მათემატიკის ერთ-ერთი დარგი, რომელსაც სკოლის მოსწავლეები უდიდეს სირთულეებს უმკლავდებიან, არის ტრიგონომეტრია. გასაკვირი არ არის: იმისათვის, რომ თავისუფლად დაეუფლოთ ცოდნის ამ სფეროს, გჭირდებათ სივრცითი აზროვნება, სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების, ფორმულების გამოყენებით კოტანგენტების პოვნის უნარი, გამოთვლების გამარტივება და გამოთვლებში რიცხვის pi გამოყენება. გარდა ამისა, თქვენ უნდა შეგეძლოთ ტრიგონომეტრიის გამოყენება თეორემების დამტკიცებისას და ეს მოითხოვს ან განვითარებულ მათემატიკურ მეხსიერებას ან რთული ლოგიკური ჯაჭვების გამოტანის უნარს.
ტრიგონომეტრიის წარმოშობა
შესავალი ამ მეცნიერებაში უნდა დაიწყოს კუთხის სინუსის, კოსინუსის და ტანგენტის განმარტებით, მაგრამ ჯერ უნდა გაარკვიოთ, რას აკეთებს ზოგადად ტრიგონომეტრია.
ისტორიულად, მართკუთხა სამკუთხედები იყო მათემატიკური მეცნიერების ამ მონაკვეთის კვლევის მთავარი ობიექტი. 90 გრადუსიანი კუთხის არსებობა შესაძლებელს ხდის სხვადასხვა ოპერაციების განხორციელებას, რაც საშუალებას იძლევა ორიმხარეები და ერთი კუთხე ან ორი კუთხე და ერთი მხარე განსახილველი ფიგურის ყველა პარამეტრის მნიშვნელობების დასადგენად. წარსულში ხალხმა შეამჩნია ეს ნიმუში და დაიწყო მისი აქტიურად გამოყენება შენობების მშენებლობაში, ნავიგაციაში, ასტრონომიაში და ხელოვნებაშიც კი.
დაწყების
თავდაპირველად, ადამიანები საუბრობდნენ კუთხეების და გვერდების ურთიერთობაზე მხოლოდ მართკუთხა სამკუთხედების მაგალითზე. შემდეგ აღმოაჩინეს სპეციალური ფორმულები, რამაც შესაძლებელი გახადა მათემატიკის ამ მონაკვეთის ყოველდღიურ ცხოვრებაში გამოყენების საზღვრების გაფართოება.
სკოლაში ტრიგონომეტრიის შესწავლა დღეს იწყება მართკუთხა სამკუთხედებით, რის შემდეგაც მიღებულ ცოდნას იყენებენ მოსწავლეები ფიზიკაში და აბსტრაქტული ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნაში, რომლითაც მუშაობა იწყება საშუალო სკოლაში.
სფერული ტრიგონომეტრია
მოგვიანებით, როდესაც მეცნიერებამ მიაღწია განვითარების შემდეგ საფეხურს, ფორმულები სინუსით, კოსინუსებით, ტანგენტებით, კოტანგენტებით დაიწყეს გამოყენება სფერულ გეომეტრიაში, სადაც სხვა წესები მოქმედებს და სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის მეტია. 180 გრადუსზე მეტი. ეს განყოფილება სკოლაში არ არის შესწავლილი, მაგრამ აუცილებელია ვიცოდეთ მისი არსებობის შესახებ, თუნდაც იმიტომ, რომ დედამიწის ზედაპირი და ნებისმიერი სხვა პლანეტის ზედაპირი ამოზნექილია, რაც ნიშნავს, რომ ზედაპირის ნებისმიერი მარკირება იქნება "რკალისებური". "სამგანზომილებიან სივრცეში.
აიღეთ გლობუსი და ძაფი. მიამაგრეთ ძაფი დედამიწის ნებისმიერ ორ წერტილზე ისე, რომ ის დაჭიმული იყოს. მიაქციეთ ყურადღება - მან რკალის ფორმა შეიძინა. ისეთ ფორმებს ეხებასფერული გეომეტრია გამოიყენება გეოდეზიაში, ასტრონომიაში და სხვა თეორიულ და გამოყენებით დარგებში.
მართკუთხა სამკუთხედი
რაც ცოტათი ვისწავლეთ ტრიგონომეტრიის გამოყენების გზების შესახებ, დავუბრუნდეთ ძირითად ტრიგონომეტრიას, რათა გავიგოთ, რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, რა გამოთვლები შეიძლება მათი დახმარებით და რა ფორმულები გამოვიყენოთ.
პირველ რიგში, თქვენ უნდა გესმოდეთ მართკუთხა სამკუთხედთან დაკავშირებული ცნებები. პირველი, ჰიპოტენუზა არის 90 გრადუსიანი კუთხის მოპირდაპირე მხარე. ის ყველაზე გრძელია. გვახსოვს, რომ პითაგორას თეორემის მიხედვით, მისი რიცხვითი მნიშვნელობა უდრის დანარჩენი ორი მხარის კვადრატების ჯამის ფესვს.
მაგალითად, თუ ორი გვერდი არის 3 და 4 სანტიმეტრი შესაბამისად, ჰიპოტენუზის სიგრძე იქნება 5 სანტიმეტრი. სხვათა შორის, ძველმა ეგვიპტელებმა ამის შესახებ იცოდნენ დაახლოებით ოთხნახევარი ათასი წლის წინ.
დარჩენილ ორ მხარეს, რომლებიც ქმნიან მართ კუთხეს, ეწოდება ფეხები. გარდა ამისა, უნდა გვახსოვდეს, რომ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180 გრადუსი.
განმარტება
დაბოლოს, გეომეტრიული ფუძის მყარი გაგებით, შეგვიძლია მივმართოთ კუთხის სინუსის, კოსინუსის და ტანგენსის განმარტებას.
კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის (ანუ სასურველი კუთხის მოპირდაპირე მხარის) თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან. კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან.
გახსოვდეთ, რომ არც სინუსი და არც კოსინუსი არ შეიძლება იყოს ერთზე დიდი! რატომ?რადგან ჰიპოტენუზა ნაგულისხმევად არის მართკუთხა სამკუთხედის ყველაზე გრძელი გვერდი. რაც არ უნდა გრძელი იყოს ფეხი, ის უფრო მოკლე იქნება ვიდრე ჰიპოტენუზა, რაც ნიშნავს, რომ მათი თანაფარდობა ყოველთვის ერთზე ნაკლები იქნება. ამრიგად, თუ ამოცანის პასუხში მიიღებთ სინუსს ან კოსინუსს 1-ზე მეტი მნიშვნელობით, მოძებნეთ შეცდომა გამოთვლებში ან მსჯელობაში. ეს პასუხი აშკარად არასწორია.
დაბოლოს, კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე მხარის შეფარდება მეზობელ მხარესთან. იგივე შედეგი იქნება სინუსის გაყოფა კოსინუსზე. ნახეთ: ფორმულის მიხედვით გვერდის სიგრძეს ვყოფთ ჰიპოტენუზაზე, რის შემდეგაც ვყოფთ მეორე მხარის სიგრძეზე და ვამრავლებთ ჰიპოტენუზაზე. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ იგივე თანაფარდობას, როგორც ტანგენტის განსაზღვრაში.
კოტანგენსი, შესაბამისად, არის კუთხის მიმდებარე მხარის შეფარდება მოპირდაპირე მხარეს. იგივე შედეგს ვიღებთ ერთეულის ტანგენსზე გაყოფით.
ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი და შეგვიძლია გავუმკლავდეთ ფორმულებს.
მარტივი ფორმულები
ტრიგონომეტრიაში არ შეიძლება ფორმულების გარეშე - როგორ მოვძებნოთ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი მათ გარეშე? მაგრამ ეს არის ზუსტად ის, რაც საჭიროა პრობლემების გადაჭრისას.
პირველი ფორმულა, რომელიც უნდა იცოდეთ ტრიგონომეტრიის შესწავლის დაწყებისას ამბობს, რომ კუთხის სინუსისა და კოსინუსების კვადრატების ჯამი ერთის ტოლია. ეს ფორმულა არის პითაგორას თეორემის პირდაპირი შედეგი, მაგრამ ის დაზოგავს დროს, თუ კუთხის მნიშვნელობის გარკვევა გჭირდებათ და არა გვერდის.
ბევრ სტუდენტს არ ახსოვს მეორე ფორმულა, თანაც ძალიანპოპულარული სასკოლო ამოცანების გადაჭრაში: ერთის და კუთხის ტანგენსის კვადრატის ჯამი ტოლია ერთის გაყოფილი კუთხის კოსინუსზე. დააკვირდით: ბოლოს და ბოლოს, ეს იგივე განცხადებაა, როგორც პირველ ფორმულაში, იდენტურობის მხოლოდ ორივე მხარე იყოფა კოსინუსის კვადრატით. გამოდის, რომ მარტივი მათემატიკური ოპერაცია ტრიგონომეტრიულ ფორმულას სრულიად ამოუცნობს ხდის. დაიმახსოვრეთ: იმის ცოდნა, თუ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი, კონვერტაციის წესები და რამდენიმე ძირითადი ფორმულა, შეგიძლიათ ნებისმიერ დროს დამოუკიდებლად გამოიყვანოთ საჭირო უფრო რთული ფორმულები ფურცელზე.
ორკუთხა ფორმულები და არგუმენტების დამატება
შესასწავლი კიდევ ორი ფორმულა დაკავშირებულია კუთხეების ჯამისა და სხვაობის სინუსების და კოსინუსების მნიშვნელობებთან. ისინი ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ პირველ შემთხვევაში სინუსი და კოსინუსი მრავლდება ორივეჯერ, ხოლო მეორე შემთხვევაში ემატება სინუსისა და კოსინუსის წყვილი ნამრავლი.
ასევე არსებობს ფორმულები, რომლებიც დაკავშირებულია ორმაგი კუთხის არგუმენტებთან. ისინი მთლიანად წარმოიშვა წინადან - როგორც პრაქტიკა, შეეცადეთ თავად მიიღოთ ისინი, აიღეთ ალფას კუთხე ბეტას კუთხის ტოლი.
და ბოლოს, გაითვალისწინეთ, რომ ორმაგი კუთხის ფორმულები შეიძლება გარდაიქმნას სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის ალფას ხარისხის შესამცირებლად.
თეორემები
ძირითადი ტრიგონომეტრიის ორი ძირითადი თეორემა არის სინუსების თეორემა და კოსინუსების თეორემა. ამ თეორემების დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გაიგოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი და, შესაბამისად, ფიგურის ფართობი და სიდიდე.თითოეული მხარე და ა.შ.
სინუსების თეორემა ამბობს, რომ სამკუთხედის თითოეული გვერდის სიგრძის საპირისპირო კუთხის სიდიდეზე გაყოფის შედეგად მივიღებთ იგივე რიცხვს. უფრო მეტიც, ეს რიცხვი ტოლი იქნება შემოხაზული წრის ორი რადიუსის, ანუ წრე, რომელიც შეიცავს მოცემული სამკუთხედის ყველა წერტილს.
კოსინუსების თეორემა აზოგადებს პითაგორას თეორემას, აპროექტებს მას ნებისმიერ სამკუთხედზე. გამოდის, რომ ორი გვერდის კვადრატების ჯამიდან გამოვაკლოთ მათი ნამრავლი, გამრავლებული მათ მიმდებარე კუთხის ორმაგ კოსინუსზე - შედეგად მიღებული მნიშვნელობა უდრის მესამე მხარის კვადრატს. ამრიგად, პითაგორას თეორემა აღმოჩნდება კოსინუსების თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა.
შეცდომები უყურადღებობის გამო
თუნდაც იცოდეთ რა არის სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი, ადვილია შეცდომის დაშვება უგუნებობის ან უმარტივესი გამოთვლების შეცდომის გამო. ასეთი შეცდომების თავიდან ასაცილებლად, მოდით გადავხედოთ ყველაზე პოპულარულებს.
უპირველეს ყოვლისა, არ გადაიყვანოთ საერთო წილადები ათწილადებად საბოლოო შედეგის მიღებამდე - შეგიძლიათ დატოვოთ პასუხი საერთო წილადად, თუ სხვა რამ არ არის მითითებული პირობით. ასეთ ტრანსფორმაციას შეცდომად არ შეიძლება ეწოდოს, მაგრამ უნდა გვახსოვდეს, რომ ამოცანის თითოეულ ეტაპზე შეიძლება გაჩნდეს ახალი ფესვები, რომლებიც, ავტორის იდეით, უნდა შემცირდეს. ამ შემთხვევაში თქვენ დაკარგავთ დროს არასაჭირო მათემატიკურ ოპერაციებზე. ეს განსაკუთრებით ეხება ისეთ მნიშვნელობებს, როგორიცაა სამი ან ორი ფესვი, რადგან ისინი ჩნდება ამოცანებში ყოველ ნაბიჯზე. იგივე ეხება დამრგვალებას."მახინჯი" რიცხვები.
შემდეგ, გაითვალისწინეთ, რომ კოსინუსების თეორემა ეხება ნებისმიერ სამკუთხედს, მაგრამ არა პითაგორას თეორემას! თუ შეცდომით დაგავიწყდათ გვერდების ნამრავლის ორჯერ გამოკლება მათ შორის კუთხის კოსინუსზე გამრავლებული, თქვენ არა მხოლოდ მიიღებთ სრულიად არასწორ შედეგს, არამედ აჩვენებთ საგნის სრულ გაუგებრობას. ეს უყურადღებო შეცდომაზე უარესია.
მესამე, არ აურიოთ მნიშვნელობები 30 და 60 გრადუსიანი კუთხისთვის სინუსებისთვის, კოსინუსებისთვის, ტანგენტების, კოტანგენტებისთვის. დაიმახსოვრეთ ეს მნიშვნელობები, რადგან 30 გრადუსის სინუსი ტოლია 60-ის კოსინუსს და პირიქით. მათი შერევა ადვილია და აუცილებლად მიიღებთ მცდარ შედეგს.
აპლიკაცია
ბევრი სტუდენტი არ ჩქარობს ტრიგონომეტრიის შესწავლას, რადგან მათ არ ესმით მისი გამოყენებითი მნიშვნელობა. რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ინჟინრისთვის ან ასტრონომისთვის? ეს არის ცნებები, რომელთა წყალობითაც შეგიძლიათ გამოთვალოთ მანძილი შორეულ ვარსკვლავებამდე, იწინასწარმეტყველოთ მეტეორიტის დაცემა, გაგზავნოთ კვლევითი ზონდი სხვა პლანეტაზე. მათ გარეშე შეუძლებელია შენობის აშენება, მანქანის დაპროექტება, ზედაპირზე დატვირთვის ან ობიექტის ტრაექტორიის გამოთვლა. და ეს მხოლოდ ყველაზე აშკარა მაგალითებია! ბოლოს და ბოლოს, ტრიგონომეტრია ამა თუ იმ ფორმით გამოიყენება ყველგან, მუსიკიდან მედიცინამდე.
დასკვნაში
მაშ, თქვენ იცით, რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ისინი გამოთვლებში და წარმატებით მოაგვაროთ სკოლის პრობლემები.
მთელი აზრიტრიგონომეტრია დაყვანილია იქამდე, რომ სამკუთხედის ცნობილი პარამეტრების მიხედვით აუცილებელია უცნობის გამოთვლა. სულ ექვსი პარამეტრია: სამი გვერდის სიგრძე და სამი კუთხის სიდიდეები. დავალებებს შორის განსხვავება მდგომარეობს იმაში, რომ მოცემულია სხვადასხვა შეყვანის მონაცემები.
როგორ ვიპოვოთ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ფეხების ცნობილი სიგრძის ან ჰიპოტენუზის საფუძველზე, თქვენ ახლა იცით. ვინაიდან ეს ტერმინები არაფერს ნიშნავს, თუ არა თანაფარდობა, ხოლო თანაფარდობა არის წილადი, ტრიგონომეტრიული ამოცანის მთავარი მიზანი არის ჩვეულებრივი განტოლების ან განტოლებათა სისტემის ფესვების პოვნა. და აქ ჩვეულებრივი სასკოლო მათემატიკა დაგეხმარებათ.
