ბევრი, ვინც "ალბათობის თეორიის" კონცეფციის წინაშე დგას, შეშინებულია და ფიქრობს, რომ ეს რაღაც აბსოლუტური, ძალიან რთულია. მაგრამ ეს ყველაფერი ნამდვილად არ არის ტრაგიკული. დღეს განვიხილავთ ალბათობის თეორიის ძირითად კონცეფციას, ვისწავლით თუ როგორ უნდა გადაჭრას პრობლემები კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით.
მეცნიერება
რას სწავლობს მათემატიკის ისეთ ფილიალი, როგორიცაა "ალბათობის თეორია"? ის აღნიშნავს შემთხვევითი მოვლენებისა და რაოდენობების ნიმუშებს. პირველად მეცნიერები ამ საკითხით მეთვრამეტე საუკუნეში დაინტერესდნენ, როცა აზარტულ თამაშებს სწავლობდნენ. ალბათობის თეორიის ძირითადი კონცეფცია არის მოვლენა. ეს არის ნებისმიერი ფაქტი, რომელიც დგინდება გამოცდილებით ან დაკვირვებით. მაგრამ რა არის გამოცდილება? ალბათობის თეორიის კიდევ ერთი ძირითადი კონცეფცია. ეს ნიშნავს, რომ გარემოებათა ეს შემადგენლობა არ შეიქმნა შემთხვევით, არამედ კონკრეტული მიზნით. რაც შეეხება დაკვირვებას, აქ თავად მკვლევარი არ მონაწილეობს ექსპერიმენტში, უბრალოდ არის ამ მოვლენების მოწმე, ის არანაირად არ ახდენს გავლენას იმაზე, რაც ხდება.
მოვლენები
ჩვენ გავიგეთ, რომ ალბათობის თეორიის ძირითადი კონცეფცია არის მოვლენა, მაგრამ არ გავითვალისწინეთ კლასიფიკაცია. ყველა მათგანი იყოფა შემდეგ კატეგორიებად:
- სანდო.
- შეუძლებელი.
- შემთხვევითი.
არა აქვს მნიშვნელობათუ რა სახის მოვლენები შეინიშნება ან იქმნება გამოცდილების მსვლელობისას, ისინი ყველა ექვემდებარება ამ კლასიფიკაციას. გთავაზობთ თითოეულ სახეობას ცალ-ცალკე გაეცნოთ.
გარკვეული მოვლენა
ეს არის გარემოება, რომლის წინაშეც გატარდა ზომების აუცილებელი ნაკრები. არსის უკეთ გასაგებად სჯობს რამდენიმე მაგალითი მოვიყვანოთ. ამ კანონს ექვემდებარება ფიზიკა, ქიმია, ეკონომიკა და უმაღლესი მათემატიკა. ალბათობის თეორია მოიცავს ისეთ მნიშვნელოვან კონცეფციას, როგორიცაა გარკვეული მოვლენა. აი რამდენიმე მაგალითი:
- ჩვენ ვმუშაობთ და ვიღებთ ანაზღაურებას ხელფასის სახით.
- ჩვენ კარგად ჩავაბარეთ გამოცდები, ჩავაბარე კონკურსი, ამისთვის ვიღებთ ჯილდოს საგანმანათლებლო დაწესებულებაში მიღების სახით.
- ბანკში ჩავდეთ ფული, საჭიროების შემთხვევაში დავიბრუნებთ.
ასეთი მოვლენები სანდოა. თუ ყველა საჭირო პირობა შევასრულეთ, მაშინ აუცილებლად მივიღებთ მოსალოდნელ შედეგს.
შეუძლებელი მოვლენები
ახლა ჩვენ განვიხილავთ ალბათობის თეორიის ელემენტებს. ჩვენ ვთავაზობთ გადავიდეთ შემდეგი ტიპის მოვლენის ახსნაზე, კერძოდ, შეუძლებელი. პირველ რიგში, მოდით დავაკონკრეტოთ ყველაზე მნიშვნელოვანი წესი - შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია.
ამ ფორმულირებიდან გადახვევა არ შეიძლება პრობლემების გადაჭრისას. გასაგებად, აქ არის ასეთი მოვლენების მაგალითები:
- წყალი გაიყინა პლუს ათზე (ეს შეუძლებელია).
- ელექტროენერგიის ნაკლებობა არანაირ გავლენას არ ახდენს წარმოებაზე (ისევე შეუძლებელი, როგორც წინა მაგალითში).
სხვა მაგალითებიარ ღირს ციტირება, რადგან ზემოთ აღწერილი ძალიან ნათლად ასახავს ამ კატეგორიის არსს. შეუძლებელი მოვლენა არასოდეს მოხდება გამოცდილების დროს არავითარ შემთხვევაში.
შემთხვევითი მოვლენები
ალბათობის თეორიის ელემენტების შესწავლისას განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს ამ კონკრეტულ ტიპის მოვლენას. სწორედ ამას სწავლობს მეცნიერება. გამოცდილების შედეგად შეიძლება რაღაც მოხდეს ან არ მოხდეს. გარდა ამისა, ტესტი შეიძლება განმეორდეს შეუზღუდავი რაოდენობის ჯერ. ნათელი მაგალითებია:
- მონეტის გადაყრა არის გამოცდილება, ან გამოცდა, სათაური არის მოვლენა.
- ჩანთიდან ბურთის ბრმად გამოტანა გამოცდაა, წითელი ბურთის დაჭერა მოვლენაა და ასე შემდეგ.
შეიძლება იყოს შეუზღუდავი რაოდენობის ასეთი მაგალითები, მაგრამ, ზოგადად, არსი გასაგები უნდა იყოს. მოვლენების შესახებ მიღებული ცოდნის შეჯამებისა და სისტემატიზაციის მიზნით მოცემულია ცხრილი. ალბათობის თეორია სწავლობს ყველა წარმოდგენილიდან მხოლოდ ბოლო ტიპს.
| სათაური | განმარტება | მაგალითი |
| სანდო | მოვლენები, რომლებიც ხდება 100% გარანტიით გარკვეულ პირობებში. | მიღება საგანმანათლებლო დაწესებულებაში კარგი მისაღები გამოცდით. |
| შეუძლებელი | მოვლენები, რომლებიც არასოდეს მოხდება არავითარ შემთხვევაში. | თოვს პლუს ოცდაათი გრადუსი ცელსიუსის ტემპერატურაზე. |
| შემთხვევითი | მოვლენა, რომელიც შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს ექსპერიმენტის/ტესტის დროს. | დაარტყი ან გამოტოვო კალათბურთის რგოლში ჩაგდებისას. |
კანონები
ალბათობის თეორია არის მეცნიერება, რომელიც სწავლობს მოვლენის მოხდენის შესაძლებლობას. სხვების მსგავსად, მას აქვს გარკვეული წესები. არსებობს ალბათობის თეორიის შემდეგი კანონები:
- შემთხვევითი ცვლადების მიმდევრობების კონვერგენცია.
- დიდი რიცხვების კანონი.
კომპლექსის შესაძლებლობის გაანგარიშებისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ მარტივი მოვლენების კომპლექსი, რათა მიიღოთ შედეგი უფრო მარტივი და სწრაფი გზით. გაითვალისწინეთ, რომ ალბათობის თეორიის კანონები ადვილად მტკიცდება ზოგიერთი თეორემის დახმარებით. დავიწყოთ პირველი კანონით.
შემთხვევითი ცვლადების თანმიმდევრობების კონვერგენცია
გაითვალისწინეთ, რომ არსებობს რამდენიმე სახის კონვერგენცია:
- შემთხვევითი ცვლადების თანმიმდევრობა იყრის თავს ალბათობით.
- თითქმის შეუძლებელია.
- RMS კონვერგენცია.
- კონვერგენცია განაწილებაში.
ასე რომ, ფრენისას ძალიან ძნელია ბოლომდე მისვლა. აქ მოცემულია რამდენიმე განმარტება, რომელიც დაგეხმარებათ ამ თემის გაგებაში. დავიწყოთ პირველი ნახვით. თანმიმდევრობას უწოდებენ კონვერგენტს ალბათობით, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა: n მიდრეკილია უსასრულობისკენ, რიცხვი, რომლისკენაც მიისწრაფვის მიმდევრობა არის ნულზე მეტი და ახლოს არის ერთთან.
გადავდივართ შემდეგ ხედზე, თითქმის რა თქმა უნდა. ამას ამბობენთანმიმდევრობა თითქმის აუცილებლად გადაიყრება შემთხვევით ცვლადთან, სადაც n მიდრეკილია უსასრულობისკენ და P მიდრეკილია ერთთან ახლოს მნიშვნელობისკენ.
შემდეგი ტიპი არის ფესვის საშუალო კვადრატული კონვერგენცია. SC-კონვერგენციის გამოყენებისას ვექტორული შემთხვევითი პროცესების შესწავლა მცირდება მათი კოორდინატთა შემთხვევითი პროცესების შესწავლაზე.
დარჩენილია ბოლო ტიპი, მოდით მოკლედ გადავხედოთ მას, რათა პირდაპირ გადავიდეთ პრობლემების გადაჭრაზე. განაწილების კონვერგენციას სხვა სახელი აქვს - "სუსტი", ჩვენ ავხსნით რატომ. სუსტი კონვერგენცია არის განაწილების ფუნქციების კონვერგენცია ლიმიტის განაწილების ფუნქციის უწყვეტობის ყველა წერტილში.
აუცილებლად შეასრულეთ დაპირება: სუსტი კონვერგენცია განსხვავდება ყოველივე ზემოთქმულისგან იმით, რომ შემთხვევითი ცვლადი არ არის განსაზღვრული ალბათობის სივრცეში. ეს შესაძლებელია, რადგან პირობა იქმნება ექსკლუზიურად განაწილების ფუნქციების გამოყენებით.
დიდი რიცხვების კანონი
შესანიშნავი დამხმარე ამ კანონის დასამტკიცებლად იქნება ალბათობის თეორიის თეორემები, როგორიცაა:
- ჩებიშევის უტოლობა.
- ჩებიშევის თეორემა.
- განზოგადებული ჩებიშევის თეორემა.
- მარკოვის თეორემა.
თუ განვიხილავთ ყველა ამ თეორემას, მაშინ ეს კითხვა შეიძლება გაგრძელდეს რამდენიმე ათეულ ფურცელზე. ჩვენი მთავარი ამოცანაა ალბათობის თეორიის პრაქტიკაში გამოყენება. გეპატიჟებით ამის გაკეთებას ახლავე. ოღონდ მანამდე ალბათობის თეორიის აქსიომები განვიხილოთ, ისინი იქნებიან პრობლემების გადაჭრის მთავარი ასისტენტები.
აქსიომები
პირველს უკვე შევხვდით, როცა შეუძლებელ მოვლენაზე ვისაუბრეთ. გავიხსენოთ: შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია. ჩვენ მოვიყვანეთ ძალიან ნათელი და დასამახსოვრებელი მაგალითი: თოვდა ჰაერის ოცდაათი გრადუსი ცელსიუსის ტემპერატურაზე.
მეორე ასე ჟღერს: სანდო მოვლენა ხდება ერთის ტოლი ალბათობით. ახლა ვაჩვენოთ როგორ დავწეროთ ის მათემატიკური ენის გამოყენებით: P(B)=1.
მესამე: შემთხვევითი მოვლენა შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს, მაგრამ შესაძლებლობა ყოველთვის მერყეობს ნულიდან ერთამდე. რაც უფრო ახლოს არის მნიშვნელობა ერთთან, მით მეტია შანსი; თუ მნიშვნელობა უახლოვდება ნულს, ალბათობა ძალიან დაბალია. ჩავწეროთ ეს მათემატიკური ენაზე: 0<Р(С)<1.
მოდით განვიხილოთ ბოლო, მეოთხე აქსიომა, რომელიც ასე ჟღერს: ორი მოვლენის ჯამის ალბათობა მათი ალბათობების ჯამის ტოლია. ჩვენ ვწერთ მათემატიკური ენაზე: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
ალბათობის თეორიის აქსიომები უმარტივესი წესებია, რომლებიც ადვილად დასამახსოვრებელია. შევეცადოთ გადავჭრათ რამდენიმე პრობლემა უკვე მიღებული ცოდნის საფუძველზე.
ლატარიის ბილეთი
პირველ რიგში, განიხილეთ უმარტივესი მაგალითი - ლატარია. წარმოიდგინეთ, რომ იყიდეთ ერთი ლატარიის ბილეთი წარმატებისთვის. რა არის იმის ალბათობა, რომ მინიმუმ ოცი მანეთი მოიგო? საერთო ჯამში, ტირაჟში მონაწილეობს ათასი ბილეთი, რომელთაგან ერთს აქვს პრიზი ხუთასი რუბლიდან, ათი ასი რუბლიდან, ორმოცდაათი ოცი რუბლიდან და ასი ხუთიდან. ალბათობის თეორიის პრობლემები ემყარება შესაძლებლობის პოვნასწარმატებები. ახლა ერთად გავაანალიზებთ ზემოთ წარმოდგენილი ამოცანის ამოხსნას.
თუ A ასოთი აღვნიშნავთ მოგებას ხუთასი მანეთი, მაშინ A-ს მიღების ალბათობა იქნება 0,001 როგორ მივიღეთ იგი? თქვენ უბრალოდ უნდა გაყოთ "იღბლიანი" ბილეთების რაოდენობა მათ საერთო რაოდენობაზე (ამ შემთხვევაში: 1/1000).
B არის ასი რუბლის მოგება, ალბათობა იქნება 0.01. ახლა ჩვენ ვიმოქმედეთ იგივე პრინციპით, როგორც წინა მოქმედებაში (10/1000)
C - მოგება უდრის ოცი რუბლს. იპოვეთ ალბათობა, ის უდრის 0.05.
დანარჩენი ბილეთები ჩვენთვის არ გვაინტერესებს, რადგან მათი საპრიზო ფონდი ნაკლებია, ვიდრე მითითებულია პირობით. გამოვიყენოთ მეოთხე აქსიომა: მინიმუმ ოცი რუბლის მოგების ალბათობა არის P(A)+P(B)+P(C). ასო P აღნიშნავს ამ მოვლენის დადგომის ალბათობას, ისინი უკვე ვიპოვეთ წინა ნაბიჯებში. რჩება მხოლოდ საჭირო მონაცემების დამატება, პასუხში ვიღებთ 0, 061. ეს რიცხვი იქნება პასუხი დავალების კითხვაზე.
ბარათის დაფა
ალბათობის თეორიის პრობლემები შეიძლება იყოს უფრო რთული, მაგალითად, მიიღეთ შემდეგი დავალება. თქვენს წინაშე არის ოცდათექვსმეტი კარტის გემბანი. თქვენი ამოცანაა ზედიზედ ორი კარტის დახატვა წყობის შერევის გარეშე, პირველი და მეორე კარტი უნდა იყოს ტუზი, კოსტიუმს მნიშვნელობა არ აქვს.
პირველ რიგში, ვიპოვოთ ალბათობა იმისა, რომ პირველი კარტი იქნება ტუზი, ამისთვის ოთხს ვყოფთ ოცდათექვსმეტზე. განზე გადადეს. ჩვენ ამოვიღებთ მეორე კარტს, ეს იქნება ტუზი სამი ოცდამეხუთედის ალბათობით. მეორე მოვლენის ალბათობა დამოკიდებულია იმაზე, თუ რომელი კარტი დავხატეთ პირველად, გვაინტერესებსტუზი იყო თუ არა. აქედან გამომდინარეობს, რომ მოვლენა B დამოკიდებულია A მოვლენაზე.
შემდეგი ნაბიჯი არის ერთდროული განხორციელების ალბათობის პოვნა, ანუ ვამრავლებთ A და B. მათი ნამრავლი გვხვდება შემდეგნაირად: ერთი მოვლენის ალბათობა მრავლდება მეორის პირობით ალბათობაზე, რომელსაც ვიანგარიშებთ., იმ ვარაუდით, რომ მოხდა პირველი მოვლენა, ანუ პირველი კარტით ჩვენ ასი გავუშვით.
იმისთვის, რომ ყველაფერი ნათელი გახდეს, მოდით მივცეთ აღნიშვნა ისეთ ელემენტს, როგორიცაა მოვლენის პირობითი ალბათობა. იგი გამოითვლება იმ ვარაუდით, რომ მოხდა A მოვლენა. გამოითვლება შემდეგნაირად: P(B/A).
გააგრძელეთ ჩვენი პრობლემის გადაჭრა: P(AB)=P(A)P(B/A) ან P (AB)=P(B)P(A/B). ალბათობა არის (4/36)((3/35)/(4/36). გამოთვალეთ მეასედებზე დამრგვალებით. გვაქვს: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. ალბათობა იმისა, რომ დავხატოთ ორი ტუზი ზედიზედ არის ცხრა ასეული მნიშვნელობა ძალიან მცირეა, აქედან გამომდინარეობს, რომ მოვლენის დადგომის ალბათობა უკიდურესად მცირეა.
დავიწყებული ნომერი
ჩვენ გთავაზობთ გავაანალიზოთ კიდევ რამდენიმე ვარიანტი ამოცანებისთვის, რომლებიც შესწავლილია ალბათობის თეორიით. თქვენ უკვე ნახეთ ამ სტატიაში ზოგიერთი მათგანის გადაჭრის მაგალითები, შევეცადოთ გადავჭრათ შემდეგი პრობლემა: ბიჭს დაავიწყდა მეგობრის ტელეფონის ნომრის ბოლო ციფრი, მაგრამ რადგან ზარი ძალიან მნიშვნელოვანი იყო, მან დაიწყო ყველაფრის რიგრიგობით აკრეფა. ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ ალბათობა იმისა, რომ ის დარეკავს არაუმეტეს სამჯერ. პრობლემის გადაწყვეტა ყველაზე მარტივია, თუ ცნობილია ალბათობის თეორიის წესები, კანონები და აქსიომები.
ყურებამდეგამოსავალი, შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ იგი. ჩვენ ვიცით, რომ ბოლო ციფრი შეიძლება იყოს ნულიდან ცხრამდე, ანუ სულ არის ათი მნიშვნელობა. სწორის მიღების ალბათობა არის 1/10.
შემდეგ, უნდა განვიხილოთ მოვლენის წარმოშობის ვარიანტები, დავუშვათ, რომ ბიჭმა სწორად გამოიცნო და მაშინვე გაიტანა სწორი, ასეთი მოვლენის ალბათობა არის 1/10. მეორე ვარიანტი: პირველი ზარი არის გამოტოვება, ხოლო მეორე არის მიზანში. ჩვენ ვიანგარიშებთ ასეთი მოვლენის ალბათობას: გავამრავლოთ 9/10 1/9-ზე, შედეგად მივიღებთ ასევე 1/10-ს. მესამე ვარიანტი: პირველი და მეორე ზარი არასწორ მისამართზე აღმოჩნდა, მხოლოდ მესამედან მივიდა ბიჭი სადაც სურდა. ჩვენ ვიანგარიშებთ ასეთი მოვლენის ალბათობას: ვამრავლებთ 9/10-ს 8/9-ზე და 1/8-ზე, შედეგად მივიღებთ 1/10-ს. პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, ჩვენ არ გვაინტერესებს სხვა ვარიანტები, ამიტომ ჩვენთვის რჩება შედეგების შეკრება, შედეგად გვაქვს 3/10. პასუხი: ალბათობა იმისა, რომ ბიჭი დაურეკავს არაუმეტეს სამჯერ არის 0,3.
ბარათები ნომრებით
თქვენს წინაშე ცხრა კარტია, რომელთაგან თითოეულზე წერია რიცხვი ერთიდან ცხრამდე, რიცხვები არ მეორდება. ისინი მოათავსეს ყუთში და საფუძვლიანად აურიეს. თქვენ უნდა გამოთვალოთ ალბათობა, რომ
- გამოვა ლუწი რიცხვი;
- ორნიშნა.
გადაწყვეტამდე განვსაზღვროთ, რომ m არის წარმატებული შემთხვევების რაოდენობა, ხოლო n არის ვარიანტების საერთო რაოდენობა. იპოვეთ ალბათობა, რომ რიცხვი ლუწია. არ იქნება რთული გამოთვლა, რომ არის ოთხი ლუწი რიცხვი, ეს იქნება ჩვენი m, სულ ცხრა ვარიანტია, ანუ m=9. მერე ალბათობაუდრის 0, 44, ან 4/9.
განვიხილოთ მეორე შემთხვევა: ვარიანტების რაოდენობა არის ცხრა, და საერთოდ არ შეიძლება იყოს წარმატებული შედეგი, ანუ m უდრის ნულს. ალბათობა იმისა, რომ გათამაშებული ბარათი შეიცავდეს ორნიშნა რიცხვს, ასევე ნულის ტოლია.
