სტერეომეტრიის ერთ-ერთი გავრცელებული პრობლემაა სწორი ხაზებისა და სიბრტყეების გადაკვეთა და მათ შორის კუთხეების გამოთვლა. მოდით ამ სტატიაში უფრო დეტალურად განვიხილოთ ეგრეთ წოდებული კოორდინატთა მეთოდი და კუთხეები წრფესა და სიბრტყეს შორის.
ხაზი და სიბრტყე გეომეტრიაში
კოორდინატთა მეთოდისა და წრფესა და სიბრტყეს შორის კუთხის განხილვამდე, თქვენ უნდა გაეცნოთ დასახელებულ გეომეტრიულ ობიექტებს.
წრფე არის წერტილების ისეთი კრებული სივრცეში ან სიბრტყეზე, რომელთაგან თითოეული შეიძლება მივიღოთ წინას გარკვეულ ვექტორზე წრფივი გადატანით. შემდეგში ჩვენ აღვნიშნავთ ამ ვექტორს u¯ სიმბოლოთი. თუ ეს ვექტორი გამრავლებულია ნებისმიერ რიცხვზე, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, მაშინ მივიღებთ u¯-ის პარალელურ ვექტორს. ხაზი არის წრფივი უსასრულო ობიექტი.
სიბრტყე ასევე არის წერტილების კრებული, რომლებიც განლაგებულია ისე, რომ თუ მათგან შექმნით თვითნებურ ვექტორებს, მაშინ ყველა მათგანი იქნება პერპენდიკულარული n¯ ვექტორის მიმართ. ამ უკანასკნელს ნორმალურს ან უბრალოდ ნორმალურს უწოდებენ.სიბრტყე, სწორი ხაზისგან განსხვავებით, არის ორგანზომილებიანი უსასრულო ობიექტი.
გეომეტრიის ამოცანების ამოხსნის კოორდინატული მეთოდი
თავად მეთოდის სახელწოდებიდან გამომდინარე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ საუბარია ამოცანების გადაჭრის მეთოდზე, რომელიც დაფუძნებულია ანალიტიკური თანმიმდევრული გამოთვლების შესრულებაზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კოორდინატთა მეთოდი საშუალებას გაძლევთ გადაჭრათ გეომეტრიული ამოცანები უნივერსალური ალგებრის ხელსაწყოების გამოყენებით, რომელთაგან მთავარია განტოლებები.
უნდა აღინიშნოს, რომ განხილული მეთოდი გაჩნდა თანამედროვე გეომეტრიისა და ალგებრის გარიჟრაჟზე. მის განვითარებაში დიდი წვლილი შეიტანეს რენე დეკარტმა, პიერ დე ფერმამ, ისააკ ნიუტონმა და ლაიბნიცმა მე-17-18 საუკუნეებში.
მეთოდის არსი არის გეომეტრიული ელემენტების მანძილების, კუთხეების, ფართობების და მოცულობების გამოთვლა ცნობილი წერტილების კოორდინატებზე დაყრდნობით. გაითვალისწინეთ, რომ მიღებული საბოლოო განტოლებების ფორმა დამოკიდებულია კოორდინატთა სისტემაზე. ყველაზე ხშირად, მართკუთხა დეკარტის სისტემა გამოიყენება პრობლემების დროს, რადგან მასთან მუშაობა ყველაზე მოსახერხებელია.
წრფის განტოლება
კოორდინატთა მეთოდისა და წრფესა და სიბრტყეს შორის კუთხეების გათვალისწინება, დავიწყოთ წრფის განტოლების დაყენებით. ხაზების ალგებრული ფორმით წარმოდგენის რამდენიმე გზა არსებობს. აქ განვიხილავთ მხოლოდ ვექტორულ განტოლებას, რადგან მისგან ადვილად შეიძლება მიიღოთ ნებისმიერი სხვა ფორმით და ადვილია მუშაობა.
ვვარაუდობთ, რომ არსებობს ორი წერტილი: P და Q. ცნობილია, რომ მათში შესაძლებელია ხაზის გაყვანა და ისიქნება ერთადერთი. ელემენტის შესაბამისი მათემატიკური წარმოდგენა ასე გამოიყურება:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
სადაც PQ¯ არის ვექტორი, რომლის კოორდინატები მიიღება შემდეგნაირად:
PQ¯=Q - P.
სიმბოლო λ აღნიშნავს პარამეტრს, რომელსაც შეუძლია მიიღოს აბსოლუტურად ნებისმიერი რიცხვი.
წერილობით გამოსახულებაში შეგიძლიათ შეცვალოთ ვექტორის მიმართულება და ასევე ჩაანაცვლოთ Q კოორდინატები P წერტილის ნაცვლად. ყველა ეს ტრანსფორმაცია არ გამოიწვევს წრფის გეომეტრიული მდებარეობის ცვლილებას.
გაითვალისწინეთ, რომ ამოცანების ამოხსნისას, ზოგჯერ საჭიროა წერილობითი ვექტორული განტოლების წარმოდგენა აშკარა (პარამეტრული) ფორმით.
თვითმფრინავის დაყენება კოსმოსში
ისევე როგორც სწორი ხაზისთვის, ასევე არსებობს სიბრტყის მათემატიკური განტოლების რამდენიმე ფორმა. მათ შორის აღვნიშნავთ ვექტორს, განტოლებას სეგმენტებში და ზოგად ფორმას. ამ სტატიაში ჩვენ განსაკუთრებულ ყურადღებას მივაქცევთ ბოლო ფორმას.
ზოგადი განტოლება თვითნებური სიბრტყისთვის შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
Ax + By + Cz + D=0.
ლათინური დიდი ასოები არის გარკვეული რიცხვები, რომლებიც განსაზღვრავენ სიბრტყეს.
ამ აღნიშვნის მოხერხებულობა იმაში მდგომარეობს, რომ ის აშკარად შეიცავს სიბრტყის ნორმალურ ვექტორს. უდრის:
n¯=(A, B, C).
ამ ვექტორის ცოდნა შესაძლებელს ხდის სიბრტყის განტოლების მოკლე ყურებით წარმოვიდგინოთ ამ უკანასკნელის მდებარეობა კოორდინატულ სისტემაში.
ურთიერთმოწყობა შიწრფისა და სიბრტყის სივრცე
სტატიის შემდეგ აბზაცში გადავალთ კოორდინატთა მეთოდისა და წრფესა და სიბრტყეს შორის კუთხის განხილვაზე. აქ ჩვენ ვუპასუხებთ კითხვას, თუ როგორ შეიძლება განხილული გეომეტრიული ელემენტები განთავსდეს სივრცეში. არსებობს სამი გზა:
- სწორი ხაზი კვეთს სიბრტყეს. კოორდინატთა მეთოდის გამოყენებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ რომელ წერტილში იკვეთება წრფე და სიბრტყე.
- სწორი წრფის სიბრტყე პარალელურია. ამ შემთხვევაში, გეომეტრიული ელემენტების განტოლებათა სისტემას არ აქვს ამონახსნი. პარალელურობის დასადასტურებლად ჩვეულებრივ გამოიყენება სწორი ხაზის მიმართული ვექტორის სკალარული ნამრავლის თვისება და სიბრტყის ნორმალური.
- თვითმფრინავი შეიცავს ხაზს. ამ შემთხვევაში განტოლებათა სისტემის ამოხსნით მივალთ დასკვნამდე, რომ λ პარამეტრის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის მიიღება სწორი ტოლობა.
მეორე და მესამე შემთხვევაში კუთხე მითითებულ გეომეტრიულ ობიექტებს შორის ნულის ტოლია. პირველ შემთხვევაში, ის დევს 0-დან 90-მდე o..
კუთხის გამოთვლა წრფეებსა და სიბრტყეებს შორის
ახლა პირდაპირ გადავიდეთ სტატიის თემაზე. წრფისა და სიბრტყის ნებისმიერი გადაკვეთა ხდება რაღაც კუთხით. ეს კუთხე იქმნება თავად სწორი ხაზით და მისი პროექცია სიბრტყეზე. პროექცია შეიძლება მივიღოთ, თუ სწორი ხაზის ნებისმიერი წერტილიდან პერპენდიკულარი ჩამოიჭრება სიბრტყეზე, შემდეგ კი სიბრტყის გადაკვეთის მიღებული წერტილის და სიბრტყის პერპენდიკულარული და თავდაპირველი წრფის გადაკვეთის წერტილის მეშვეობით, დავხატოთ სწორი ხაზი, რომელიც იქნება პროექცია.
ხაზებსა და სიბრტყეებს შორის კუთხეების გამოთვლა არ არის რთული ამოცანა. მის ამოსახსნელად საკმარისია ვიცოდეთ შესაბამისი გეომეტრიული ობიექტების განტოლებები. ვთქვათ, ეს განტოლებები ასე გამოიყურება:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
სასურველი კუთხე ადვილად იპოვება u¯ და n¯ სკალარული ვექტორების ნამრავლის თვისების გამოყენებით. საბოლოო ფორმულა ასე გამოიყურება:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
ეს ფორმულა ამბობს, რომ წრფესა და სიბრტყეს შორის კუთხის სინუსი უდრის მონიშნული ვექტორების სკალარული ნამრავლის შეფარდებას მათი სიგრძის ნამრავლთან. იმის გასაგებად, თუ რატომ გამოჩნდა სინუსი კოსინუსის ნაცვლად, მივმართოთ ქვემოთ მოცემულ ფიგურას.
შეიძლება დავინახოთ, რომ თუ გამოვიყენებთ კოსინუს ფუნქციას, მივიღებთ კუთხეს u¯ და n¯ ვექტორებს შორის. სასურველი კუთხე θ (α ფიგურაში) მიიღება შემდეგნაირად:
θ=90o - β.
სინუსი ჩნდება შემცირების ფორმულების გამოყენების შედეგად.
პრობლემის მაგალითი
გადავიდეთ მიღებული ცოდნის პრაქტიკულ გამოყენებაზე. მოდით გადავჭრათ ტიპიური პრობლემა სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის კუთხის შესახებ. მოცემულია ოთხი წერტილის შემდეგი კოორდინატები:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
ცნობილია, რომ PQM წერტილების მეშვეობითმასში გადის თვითმფრინავი და MN-ზე გადის სწორი ხაზი. კოორდინატთა მეთოდის გამოყენებით უნდა გამოითვალოს კუთხე სიბრტყესა და წრფეს შორის.
პირველ რიგში, ჩამოვწეროთ სწორი ხაზისა და სიბრტყის განტოლებები. სწორი ხაზისთვის მისი შედგენა მარტივია:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
სიბრტყის განტოლების შესაქმნელად, ჯერ ვიპოვეთ მისი ნორმალური. მისი კოორდინატები ტოლია მოცემულ სიბრტყეში მყოფი ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლის. ჩვენ გვაქვს:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
ახლა ჩავანაცვლოთ მასში მდებარე ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები ზოგადი სიბრტყის განტოლებით, რათა მივიღოთ თავისუფალი წევრის მნიშვნელობა D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
სიბრტყის განტოლებაა:
11x + 4y + 5z - 7=0.
დარჩენილია გამოვიყენოთ სწორი წრფისა და სიბრტყის გადაკვეთაზე წარმოქმნილი კუთხის ფორმულა ამოცანაზე პასუხის მისაღებად. ჩვენ გვაქვს:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
ამ ამოცანის მაგალითის გამოყენებით ჩვენ ვაჩვენეთ, თუ როგორ გამოვიყენოთ კოორდინატთა მეთოდი გეომეტრიული ამოცანების ამოსახსნელად.
