სავარაუდოა, ბევრმა იფიქროს იმაზე, შესაძლებელია თუ არა მეტ-ნაკლებად შემთხვევითი მოვლენების გამოთვლა. მარტივი სიტყვებით, რეალურია თუ არა იმის ცოდნა, თუ რომელი მხარე გამოვა კამათელში. სწორედ ეს კითხვა დაუსვეს ორმა დიდმა მეცნიერმა, რომლებმაც საფუძველი ჩაუყარეს ისეთ მეცნიერებას, როგორიცაა ალბათობის თეორია, რომელშიც მოვლენის ალბათობა საკმაოდ ფართოდ არის შესწავლილი.
წარმოშობა
თუ ცდილობთ განსაზღვროთ ისეთი კონცეფცია, როგორიცაა ალბათობის თეორია, მიიღებთ შემდეგს: ეს არის მათემატიკის ერთ-ერთი დარგი, რომელიც სწავლობს შემთხვევითი მოვლენების მუდმივობას. რა თქმა უნდა, ეს კონცეფცია მთელ არსს ნამდვილად არ ამჟღავნებს, ამიტომ მისი უფრო დეტალურად განხილვა აუცილებელია.
მინდა დავიწყო თეორიის შემქმნელებით. როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ორი მათგანი იყო, ესენი არიან პიერ ფერმა და ბლეზ პასკალი. სწორედ ისინი იყვნენ პირველთა შორის, ვინც ცდილობდა გამოეთვალათ მოვლენის შედეგი ფორმულებისა და მათემატიკური გამოთვლების გამოყენებით. მთლიანობაში, ამ მეცნიერების საფუძვლები ჯერ კიდევ გაჩნდაᲨუა საუკუნეები. იმ დროს, სხვადასხვა მოაზროვნეები და მეცნიერები ცდილობდნენ აზარტული თამაშების გაანალიზებას, როგორიცაა რულეტკა, კრაპები და ა.შ. საფუძველი ჩაეყარა მეჩვიდმეტე საუკუნეში ზემოხსენებულმა მეცნიერებმა.
თავიდან მათი ნამუშევარი არ შეიძლება მიეწეროს ამ სფეროში დიდ მიღწევებს, რადგან ყველაფერი, რაც მათ გააკეთეს, უბრალოდ ემპირიული ფაქტები იყო, ექსპერიმენტები კი ვიზუალურად, ფორმულების გამოყენების გარეშე იყო დაყენებული. დროთა განმავლობაში დიდი შედეგების მიღწევა აღმოჩნდა, რაც კამათლის სროლაზე დაკვირვების შედეგად გამოჩნდა. ეს იყო ეს ინსტრუმენტი, რომელიც დაეხმარა პირველი გასაგები ფორმულების გამომუშავებას.
ასოციაციები
შეუძლებელია არ ვახსენო ისეთი ადამიანი, როგორიც არის კრისტიან ჰაიგენსი, თემის შესწავლის პროცესში, რომელსაც ეწოდება "ალბათობის თეორია" (მოვლენის ალბათობა სწორედ ამ მეცნიერებაშია გაშუქებული). ეს ადამიანი ძალიან საინტერესოა. ის, ისევე როგორც ზემოთ წარმოდგენილი მეცნიერები, ცდილობდა გამოეყვანა შემთხვევითი მოვლენების კანონზომიერება მათემატიკური ფორმულების სახით. აღსანიშნავია, რომ მას ეს არ გაუკეთებია პასკალთან და ფერმასთან ერთად, ანუ მისი ყველა ნამუშევარი არანაირად არ იკვეთება ამ გონებასთან. ჰაიგენსმა გამოიტანა ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებები.
საინტერესო ფაქტია, რომ მისი ნამუშევარი პიონერების მუშაობის შედეგებამდე გაცილებით ადრე გამოვიდა, უფრო სწორად, ოცი წლით ადრე. დანიშნულ ცნებებს შორის ყველაზე ცნობილია:
- ალბათობის ცნება, როგორც შანსის სიდიდე;
- მოლოდინი დისკრეტულისთვისშემთხვევები;
- ალბათობათა გამრავლებისა და შეკრების თეორემები.
ასევე შეუძლებელია არ გავიხსენოთ იაკობ ბერნულის, რომელმაც ასევე მნიშვნელოვანი წვლილი შეიტანა პრობლემის შესწავლაში. საკუთარი ტესტების ჩატარებით, ვინმესგან დამოუკიდებლად, მან მოახერხა დიდი რიცხვების კანონის მტკიცებულების წარდგენა. თავის მხრივ, მეცნიერებმა პუასონმა და ლაპლასმა, რომლებიც მუშაობდნენ მეცხრამეტე საუკუნის დასაწყისში, შეძლეს ორიგინალური თეორემების დამტკიცება. სწორედ ამ მომენტიდან დაიწყო ალბათობის თეორიის გამოყენება დაკვირვების მსვლელობისას შეცდომების გასაანალიზებლად. რუსმა მეცნიერებმა, უფრო სწორად, მარკოვმა, ჩებიშევმა და დიაპუნოვმა ვერც ამ მეცნიერებას გვერდი აუარეს. დიდი გენიოსების მიერ შესრულებული სამუშაოს საფუძველზე მათ ეს საგანი მათემატიკის დარგად დააფიქსირეს. ეს ფიგურები მუშაობდნენ უკვე მეცხრამეტე საუკუნის ბოლოს და მათი წვლილის წყალობით, ისეთი ფენომენები, როგორიცაა:
- დიდი რიცხვების კანონი;
- მარკოვის ჯაჭვის თეორია;
- ცენტრალური ლიმიტის თეორემა.
ასე რომ, მეცნიერების დაბადების ისტორიით და ძირითადი ადამიანებით, რომლებმაც მასზე გავლენა მოახდინეს, ყველაფერი მეტ-ნაკლებად ნათელია. ახლა დროა ყველა ფაქტის დაკონკრეტება.
ძირითადი ცნებები
კანონებსა და თეორემებზე შეხებამდე ღირს ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებების შესწავლა. ღონისძიება მასში წამყვან როლს იკავებს. ეს თემა საკმაოდ მოცულობითია, მაგრამ ამის გარეშე სხვა ყველაფრის გაგება შეუძლებელია.
მოვლენა ალბათობის თეორიაში არის ექსპერიმენტის შედეგების ნებისმიერი ნაკრები. ამ ფენომენის ამდენი კონცეფცია არ არსებობს. ასე რომ, მეცნიერი ლოტმანი,მუშაობდა ამ სფეროში, თქვა, რომ ამ შემთხვევაში ჩვენ ვსაუბრობთ რაღაცაზე, რაც "მოხდა, თუმცა ეს შეიძლება არ მომხდარიყო".
შემთხვევითი მოვლენები (ალბათობის თეორია მათ განსაკუთრებულ ყურადღებას აქცევს) არის ცნება, რომელიც გულისხმობს აბსოლუტურად ნებისმიერ ფენომენს, რომელსაც აქვს წარმოშობის უნარი. ან, პირიქით, ეს სცენარი შეიძლება არ მოხდეს, როცა ბევრი პირობა დაკმაყოფილებულია. ასევე ღირს იმის ცოდნა, რომ ეს არის შემთხვევითი მოვლენები, რომლებიც ასახავს ფენომენების მთელ მოცულობას, რაც მოხდა. ალბათობის თეორია მიუთითებს, რომ ყველა პირობა შეიძლება მუდმივად განმეორდეს. სწორედ მათ ქცევას ეწოდა "გამოცდილება" ან "ტესტი".
გარკვეული მოვლენა არის ის, რომელიც 100% მოხდება მოცემულ ტესტში. შესაბამისად, შეუძლებელი მოვლენა არის ის, რაც არ მოხდება.
მოქმედების წყვილის კომბინაცია (პირობითად შემთხვევა A და შემთხვევა B) არის ფენომენი, რომელიც ხდება ერთდროულად. ისინი მითითებულია როგორც AB.
A და B მოვლენათა წყვილთა ჯამი არის C, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ მათგან ერთი მაინც მოხდა (A ან B), მაშინ მიიღება C. აღწერილი ფენომენის ფორმულა იწერება შემდეგნაირად.: C=A + B.
განსხვავებული მოვლენები ალბათობის თეორიაში გულისხმობს, რომ ორი შემთხვევა ურთიერთგამომრიცხავია. ისინი არასოდეს შეიძლება მოხდეს ერთდროულად. ერთობლივი მოვლენები ალბათობის თეორიაში მათი ანტიპოდია. ეს ნიშნავს, რომ თუ A მოხდა, მაშინ ის არ ერევა B-ში.
საპირისპირო მოვლენები (ალბათობის თეორია მათ დეტალურად ეხება) ადვილად გასაგებია. უმჯობესია მათთან შედარებით გაუმკლავდეთ. ისინი თითქმის იგივეა, რაცდა შეუთავსებელი მოვლენები ალბათობის თეორიაში. მაგრამ მათი განსხვავება მდგომარეობს იმაში, რომ მრავალი ფენომენიდან ერთი მაინც უნდა მოხდეს.
ექვივალენტური მოვლენები არის ის მოქმედებები, რომელთა შესაძლებლობაც ტოლია. უფრო გასაგებად რომ ვთქვათ, ჩვენ შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ მონეტის სროლა: მისი ერთი მხარის დაცემის ალბათობა მეორის დაცემის ალბათობაა.
სასიამოვნო მოვლენის დანახვა უფრო ადვილია მაგალითით. ვთქვათ არის ეპიზოდი B და ეპიზოდი A. პირველი არის კამათლის გაგორება კენტი რიცხვის გამოჩენით, ხოლო მეორე არის ხუთეულის გამოჩენა კვერზე. შემდეგ გამოდის, რომ A უპირატესობას ანიჭებს B.
დამოუკიდებელი მოვლენები ალბათობის თეორიაში პროეცირებულია მხოლოდ ორ ან მეტ შემთხვევაზე და გულისხმობს ნებისმიერი მოქმედების დამოუკიდებლობას მეორისგან. მაგალითად, A არის კუდების დაკარგვა მონეტის სროლისას, ხოლო B არის ჯეკის გამოტანა გემბანიდან. ისინი დამოუკიდებელი მოვლენებია ალბათობის თეორიაში. ამ მომენტით უფრო ნათელი გახდა.
დამოკიდებული მოვლენები ალბათობის თეორიაში ასევე დასაშვებია მხოლოდ მათი სიმრავლისთვის. ისინი გულისხმობენ ერთის მეორეზე დამოკიდებულებას, ანუ B ფენომენი შეიძლება მოხდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ A უკვე მოხდა ან, პირიქით, არ მომხდარა, როცა ეს არის B-ს მთავარი პირობა.
ერთი კომპონენტისგან შემდგარი შემთხვევითი ექსპერიმენტის შედეგი არის ელემენტარული მოვლენები. ალბათობის თეორია განმარტავს, რომ ეს არის ფენომენი, რომელიც მხოლოდ ერთხელ მოხდა.
ძირითადი ფორმულები
მაშ ასე, "მოვლენის", "ალბათობის თეორიის" ცნებები.მოცემული იყო ამ მეცნიერების ძირითადი ტერმინების განმარტებაც. ახლა დროა უშუალოდ გაეცნოთ მნიშვნელოვან ფორმულებს. ეს გამონათქვამები მათემატიკურად ადასტურებენ ყველა ძირითად ცნებას ისეთ რთულ საგანში, როგორიცაა ალბათობის თეორია. მოვლენის ალბათობა აქაც დიდ როლს თამაშობს.
სჯობს დავიწყოთ კომბინატორიკის ძირითადი ფორმულებით. და სანამ მათზე გადავიდოდეთ, ღირს განიხილოს რა არის ეს.
კომბინატორიკა, უპირველეს ყოვლისა, მათემატიკის ფილიალია, ის ეხება მთელი რიცხვების უზარმაზარი რაოდენობის შესწავლას, ასევე, როგორც თავად რიცხვების, ასევე მათი ელემენტების სხვადასხვა პერმუტაციებს, სხვადასხვა მონაცემებს და ა.შ., რაც იწვევს მთელი რიგი კომბინაციები. ალბათობის თეორიის გარდა, ეს დარგი მნიშვნელოვანია სტატისტიკისთვის, კომპიუტერული მეცნიერებისთვის და კრიპტოგრაფიისთვის.
ახლა შეგვიძლია გადავიდეთ თავად ფორმულების წარმოდგენაზე და მათ განსაზღვრაზე.
პირველი იქნება პერმუტაციების რაოდენობის გამოხატულება, ასე გამოიყურება:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
განტოლება მოქმედებს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ელემენტები განსხვავდებიან მხოლოდ თანმიმდევრობით.
ახლა განიხილება განთავსების ფორმულა, ასე გამოიყურება:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
ეს გამოთქმა ეხება არა მხოლოდ ელემენტის თანმიმდევრობას, არამედ მის შემადგენლობას.
კომბინატორიკის მესამე განტოლებას, და ის ასევე ბოლოა, ეწოდება კომბინაციების რაოდენობის ფორმულა:
C_n^m=n !: ((n -მ))!:მ !
კომბინაციები არის არჩევანი, რომელიც არ არის დალაგებული, შესაბამისად, და ეს წესი მათზე ვრცელდება.
იოლი აღმოჩნდა კომბინატორიკის ფორმულების გარკვევა, ახლა შეგვიძლია გადავიდეთ ალბათობების კლასიკურ განსაზღვრებაზე. ეს გამოთქმა ასე გამოიყურება:
P(A)=m: n.
ამ ფორმულაში m არის A მოვლენისთვის ხელსაყრელი პირობების რაოდენობა, ხოლო n არის აბსოლუტურად ყველა თანაბრად შესაძლო და ელემენტარული შედეგის რაოდენობა.
გამონათქვამების დიდი რაოდენობაა, სტატია ყველა მათგანს არ მოიცავს, მაგრამ მათგან ყველაზე მნიშვნელოვანს შევეხებით, როგორიცაა, მაგალითად, მოვლენათა ჯამის ალბათობა:
P(A + B)=P(A) + P(B) - ეს თეორემა არის მხოლოდ შეუთავსებელი მოვლენების დასამატებლად;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - და ეს არის მხოლოდ თავსებადიების დასამატებლად.
მოვლენის წარმოქმნის ალბათობა:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) - ეს თეორემა არის დამოუკიდებელი მოვლენებისთვის;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - და ეს არის ნარკომანები.
მოვლენის ფორმულა ამთავრებს სიას. ალბათობის თეორია გვეუბნება ბეიზის თეორემაზე, რომელიც ასე გამოიყურება:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
ამ ფორმულაში, H1, H2, …, H არის ჰიპოთეზების სრული ჯგუფი.
მოდით აქ შევჩერდეთ, შემდეგ განხილული იქნება პრაქტიკიდან კონკრეტული ამოცანების გადასაჭრელად ფორმულების გამოყენების მაგალითები.
მაგალითები
თუ ყურადღებით შეისწავლით რომელიმე განყოფილებასმათემატიკა, ეს არ ხდება სავარჯიშოებისა და ამონახსნების ნიმუშის გარეშე. ასეა ალბათობის თეორია: მოვლენები, მაგალითები აქ არის განუყოფელი კომპონენტი, რომელიც ადასტურებს მეცნიერულ გამოთვლებს.
ფორმულა პერმუტაციების რაოდენობისთვის
ვთქვათ, რომ კარტების დასტაში არის ოცდაათი კარტი, დაწყებული პირველი ნომინალური ღირებულებით. Შემდეგი შეკითხვა. რამდენი გზა არსებობს გემბანის დასაწყობად ისე, რომ ერთი და ორი ნომინალური ღირებულების ბარათები ერთმანეთის გვერდით არ იყოს?
ამოცანა დაისვა, ახლა გადავიდეთ მის ამოხსნაზე. ჯერ უნდა დაადგინოთ ოცდაათი ელემენტის პერმუტაციების რაოდენობა, ამისთვის ვიღებთ ზემოთ მოცემულ ფორმულას, გამოდის P_30=30!.
ამ წესიდან გამომდინარე, გავარკვევთ, რამდენი ვარიანტია გემბანის დასაკეცი სხვადასხვა გზით, მაგრამ მათ უნდა გამოვაკლოთ ის, რომლებშიც პირველი და მეორე კარტია შემდეგი. ამისათვის დავიწყოთ იმ ვარიანტით, როცა პირველი მეორეზე მაღლა დგას. გამოდის, რომ პირველ კარტს შეუძლია ოცდაცხრა ადგილი დაიკავოს - პირველიდან ოცდამეცხრემდე, ხოლო მეორე კარტი მეორიდან ოცდამეათემდე, გამოდის ოცდაცხრა ადგილი წყვილი კარტისთვის. თავის მხრივ, დანარჩენს შეუძლია დაიკავოს ოცდარვა ადგილი და ნებისმიერი თანმიმდევრობით. ანუ, ოცდარვა კარტის პერმუტაციისთვის არის ოცდარვა ვარიანტი P_28=28!
შედეგად, გამოდის, რომ თუ განვიხილავთ გამოსავალს, როდესაც პირველი კარტი მეორეზე მეტია, არის 29 ⋅ 28 დამატებითი შესაძლებლობა!=29!
იგივე მეთოდით, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ზედმეტი ვარიანტების რაოდენობა იმ შემთხვევისთვის, როდესაც პირველი ბარათი მეორეზეა.ისიც გამოდის 29 ⋅ 28!=29!
გამოდის, რომ არსებობს 2 ⋅ 29 დამატებითი ვარიანტი!, ხოლო გემბანის ასაგებად 30 აუცილებელი გზა არსებობს! - 2 ⋅ 29!. რჩება მხოლოდ დათვლა.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
ახლა თქვენ უნდა გაამრავლოთ ყველა რიცხვი ერთიდან ოცდაცხრამდე და ბოლოს გაამრავლოთ ყველაფერი 28-ზე. პასუხი არის 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
მაგალითის ამოხსნა. განთავსების ნომრის ფორმულა
ამ პრობლემაში, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, რამდენი გზა არსებობს თხუთმეტი ტომის ერთ თაროზე დასადებად, მაგრამ იმ პირობით, რომ სულ ოცდაათი ტომია.
ამ პრობლემას აქვს ოდნავ უფრო ადვილი გამოსავალი, ვიდრე წინა. უკვე ცნობილი ფორმულის გამოყენებით, აუცილებელია გამოვთვალოთ ლოკაციების საერთო რაოდენობა თხუთმეტი ოცდაათი ტომიდან.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 … ⋅ 16=202 843 17020 204
პასუხი, შესაბამისად, იქნება 202 843 204 931 727 360 000.
ახლა ცოტა უფრო რთულად ავიღოთ დავალება. თქვენ უნდა გაარკვიოთ რამდენი გზა გაქვთ ოცდაათი წიგნის ორ თაროზე მოწყობისთვის, იმ პირობით, რომ მხოლოდ თხუთმეტი ტომი შეიძლება იყოს ერთ თაროზე.
გადაწყვეტის დაწყებამდე მინდა განვმარტო, რომ ზოგიერთი პრობლემა რამდენიმე გზით წყდება, ამიტომ ამ ერთი გზა ორია, მაგრამ ორივეში ერთი და იგივე ფორმულა გამოიყენება.
ამ პრობლემაში შეგიძლიათ აიღოთ პასუხი წინადან, რადგან იქ გამოვთვალეთ რამდენჯერ შეგიძლიათ შეავსოთ თარო თხუთმეტი წიგნით-განსხვავებულად. აღმოჩნდა A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
მეორე თაროს გამოვთვლით პერმუტაციის ფორმულით, რადგან მასში თხუთმეტი წიგნია მოთავსებული, ხოლო დარჩენილია მხოლოდ თხუთმეტი. გამოიყენეთ ფორმულა P_15=15!.
გამოდის, რომ ჯამი იქნება A_30^15 ⋅ P_15 გზა, მაგრამ, გარდა ამისა, ოცდაათიდან თექვსმეტამდე ყველა რიცხვის ნამრავლი უნდა გამრავლდეს ერთიდან თხუთმეტამდე რიცხვების ნამრავლზე, როგორც შედეგად, ყველა რიცხვის ნამრავლი ერთიდან ოცდაათამდე, ამიტომ პასუხი არის 30!
მაგრამ ეს პრობლემა შეიძლება მოგვარდეს სხვა გზით - უფრო მარტივი. ამისათვის თქვენ წარმოიდგინეთ, რომ არის ერთი თარო ოცდაათი წიგნისთვის. ყველა მათგანი მოთავსებულია ამ თვითმფრინავზე, მაგრამ რადგან პირობა მოითხოვს, რომ იყოს ორი თარო, ერთი გრძელი დავჭრათ შუაზე, გამოდის ორი თხუთმეტი. აქედან გამოდის, რომ განთავსების ვარიანტები შეიძლება იყოს P_30=30!.
მაგალითის ამოხსნა. კომბინაციის ფორმულა
ახლა განვიხილავთ კომბინატორიკის მესამე პრობლემის ვარიანტს. თქვენ უნდა გაარკვიოთ რამდენი გზა არსებობს თხუთმეტი წიგნის მოსაწყობად, იმ პირობით, რომ თქვენ უნდა აირჩიოთ ოცდაათი აბსოლუტურად იდენტური.
ამოხსნისთვის, რა თქმა უნდა, გამოყენებული იქნება კომბინაციების რაოდენობის ფორმულა. მდგომარეობიდან ირკვევა, რომ იდენტური თხუთმეტი წიგნის თანმიმდევრობა არ არის მნიშვნელოვანი. ამიტომ, თავდაპირველად თქვენ უნდა გაარკვიოთ თხუთმეტი წიგნის ოცდაათი კომბინაციის საერთო რაოდენობა.
C_30^15=30!: ((30-15)) !: თხუთმეტი!=155 117 520
ესე იგი. ამ ფორმულის გამოყენებით უმოკლეს დროში შესაძლებელი გახდაასეთი პრობლემის გადაჭრა, პასუხი, შესაბამისად, არის 155 117 520.
მაგალითის ამოხსნა. ალბათობის კლასიკური განმარტება
ზემოთ ფორმულით შეგიძლიათ იპოვოთ პასუხი მარტივ პრობლემაზე. მაგრამ ეს დაგეხმარებათ ვიზუალურად დანახოთ და თვალი ადევნოთ მოქმედებების მიმდინარეობას.
პრობლემში მოცემულია, რომ ურნაში არის ათი აბსოლუტურად იდენტური ბურთი. აქედან ოთხი ყვითელია, ექვსი კი ლურჯი. ერთი ბურთი ამოღებულია ურნიდან. თქვენ უნდა გაარკვიოთ გალურჯების ალბათობა.
პრობლემის გადასაჭრელად აუცილებელია ლურჯი ბურთის მიღება A მოვლენად დასახელდეს. ამ გამოცდილებას შეიძლება ჰქონდეს ათი შედეგი, რომლებიც, თავის მხრივ, ელემენტარული და თანაბრად სავარაუდოა. ამავდროულად, ათიდან ექვსი ხელსაყრელია A მოვლენისთვის. ვხსნით ფორმულის მიხედვით:
P(A)=6: 10=0, 6
ამ ფორმულის გამოყენებით აღმოვაჩინეთ, რომ ლურჯი ბურთის მიღების ალბათობა არის 0,6.
მაგალითის ამოხსნა. მოვლენათა ჯამის ალბათობა
ახლა წარმოდგენილი იქნება ვარიანტი, რომელიც ამოხსნილია მოვლენათა ჯამის ალბათობის ფორმულით. ამრიგად, იმ პირობით, რომ არის ორი ყუთი, პირველი შეიცავს ერთ ნაცრისფერ და ხუთ თეთრ ბურთულებს, ხოლო მეორე შეიცავს რვა ნაცრისფერ და ოთხ თეთრ ბურთულებს. შედეგად, ერთი მათგანი ამოიღეს პირველი და მეორე ყუთებიდან. თქვენ უნდა გაარკვიოთ რა არის იმის შანსი, რომ მიღებული ბურთები იყოს ნაცრისფერი და თეთრი.
ამ პრობლემის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა მონიშნოთ მოვლენები.
- მაშ ასე, A - აიღეთ ნაცრისფერი ბურთი პირველი ყუთიდან: P(A)=1/6.
- A' - აიღეთ თეთრი ბურთი ასევე პირველი ყუთიდან: P(A')=5/6.
- B - ნაცრისფერი ბურთი უკვე ამოღებულია მეორე ყუთიდან: P(B)=2/3.
- B' - აიღეთ ნაცრისფერი ბურთი მეორე უჯრიდან: P(B')=1/3.
პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით, უნდა მოხდეს ერთ-ერთი ფენომენი: AB' ან A'B. ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
ახლა გამოყენებულია ალბათობის გამრავლების ფორმულა. შემდეგი, პასუხის გასარკვევად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ მათი შეკრების განტოლება:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
ასე ფორმულის გამოყენებით შეგიძლიათ გადაჭრათ მსგავსი პრობლემები.
შედეგი
სტატიაში მოცემულია ინფორმაცია თემაზე "ალბათობის თეორია", რომელშიც გადამწყვეტ როლს თამაშობს მოვლენის ალბათობა. რა თქმა უნდა, ყველაფერი არ იყო გათვალისწინებული, მაგრამ, წარმოდგენილი ტექსტიდან გამომდინარე, თეორიულად შეიძლება მათემატიკის ამ მონაკვეთის გაცნობა. მოცემული მეცნიერება შეიძლება სასარგებლო იყოს არა მხოლოდ პროფესიულ საქმიანობაში, არამედ ყოველდღიურ ცხოვრებაშიც. მისი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ ნებისმიერი მოვლენის შესაძლებლობა.
ტექსტი ასევე შეეხო მნიშვნელოვან თარიღებს ალბათობის თეორიის, როგორც მეცნიერების ჩამოყალიბების ისტორიაში და იმ ადამიანების სახელებს, რომელთა ნამუშევრებიც მასში ჩადებულია. ასე მიიყვანა ადამიანურმა ცნობისმოყვარეობამ, რომ ადამიანებმა ისწავლეს თუნდაც შემთხვევითი მოვლენების გამოთვლა. ოდესღაც ისინი უბრალოდ დაინტერესდნენ, მაგრამ დღეს უკვე ყველამ იცის ამის შესახებ. და არავინ იტყვის, რა გველოდება მომავალში, კიდევ რა ბრწყინვალე აღმოჩენები იქნება განსახილველ თეორიასთან დაკავშირებული. მაგრამ ერთი რამ ცხადია - კვლევა არ დგას!
