გამოთვალეთ კუთხე წრფეებს შორის სიბრტყესა და სივრცეში: ფორმულა

2024 ავტორი: Angel Austin | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-02 17:50

ტიპიური გეომეტრიული პრობლემაა ხაზებს შორის კუთხის პოვნა. სიბრტყეზე, თუ ხაზების განტოლებები ცნობილია, შეიძლება მათი დახატვა და კუთხე გაზომვა პროტრატორით. თუმცა, ეს მეთოდი შრომატევადია და ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. დასახელებული კუთხის გასარკვევად არ არის აუცილებელი სწორი ხაზების დახატვა, მისი გამოთვლა შესაძლებელია. ეს სტატია გიპასუხებთ, თუ როგორ კეთდება ეს.

სწორი ხაზი და მისი ვექტორული განტოლება

ნებისმიერი სწორი ხაზი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ვექტორი, რომელიც იწყება -∞-დან და მთავრდება +∞-ზე. ამ შემთხვევაში ვექტორი გადის სივრცის რაღაც წერტილში. ამრიგად, ყველა ვექტორი, რომელიც შეიძლება დახატოს ნებისმიერ ორ წერტილს შორის სწორ ხაზზე, იქნება ერთმანეთის პარალელურად. ეს განსაზღვრება საშუალებას გაძლევთ დააყენოთ სწორი ხაზის განტოლება ვექტორული ფორმით:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(ა; ბ; გ)}

აქ, კოორდინატების მქონე ვექტორი (a; b; c) არის ამ წრფის სახელმძღვანელო, რომელიც გადის წერტილში (x₀; y_{0; z}0_{).α პარამეტრი საშუალებას გაძლევთ გადაიტანოთ მითითებული წერტილი ამ ხაზისთვის ნებისმიერ სხვაზე. ეს განტოლება ინტუიციურია და ადვილად მუშაობს როგორც 3D სივრცეში, ასევე თვითმფრინავში. სიბრტყისთვის ის არ შეიცავს z კოორდინატებს და მესამე მიმართულების ვექტორის კომპონენტს.}

გამოთვლების შესრულებისა და სწორი ხაზების ფარდობითი პოზიციის შესწავლის მოხერხებულობა ვექტორული განტოლების გამოყენების გამო განპირობებულია იმით, რომ ცნობილია მისი მიმართული ვექტორი. მისი კოორდინატები გამოიყენება ხაზებს შორის კუთხის და მათ შორის მანძილის გამოსათვლელად.

სიბრტყეზე სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება

მოდით ცალსახად დავწეროთ სწორი ხაზის ვექტორული განტოლება ორგანზომილებიანი შემთხვევისთვის. ასე გამოიყურება:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb}

ახლა ვიანგარიშებთ α პარამეტრს თითოეული ტოლობისთვის და ვატოლებთ მიღებული ტოლობების სწორ ნაწილებს:

α=(x - x_0)/a;

α=(y - y_0)/b;

(x - x₀)/a=(y - y_0)/b

ფრჩხილების გახსნით და ყველა ტერმინის ტოლობის ერთ მხარეს გადატანით, მივიღებთ:

1/ax +(-1/b)y+y₀/b- x_0/a=0=>

Ax + By + C=0, სადაც A=1/a, B=-1/b, C=y₀/b- x 0_/a

მიღებულ გამოსახულებას ეწოდება ორგანზომილებიანი სივრცეში მოცემული სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება (სამგანზომილებიანში ეს განტოლება შეესაბამება z-ღერძის პარალელურ სიბრტყეს და არა სწორ ხაზს).

თუ ცალსახად ჩავწერთ y-დან x-მდე ამ გამოსახულებაში, მაშინ მივიღებთ შემდეგ ფორმას, ცნობილითითოეული სტუდენტი:

y=kx + p, სადაც k=-A/B, p=-C/B

ეს წრფივი განტოლება ცალსახად განსაზღვრავს სწორ ხაზს სიბრტყეზე. ცნობილი განტოლების მიხედვით მისი დახატვა ძალიან მარტივია, ამისთვის თავის მხრივ უნდა ჩადოთ x=0 და y=0, კოორდინატთა სისტემაში მონიშნოთ შესაბამისი წერტილები და მივიღოთ მიღებული წერტილების დამაკავშირებელი სწორი ხაზი..

ხაზებს შორის კუთხის ფორმულა

სიბრტყეზე ორი წრფე შეიძლება იკვეთოს ან იყოს ერთმანეთის პარალელურად. სივრცეში ამ ვარიანტებს ემატება დახრილი ხაზების არსებობის შესაძლებლობა. ამ ერთგანზომილებიანი გეომეტრიული ობიექტების ფარდობითი პოზიციის რა ვერსიაც არ უნდა განხორციელდეს, მათ შორის კუთხე ყოველთვის შეიძლება განისაზღვროს შემდეგი ფორმულით:

φ=arccos(|(v₁¯v₂¯)|/(|v₁ ¯||v_2¯|))

სადაც v₁¯ და v_{2¯ არის სახელმძღვანელო ვექტორები 1 და 2 სტრიქონისთვის, შესაბამისად. მრიცხველი არის წერტილის ნამრავლის მოდული, რათა გამოირიცხოს ბლაგვი კუთხეები და მხედველობაში მივიღოთ მხოლოდ მკვეთრი.}

ვექტორები v₁¯ და v_{2¯ შეიძლება მოცემული იყოს ორი ან სამი კოორდინატით, ხოლო φ კუთხის ფორმულა უცვლელი რჩება.}

წრფეთა პარალელიზმი და პერპენდიკულარულობა

თუ ზემოთ მოცემული ფორმულით გამოთვლილ ორ წრფეს შორის კუთხე არის 0o, მაშინ ამბობენ, რომ ისინი პარალელურები არიან. იმის დასადგენად, არის თუ არა ხაზები პარალელური, თქვენ არ შეგიძლიათ გამოთვალოთ კუთხეφ, საკმარისია იმის ჩვენება, რომ ერთი მიმართულების ვექტორი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სხვა წრფის მსგავსი ვექტორის მეშვეობით, ეს არის:

v₁¯=qv_2¯

აქ q არის რეალური რიცხვი.

თუ წრფეთა განტოლებები მოცემულია შემდეგნაირად:

y=k₁x + p_1,

y=k₂x + p_2,

მაშინ ისინი პარალელურები იქნებიან მხოლოდ მაშინ, როცა x-ის კოეფიციენტები ტოლია, ანუ:

k₁=k₂

ეს ფაქტი შეიძლება დადასტურდეს, თუ გავითვალისწინებთ, თუ როგორ გამოიხატება k კოეფიციენტი სწორი ხაზის მიმართული ვექტორის კოორდინატებში.

თუ წრფეებს შორის გადაკვეთის კუთხე არის 90^o, მაშინ მათ უწოდებენ პერპენდიკულურებს. წრფეების პერპენდიკულარობის დასადგენად ასევე არ არის საჭირო φ კუთხის გამოთვლა, ამისთვის საკმარისია ვექტორების მხოლოდ სკალარული ნამრავლის გამოთვლა v₁¯ და v. 2_{¯. ის უნდა იყოს ნული.}

სივრცეში სწორი ხაზების გადაკვეთის შემთხვევაში, ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას φ კუთხის ფორმულა. ამ შემთხვევაში შედეგი სწორად უნდა იყოს ინტერპრეტირებული. გამოთვლილი φ გვიჩვენებს კუთხეს წრფეების მიმართულების ვექტორებს შორის, რომლებიც არ იკვეთებიან და არ არიან პარალელურები.

ამოცანა 1. პერპენდიკულარული ხაზები

ცნობილია, რომ წრფეთა განტოლებებს აქვს ფორმა:

(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);

(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)

აუცილებელია დადგინდეს არის თუ არა ეს ხაზებიპერპენდიკულარული.

როგორც აღვნიშნეთ, კითხვაზე პასუხის გასაცემად საკმარისია გამოვთვალოთ გიდების ვექტორების სკალარული ნამრავლი, რომელიც შეესაბამება კოორდინატებს (1; 2) და (-4; 2). ჩვენ გვაქვს:

(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0

რადგან ჩვენ მივიღეთ 0, ეს ნიშნავს, რომ განხილული წრფეები იკვეთება მართი კუთხით, ანუ ისინი პერპენდიკულურები არიან.

ამოცანა 2. ხაზის გადაკვეთის კუთხე

ცნობილია, რომ სწორი წრფეების ორ განტოლებას აქვს შემდეგი ფორმა:

y=2x - 1;

y=-x + 3

აუცილებელია ვიპოვოთ კუთხე ხაზებს შორის.

რადგან x-ის კოეფიციენტებს განსხვავებული მნიშვნელობები აქვთ, ეს წრფეები არ არის პარალელური. იმისათვის, რომ ვიპოვოთ კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება მათი გადაკვეთისას, ჩვენ ვთარგმნით თითოეულ განტოლებას ვექტორულ ფორმაში.

პირველი ხაზისთვის ვიღებთ:

(x; y)=(x; 2x - 1)

განტოლების მარჯვენა მხარეს მივიღეთ ვექტორი, რომლის კოორდინატები დამოკიდებულია x-ზე. წარმოვიდგინოთ, როგორც ორი ვექტორის ჯამი და პირველის კოორდინატები შეიცავს x ცვლადს, ხოლო მეორის კოორდინატები შედგება მხოლოდ რიცხვებისგან:

(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)

რადგან x იღებს თვითნებურ მნიშვნელობებს, ის შეიძლება შეიცვალოს α პარამეტრით. პირველი ხაზის ვექტორული განტოლება ხდება:

(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)

ჩვენ ვაკეთებთ იგივე მოქმედებებს წრფის მეორე განტოლებით, მივიღებთ:

(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>

(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)

ჩვენ გადავწერეთ საწყისი განტოლებები ვექტორული ფორმით. ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ გადაკვეთის კუთხის ფორმულა, ჩაანაცვლოთ მასში ხაზების მიმართული ვექტორების კოორდინატები:

(1; 2)(1; -1)=-1;

|(1; 2)|=√5;

|(1; -1)|=√2;

φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o

ამგვარად, განხილული ხაზები იკვეთება 71,565o, ანუ 1,249 რადიანის კუთხით.

ამ პრობლემის სხვაგვარად გადაჭრა შეიძლებოდა. ამისათვის საჭირო იყო თითოეული სწორი ხაზის ორი თვითნებური წერტილის აღება, მათგან პირდაპირი ვექტორების შედგენა და შემდეგ φ. ფორმულის გამოყენება.