროულად, მათ შორის მანძილი მცირდება შემდეგი წარმომადგენლის რაოდენობის მატებასთან ერთად, გადაიქცევა უსასრულოდ მცირედ. ამრიგად, გამოდის, რომ მოცემულ უბანში დაჯგუფებულია მოცემული სერიის წარმომადგენელთა უსასრულო რაოდენობა, ხოლო მის გარეთ არის სასრული. ასეთ თანმიმდევრობებს ფუნდამენტური ეწოდება.
ცნობილი კოშის კრიტერიუმი, რომელიც შეიქმნა ფრანგი მათემატიკოსის მიერ, ნათლად მიუთითებს, რომ ასეთი თვისების არსებობა საკმარისია იმის დასამტკიცებლად, რომ თანმიმდევრობა იყრის თავს. პირიქითაც მართალია.
აღსანიშნავია, რომ ფრანგი მათემატიკოსის ეს დასკვნა ძირითადად წმინდა თეორიულ ინტერესს იწვევს. მისი გამოყენება პრაქტიკაში საკმაოდ რთულ საკითხად არის მიჩნეული, ამიტომ სერიების კონვერგენციის გასარკვევად გაცილებით მნიშვნელოვანია მიმდევრობის სასრული ზღვრის არსებობის დამტკიცება. წინააღმდეგ შემთხვევაში, იგი განსხვავებულად ითვლება.
პრობლემების ამოხსნისას ასევე უნდა გავითვალისწინოთ კონვერგენტული მიმდევრობების ძირითადი თვისებები. ისინი ნაჩვენებია ქვემოთ.
უსასრულო ჯამები
ანტიკური ხანის ისეთი ცნობილი მეცნიერები, როგორებიც არიან არქიმედესი, ევკლიდე, ევდოქსი, იყენებდნენ უსასრულო რიცხვთა რიგის ჯამებს მრუდების სიგრძის, სხეულების მოცულობის გამოსათვლელად.და ფიგურების არეები. კერძოდ, ამ გზით შესაძლებელი გახდა პარაბოლური სეგმენტის ფართობის გარკვევა. ამისთვის გამოყენებული იქნა გეომეტრიული პროგრესიის რიცხვითი რიგის ჯამი q=1/4-ით. ანალოგიურად იქნა ნაპოვნი სხვა თვითნებური ფიგურების მოცულობა და ფართობი. ამ ვარიანტს ეწოდა "გამოწურვის" მეთოდი. იდეა იყო, რომ შესწავლილი სხეული, რთული ფორმის, დაყოფილი იყო ნაწილებად, რომლებიც წარმოადგენდნენ ფიგურებს ადვილად გასაზომი პარამეტრებით. ამ მიზეზით, არ იყო რთული მათი ფართობისა და მოცულობის გამოთვლა, შემდეგ კი მათი შეკრება.
სხვათა შორის, მსგავსი ამოცანები ძალიან კარგად იცნობს თანამედროვე სკოლის მოსწავლეებს და გვხვდება USE ამოცანებში. შორეული წინაპრების მიერ ნაპოვნი უნიკალური მეთოდი ყველაზე მარტივი გამოსავალია. მაშინაც კი, თუ არსებობს მხოლოდ ორი ან სამი ნაწილი, რომლებზეც იყოფა რიცხვითი ფიგურა, მათი ფართობების შეკრება მაინც რიცხვების სერიების ჯამია.
ბევრად გვიან, ვიდრე ძველმა ბერძენმა მეცნიერებმა ლაიბნიცმა და ნიუტონმა, მათი ბრძენი წინამორბედების გამოცდილების საფუძველზე, ისწავლეს ინტეგრალური გამოთვლის ნიმუშები. მიმდევრობების თვისებების ცოდნა მათ დიფერენციალური და ალგებრული განტოლებების ამოხსნაში დაეხმარა. ამჟამად, სერიების თეორია, რომელიც შექმნილია ნიჭიერი მეცნიერების მრავალი თაობის ძალისხმევით, აძლევს შანსს გადაჭრას უზარმაზარი მათემატიკური და პრაქტიკული ამოცანები. რიცხვითი მიმდევრობების შესწავლა კი მათემატიკური ანალიზით გადაჭრილი მთავარი პრობლემაა მისი დაარსების დღიდან.
