წამები, ტანგენტები - ეს ყველაფერი გეომეტრიის გაკვეთილებზე ასჯერ იყო მოსმენილი. მაგრამ სკოლის დამთავრება დასრულდა, გადის წლები და მთელი ეს ცოდნა დავიწყებულია. რა უნდა გვახსოვდეს?
არსი
ტერმინი "წრის ტანგენსი" ალბათ ყველასთვის ნაცნობია. მაგრამ ნაკლებად სავარაუდოა, რომ ყველა შეძლებს სწრაფად ჩამოაყალიბოს მისი განმარტება. იმავდროულად, ტანგენსი არის ასეთი სწორი ხაზი, რომელიც მდებარეობს იმავე სიბრტყეში წრესთან, რომელიც მას მხოლოდ ერთ წერტილში კვეთს. შეიძლება იყოს მათი უზარმაზარი მრავალფეროვნება, მაგრამ მათ ყველას აქვთ იგივე თვისებები, რაც ქვემოთ იქნება განხილული. როგორც მიხვდით, შეხების წერტილი არის ადგილი, სადაც წრე და ხაზი იკვეთება. თითოეულ შემთხვევაში, ეს არის ერთი, მაგრამ თუ მეტია, მაშინ ის იქნება სეკანტი.
აღმოჩენისა და შესწავლის ისტორია
ტანგენტის ცნება გაჩნდა ანტიკურ ხანაში. ამ სწორი ხაზების აგება ჯერ წრეზე, შემდეგ კი ელიფსებზე, პარაბოლებზე და ჰიპერბოლებზე მმართველისა და კომპასის დახმარებით განხორციელდა გეომეტრიის განვითარების საწყის ეტაპზეც კი. რა თქმა უნდა, ისტორიამ არ შემოინახა აღმომჩენის სახელი, მაგრამაშკარაა, რომ მაშინაც კი, ადამიანებმა კარგად იცოდნენ წრეზე ტანგენტის თვისებები.
თანამედროვე დროში ამ ფენომენის მიმართ ინტერესი კვლავ გაჩნდა - დაიწყო ამ კონცეფციის შესწავლის ახალი რაუნდი, ახალი მრუდების აღმოჩენასთან ერთად. ასე რომ, გალილეომ შემოიტანა ციკლოიდის კონცეფცია და ფერმამ და დეკარტმა ააშენეს მასზე ტანგენსი. რაც შეეხება წრეებს, როგორც ჩანს, ამ მხარეში ძველთათვის საიდუმლო არ არის დარჩენილი.
თვისებები
გადაკვეთის წერტილამდე მიყვანილი რადიუსი წრფის პერპენდიკულარული იქნება. ეს არის
მთავარი, მაგრამ არა ერთადერთი თვისება, რომელიც აქვს წრეზე ტანგენტს. კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი მახასიათებელი მოიცავს უკვე ორ სწორ ხაზს. ასე რომ, წრის გარეთ მდებარე ერთი წერტილის გავლით, შეიძლება დაიხაზოს ორი ტანგენსი, ხოლო მათი სეგმენტები ტოლი იქნება. ამ თემაზე კიდევ ერთი თეორემაა, მაგრამ ის იშვიათად არის გაშუქებული სტანდარტული სასკოლო კურსის ფარგლებში, თუმცა უაღრესად მოსახერხებელია ზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად. ასე ჟღერს. წრის გარეთ მდებარე ერთი წერტილიდან, მასზე ტანგენსი და სეკანტია გამოყვანილი. ყალიბდება სეგმენტები AB, AC და AD. A არის ხაზების გადაკვეთა, B არის კონტაქტის წერტილი, C და D არის კვეთა. ამ შემთხვევაში მოქმედი იქნება შემდეგი ტოლობა: წრეზე ტანგენსის სიგრძე კვადრატში ტოლი იქნება AC და AD სეგმენტების ნამრავლის.
ზემოაღნიშნულიდან არის მნიშვნელოვანი შედეგი. წრის თითოეული წერტილისთვის შეგიძლიათ ააგოთ ტანგენტი, მაგრამ მხოლოდ ერთი. ამის დადასტურება საკმაოდ მარტივია: თეორიულად მასზე რადიუსიდან პერპენდიკულარის ჩამოშვებით, აღმოვაჩენთ, რომ ჩამოყალიბებულისამკუთხედი ვერ იარსებებს. და ეს ნიშნავს, რომ ტანგენტი ერთადერთია.
შენობა
გეომეტრიის სხვა ამოცანებს შორის არის სპეციალური კატეგორია, როგორც წესი, არა
უყვარს მოსწავლეები და სტუდენტები. ამ კატეგორიის ამოცანების გადასაჭრელად საჭიროა მხოლოდ კომპასი და სახაზავი. ეს არის სამშენებლო ამოცანები. ასევე არსებობს ტანგენტის აგების მეთოდები.
ასე რომ, მოცემულია წრე და წერტილი, რომელიც მდებარეობს მის საზღვრებს გარეთ. და აუცილებელია მათში ტანგენტის დახატვა. Როგორ გავაკეთო ეს? უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა დახაზოთ სეგმენტი O წრის ცენტრსა და მოცემულ წერტილს შორის. შემდეგ, კომპასის გამოყენებით, გაყავით იგი შუაზე. ამისათვის თქვენ უნდა დააყენოთ რადიუსი - ორიგინალური წრის ცენტრსა და მოცემულ წერტილს შორის მანძილის ნახევარზე ცოტა მეტი. ამის შემდეგ, თქვენ უნდა ააწყოთ ორი გადამკვეთი რკალი. უფრო მეტიც, კომპასის რადიუსის შეცვლა არ არის საჭირო და წრის თითოეული ნაწილის ცენტრი იქნება საწყისი წერტილი და O, შესაბამისად. რკალების კვეთა უნდა იყოს დაკავშირებული, რაც სეგმენტს შუაზე გაყოფს. დააყენეთ რადიუსი კომპასზე ამ მანძილის ტოლი. შემდეგი, ცენტრით გადაკვეთის წერტილში, დახაზეთ კიდევ ერთი წრე. მასზე იქნება საწყისი წერტილიც და Oც.ამ შემთხვევაში ამოცანაში მოცემულ წრესთან იქნება კიდევ ორი გადაკვეთა. ისინი იქნება შეხების წერტილები თავდაპირველად მოცემული წერტილისთვის.
საინტერესო
ეს იყო წრეზე ტანგენტების აგება, რამაც გამოიწვია
-ის დაბადება
დიფერენციალური გაანგარიშება. პირველი ნამუშევარი ამ თემაზე იყოგამოქვეყნდა ცნობილი გერმანელი მათემატიკოსის ლაიბნიცის მიერ. იგი ითვალისწინებდა მაქსიმუმების, მინიმებისა და ტანგენტების პოვნის შესაძლებლობას, განურჩევლად წილადისა და ირაციონალური მნიშვნელობებისა. ახლა ის გამოიყენება მრავალი სხვა გამოთვლებისთვისაც.
გარდა ამისა, წრის ტანგენსი დაკავშირებულია ტანგენტის გეომეტრიულ მნიშვნელობასთან. სწორედ აქედან მოდის მისი სახელი. ლათინურიდან თარგმნილი tangens ნიშნავს "ტანგენტს". ამრიგად, ეს კონცეფცია დაკავშირებულია არა მხოლოდ გეომეტრიასთან და დიფერენციალურ გამოთვლებთან, არამედ ტრიგონომეტრიასთან.
ორი წრე
ყოველთვის არ მოქმედებს ტანგენსი მხოლოდ ერთ ფორმაზე. თუ შეიძლება დიდი რაოდენობის სწორი ხაზების დახატვა ერთ წრეზე, მაშინ რატომ არა პირიქით? შეუძლია. მაგრამ ამოცანა ამ შემთხვევაში სერიოზულად რთულია, რადგან ორ წრეზე ტანგენსი შეიძლება არ გაიაროს არც ერთ წერტილში და ყველა ამ ფიგურის ფარდობითი პოზიცია შეიძლება იყოს ძალიან
სხვადასხვა.
ტიპები და ჯიშები
როცა საქმე ეხება ორ წრეს და ერთ ან მეტ წრფეს, მაშინაც კი, თუ ცნობილია, რომ ეს ტანგენტებია, მაშინვე არ გახდება ნათელი, თუ როგორ მდებარეობს ყველა ეს ფიგურა ერთმანეთთან მიმართებაში. აქედან გამომდინარე, არსებობს რამდენიმე ჯიში. ასე რომ, წრეებს შეიძლება ჰქონდეთ ერთი ან ორი საერთო წერტილი ან საერთოდ არ ჰქონდეთ. პირველ შემთხვევაში გადაიკვეთებიან, მეორეში კი შეეხებიან. და აქ არის ორი ჯიში. თუ ერთი წრე, როგორც იყო, მეორეშია ჩასმული, მაშინ შეხებას ეწოდება შიდა, თუ არა, მაშინ გარე. ურთიერთგაგებაფიგურების განლაგება შესაძლებელია არა მხოლოდ ნახაზის მიხედვით, არამედ მათი რადიუსების ჯამისა და მათ ცენტრებს შორის მანძილის შესახებ. თუ ეს ორი რაოდენობა ტოლია, მაშინ წრეები ეხება. თუ პირველი უფრო დიდია, ისინი იკვეთებიან, ხოლო თუ უფრო მცირეა, მაშინ საერთო წერტილები არ აქვთ.
იგივე სწორი ხაზებით. ნებისმიერი ორი წრისთვის, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წერტილები, შეგიძლიათ
ააგეთ ოთხი ტანგენსი. ორი მათგანი გადაიკვეთება ფიგურებს შორის, მათ შიდა ეწოდება. რამდენიმე სხვა გარეა.
თუ ვსაუბრობთ წრეებზე, რომლებსაც აქვთ ერთი საერთო წერტილი, მაშინ ამოცანა მნიშვნელოვნად გამარტივებულია. ფაქტია, რომ ნებისმიერი ორმხრივი მოწყობისთვის ამ შემთხვევაში მათ მხოლოდ ერთი ტანგენტი ექნებათ. და ის გაივლის მათი გადაკვეთის წერტილს. ასე რომ, სირთულის აგება არ გამოიწვევს.
თუ ფიგურებს აქვთ ორი გადაკვეთის წერტილი, მაშინ მათთვის სწორი ხაზი შეიძლება აშენდეს წრეზე, როგორც ერთზე, ასევე მეორეზე, მაგრამ მხოლოდ გარედან. ამ პრობლემის გადაწყვეტა მსგავსია, რაც ქვემოთ იქნება განხილული.
პრობლემის გადაჭრა
ორი წრის შიდა და გარეგანი ტანგენტების აგება არც ისე ადვილია, თუმცა ამ პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია. ფაქტია, რომ ამისთვის გამოიყენება დამხმარე ფიგურა, ასე რომ, თავად მოიფიქრეთ ეს მეთოდი
საკმაოდ პრობლემური. ასე რომ, მოცემულია ორი წრე სხვადასხვა რადიუსით და ცენტრებით O1 და O2. მათთვის თქვენ უნდა ააგოთ ორი წყვილი ტანგენტები.
პირველ რიგში, უფრო დიდის ცენტრთან ახლოსწრეები უნდა აშენდეს დამხმარე. ამ შემთხვევაში, განსხვავება ორი საწყისი ფიგურის რადიუსებს შორის უნდა დადგინდეს კომპასზე. დამხმარე წრის ტანგენტები აგებულია პატარა წრის ცენტრიდან. ამის შემდეგ, O1-დან და O2-დან, პერპენდიკულარები იხაზება ამ ხაზებზე, სანამ ისინი არ გადაიკვეთება თავდაპირველ ფიგურებთან. როგორც ტანგენსის ძირითადი თვისებიდან ჩანს, ორივე წრეზე სასურველი წერტილები გვხვდება. პრობლემა მოგვარებულია, ყოველ შემთხვევაში მისი პირველი ნაწილი.
შიდა ტანგენტების ასაგებად მოგიწევთ პრაქტიკულად ამოხსნათ
მსგავსი დავალება. ისევ დამხმარე ფიგურაა საჭირო, მაგრამ ამჯერად მისი რადიუსი ორიგინალის ჯამის ტოლი იქნება. მასზე ტანგენტები აგებულია ერთ-ერთი მოცემული წრის ცენტრიდან. ამოხსნის შემდგომი კურსი შეიძლება გავიგოთ წინა მაგალითიდან.
წრის ტანგენტი ან თუნდაც ორი ან მეტი არც ისე რთული ამოცანაა. რა თქმა უნდა, მათემატიკოსებმა დიდი ხანია შეწყვიტეს ასეთი პრობლემების ხელით გადაჭრა და გამოთვლებს ენდობიან სპეციალურ პროგრამებს. მაგრამ არ იფიქროთ, რომ ახლა არ არის აუცილებელი ამის გაკეთება საკუთარ თავს, რადგან კომპიუტერისთვის დავალების სწორად ჩამოყალიბებისთვის, ბევრი რამის გაკეთება და გაგება გჭირდებათ. სამწუხაროდ, არსებობს შიში, რომ ცოდნის კონტროლის სატესტო ფორმაზე საბოლოო გადასვლის შემდეგ, კონსტრუქციული ამოცანები უფრო და უფრო მეტ სირთულეს შეუქმნის მოსწავლეებს.
რაც შეეხება საერთო ტანგენტების პოვნას მეტი წრეებისთვის, ეს ყოველთვის არ არის შესაძლებელი, თუნდაც ისინი ერთ სიბრტყეში იყვნენ. მაგრამ ზოგიერთ შემთხვევაში შეგიძლიათ იპოვოთ ასეთი სწორი ხაზი.
ცხოვრების მაგალითები
2 წრის საერთო ტანგენსი ხშირად გვხვდება პრაქტიკაში, თუმცა ის ყოველთვის არ არის შესამჩნევი. კონვეიერები, ბლოკის სისტემები, ღვედის გადამცემი ღვედები, ძაფის დაჭიმულობა სამკერვალო მანქანაში და თუნდაც მხოლოდ ველოსიპედის ჯაჭვი - ეს ყველაფერი ცხოვრებისეული მაგალითებია. ასე რომ, არ იფიქროთ, რომ გეომეტრიული პრობლემები მხოლოდ თეორიაში რჩება: ინჟინერიაში, ფიზიკაში, მშენებლობაში და ბევრ სხვა სფეროში ისინი პრაქტიკულ გამოყენებას პოულობენ.
