კუთხეები სიბრტყეებს შორის. როგორ განვსაზღვროთ კუთხე სიბრტყეებს შორის

2024 ავტორი: Angel Austin | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-02 17:50

სივრცეში გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნისას ხშირად არის ისეთი, სადაც საჭიროა სხვადასხვა სივრცულ ობიექტებს შორის კუთხეების გამოთვლა. ამ სტატიაში განვიხილავთ სიბრტყეებს შორის კუთხეების პოვნას და მათ შორის სწორ ხაზს.

ხაზი სივრცეში

ცნობილია, რომ სიბრტყეში აბსოლუტურად ნებისმიერი სწორი ხაზი შეიძლება განისაზღვროს შემდეგი ტოლობით:

y=ax + b

აქ a და b არის რამდენიმე რიცხვი. თუ სივრცეში სწორ ხაზს ერთი და იგივე გამოსახულებით წარმოვადგენთ, მაშინ მივიღებთ z ღერძის პარალელურ სიბრტყეს. სივრცითი ხაზის მათემატიკური განსაზღვრისათვის გამოიყენება ამოხსნის განსხვავებული მეთოდი, ვიდრე ორგანზომილებიან შემთხვევაში. იგი მოიცავს "მიმართულების ვექტორის" კონცეფციის გამოყენებას.

სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი გვიჩვენებს მის ორიენტაციას სივრცეში. ეს პარამეტრი ეკუთვნის ხაზს. ვინაიდან სივრცეში პარალელური ვექტორების უსასრულო სიმრავლეა, განხილული გეომეტრიული ობიექტის ცალსახად დასადგენად აუცილებელია მისი კუთვნილი წერტილის კოორდინატების ცოდნაც.

ვუშვათ, რომ არსებობსწერტილი P(x₀; y₀; z_{0) და მიმართულების ვექტორი v¯(a; b; გ), მაშინ სწორი ხაზის განტოლება შეიძლება მივიღოთ შემდეგნაირად:}

(x; y; z)=P + αv¯ ან

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(ა; ბ; გ)}

ამ გამოსახულებას უწოდებენ სწორი ხაზის პარამეტრულ ვექტორულ განტოლებას. კოეფიციენტი α არის პარამეტრი, რომელსაც შეუძლია მიიღოს აბსოლუტურად ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობა. ხაზის კოორდინატები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს აშკარად ამ ტოლობის გაფართოებით:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

სიბრტყის განტოლება

სივრცეში სიბრტყის განტოლების დაწერის რამდენიმე ფორმა არსებობს. აქ განვიხილავთ ერთ-ერთ მათგანს, რომელიც ყველაზე ხშირად გამოიყენება ორ სიბრტყეს შორის კუთხეების გაანგარიშებისას ან ერთ-ერთ მათგანსა და სწორ ხაზს შორის.

თუ ცნობილია ზოგიერთი ვექტორი n¯(A; B; C), რომელიც პერპენდიკულარულია სასურველ სიბრტყეზე და წერტილი P(x₀; y ₀; z_{0), რომელიც ეკუთვნის მას, მაშინ ამ უკანასკნელის ზოგადი განტოლებაა:}

Ax + By + Cz + D=0 სადაც D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

ჩვენ გამოვტოვეთ ამ გამოხატვის წარმოშობა, რომელიც საკმაოდ მარტივია. აქ მხოლოდ აღვნიშნავთ, რომ სიბრტყის განტოლებაში ცვლადების კოეფიციენტების ცოდნით, შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ყველა ვექტორი, რომელიც მასზე პერპენდიკულარულია. ამ უკანასკნელებს ნორმას უწოდებენ და გამოიყენება კუთხეების გამოსათვლელად დახრილსა და სიბრტყეს შორის და შორის.თვითნებური ანალოგები.

სიბრტყეების მდებარეობა და მათ შორის კუთხის ფორმულა

ვთქვათ, რომ არსებობს ორი თვითმფრინავი. რა ვარიანტებია მათი შედარებითი პოზიციისთვის სივრცეში. ვინაიდან თვითმფრინავს აქვს ორი უსასრულო განზომილება და ერთი ნული, მათი ორმხრივი ორიენტაციის მხოლოდ ორი ვარიანტია შესაძლებელი:

ისინი ერთმანეთის პარალელურები იქნებიან;
ისინი შეიძლება გადაფარონ.

სიბრტყეებს შორის კუთხე არის ინდექსი მათ მიმართულების ვექტორებს შორის, ანუ მათ ნორმალებს შორის n₁¯ და n_2¯..

ცხადია, თუ ისინი სიბრტყის პარალელურია, მაშინ მათ შორის გადაკვეთის კუთხე ნულის ტოლია. თუ ისინი იკვეთებიან, მაშინ ის არ არის ნულოვანი, მაგრამ ყოველთვის მკვეთრი. გადაკვეთის განსაკუთრებული შემთხვევა იქნება კუთხე 90o, როდესაც სიბრტყეები ერთმანეთის მიმართ პერპენდიკულარულია.

კუთხე α n₁¯ და n_{2¯ შორის ადვილად განისაზღვრება ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლიდან. ანუ ხდება ფორმულა:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

ვუშვათ, რომ ამ ვექტორების კოორდინატებია: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{). შემდეგ, ვექტორების სკალარული ნამრავლის და მოდულების გამოთვლის ფორმულების გამოყენებით მათი კოორდინატების მეშვეობით, ზემოთ მოცემული გამოხატულება შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

მრიცხველში მოდული გამოჩნდა იმის გამო, რომ გამორიცხა ბლაგვი კუთხეების მნიშვნელობები.

პრობლემების ამოხსნის მაგალითები სიბრტყეების გადაკვეთის კუთხის დასადგენად

ვიცოდეთ როგორ ვიპოვოთ კუთხე სიბრტყეებს შორის, ჩვენ მოვაგვარებთ შემდეგ პრობლემას. მოცემულია ორი სიბრტყე, რომელთა განტოლებებია:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

რა არის კუთხე სიბრტყეებს შორის?

პრობლემის კითხვაზე პასუხის გასაცემად, გავიხსენოთ, რომ სიბრტყის ზოგად განტოლებაში ცვლადების კოეფიციენტები არის სახელმძღვანელო ვექტორის კოორდინატები. მითითებული სიბრტყეებისთვის გვაქვს მათი ნორმალების შემდეგი კოორდინატები:

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

ახლა ჩვენ ვიპოვით ამ ვექტორებისა და მათი მოდულების სკალარული ნამრავლი, გვაქვს:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

ახლა შეგიძლიათ შეცვალოთ ნაპოვნი რიცხვები წინა აბზაცში მოცემულ ფორმულაში. ჩვენ ვიღებთ:

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

მიღებული მნიშვნელობა შეესაბამება მდგომარეობაში მითითებულ სიბრტყეების გადაკვეთის მკვეთრ კუთხესამოცანები.

ახლა განიხილეთ სხვა მაგალითი. მოცემულია ორი თვითმფრინავი:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

იკვეთება ისინი? მოდით ჩამოვწეროთ მათი მიმართულების ვექტორების კოორდინატების მნიშვნელობები, გამოვთვალოთ მათი სკალარული ნამრავლი და მოდულები:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

მაშინ გადაკვეთის კუთხეა:

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

ეს კუთხე მიუთითებს იმაზე, რომ სიბრტყეები არ იკვეთება, არამედ პარალელურია. ის ფაქტი, რომ ისინი ერთმანეთს არ ემთხვევა, ადვილი შესამოწმებელია. ამისთვის ავიღოთ თვითნებური წერტილი, რომელიც ეკუთვნის პირველ მათგანს, მაგალითად, P(0; 3; 2). შევცვალოთ მისი კოორდინატები მეორე განტოლებაში, მივიღებთ:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

ანუ წერტილი P ეკუთვნის მხოლოდ პირველ სიბრტყეს.

ასე რომ ორი სიბრტყე პარალელურია, როცა მათი ნორმალურია.

სიბრტყე და სწორი ხაზი

სიბრტყესა და სწორ ხაზს შორის ფარდობითი პოზიციის გათვალისწინების შემთხვევაში, კიდევ რამდენიმე ვარიანტია, ვიდრე ორ სიბრტყეში. ეს ფაქტი დაკავშირებულია იმასთან, რომ სწორი ხაზი არის ერთგანზომილებიანი ობიექტი. ხაზი და სიბრტყე შეიძლება იყოს:

ურთიერთპარალელური, ამ შემთხვევაში სიბრტყე არ კვეთს წრფეს;
ეს უკანასკნელი შეიძლება ეკუთვნოდეს სიბრტყეს, მაგრამ ასევე იყოს მისი პარალელური;
ორივე ობიექტს შეუძლიაიკვეთება რაღაც კუთხით.

ჯერ განვიხილოთ ბოლო შემთხვევა, რადგან ის მოითხოვს გადაკვეთის კუთხის კონცეფციის დანერგვას.

ხაზი და სიბრტყე, კუთხე მათ შორის

თუ სწორი ხაზი კვეთს სიბრტყეს, მაშინ მას მის მიმართ დახრილი ეწოდება. გადაკვეთის წერტილს ფერდობის ფუძე ეწოდება. ამ გეომეტრიულ ობიექტებს შორის კუთხის დასადგენად აუცილებელია სიბრტყის პერპენდიკულარული წრფის დაწევა ნებისმიერი წერტილიდან. შემდეგ პერპენდიკულარულის სიბრტყესთან გადაკვეთის წერტილი და მასთან დახრილი ხაზის გადაკვეთის ადგილი ქმნის სწორ ხაზს. ამ უკანასკნელს ეწოდება საწყისი ხაზის პროექცია განსახილველ სიბრტყეზე. ხაზსა და მის პროექციას შორის მწვავე კუთხე აუცილებელია.

სიბრტყესა და ირიბს შორის კუთხის გარკვეულწილად დამაბნეველი განმარტება გაამარტივებს ქვემოთ მოცემულ ფიგურას.

აქ კუთხე ABO არის კუთხე AB წრფესა და a სიბრტყეს შორის.

მისი ფორმულის დასაწერად, განიხილეთ მაგალითი. იყოს სწორი ხაზი და სიბრტყე, რომლებიც აღწერილია განტოლებებით:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

ადვილია ამ ობიექტებისთვის სასურველი კუთხის გამოთვლა, თუ იპოვით სკალარულ ნამრავლს წრფის მიმართულების ვექტორებსა და სიბრტყეს შორის. მიღებულ მახვილ კუთხეს უნდა გამოვაკლოთ 90o, შემდეგ ის მიიღება სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის.

ზემოთ ფიგურა გვიჩვენებს ძიების აღწერილ ალგორითმსგანიხილება კუთხე. აქ β არის კუთხე ნორმასა და წრფეს შორის, ხოლო α არის წრფესა და მის პროექციას შორის სიბრტყეზე. ჩანს, რომ მათი ჯამი არის 90o.

ზემოთ, წარმოდგენილი იყო ფორმულა, რომელიც პასუხობს კითხვას, როგორ მოვძებნოთ კუთხე სიბრტყეებს შორის. ახლა ვაძლევთ შესაბამის გამონათქვამს სწორი ხაზისა და სიბრტყის შემთხვევისთვის:

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

ფორმულაში მოდული საშუალებას იძლევა გამოითვალოს მხოლოდ მწვავე კუთხეები. არქსინის ფუნქცია გაჩნდა არკოზინის ნაცვლად ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის შესაბამისი შემცირების ფორმულის გამოყენების გამო (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).

პრობლემა: სიბრტყე კვეთს სწორ ხაზს

ახლა ვაჩვენოთ როგორ ვიმუშაოთ ზემოთ მოცემულ ფორმულასთან. მოდით გადავჭრათ პრობლემა: უნდა გამოვთვალოთ კუთხე y-ღერძსა და სიბრტყეს შორის, რომელიც მოცემულია განტოლებით:

y - z + 12=0

ეს თვითმფრინავი ნაჩვენებია სურათზე.

თქვენ ხედავთ, რომ ის კვეთს y და z ღერძებს შესაბამისად (0; -12; 0) და (0; 0; 12) წერტილებზე და პარალელურია x ღერძისა.

y წრფის მიმართულების ვექტორს აქვს კოორდინატები (0; 1; 0). მოცემულ სიბრტყეზე პერპენდიკულარულ ვექტორს ახასიათებს კოორდინატები (0; 1; -1). ვიყენებთ სწორი ხაზისა და სიბრტყის გადაკვეთის კუთხის ფორმულას, მივიღებთ:

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

პრობლემა: სწორი ხაზი სიბრტყის პარალელურად

ახლა გადავწყვიტოთწინა პრობლემის მსგავსი, რომლის კითხვაც სხვაგვარად არის დასმული. სიბრტყისა და სწორი ხაზის განტოლებები ცნობილია:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

აუცილებელია გავარკვიოთ არის თუ არა ეს გეომეტრიული ობიექტები ერთმანეთის პარალელურად.

გვაქვს ორი ვექტორი: სწორი ხაზის მიმართულებაა (0; 2; 2) და სიბრტყის მიმართულება არის (1; 1; -1). იპოვეთ მათი წერტილოვანი პროდუქტი:

01 + 12 - 12=0

მიღებული ნული მიუთითებს, რომ ამ ვექტორებს შორის კუთხე არის 90o, რაც ადასტურებს, რომ წრფე და სიბრტყე პარალელურია.

ახლა შევამოწმოთ ეს წრფე მხოლოდ პარალელურია თუ ასევე სიბრტყეში. ამისათვის აირჩიეთ ხაზის თვითნებური წერტილი და შეამოწმეთ ეკუთვნის თუ არა ის თვითმფრინავს. მაგალითად, ავიღოთ λ=0, მაშინ წერტილი P(1; 0; 0) ეკუთვნის წრფეს. ჩანაცვლება სიბრტყის P: განტოლებაში

1 - 3=-2 ≠ 0

წერტილი P არ ეკუთვნის სიბრტყეს, რაც ნიშნავს, რომ მასში არც მთელი წრფე დევს.

სად არის მნიშვნელოვანი განხილულ გეომეტრიულ ობიექტებს შორის კუთხეების ცოდნა?

ზემოხსენებული ფორმულები და პრობლემის გადაჭრის მაგალითები მხოლოდ თეორიულ ინტერესს არ წარმოადგენს. ისინი ხშირად გამოიყენება რეალური სამგანზომილებიანი ფიგურების მნიშვნელოვანი ფიზიკური რაოდენობების დასადგენად, როგორიცაა პრიზმები ან პირამიდები. მნიშვნელოვანია, რომ შეძლოთ სიბრტყეებს შორის კუთხის დადგენა ფიგურების მოცულობისა და მათი ზედაპირის ფართობის გაანგარიშებისას. უფრო მეტიც, თუ სწორი პრიზმის შემთხვევაში შესაძლებელია არ გამოვიყენოთ ეს ფორმულები დადგენისთვისმითითებული მნიშვნელობები, მაშინ ნებისმიერი ტიპის პირამიდისთვის მათი გამოყენება გარდაუვალია.

ქვემოთ, განიხილეთ ზემოთ მოცემული თეორიის გამოყენების მაგალითი კვადრატული ფუძის მქონე პირამიდის კუთხეების დასადგენად.

პირამიდა და მისი კუთხეები

ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა გვიჩვენებს პირამიდას, რომლის ძირში დევს კვადრატი a გვერდით. ფიგურის სიმაღლეა h. საჭიროა ორი კუთხის პოვნა:

გვერდითა ზედაპირსა და ფუძეს შორის;
გვერდითა ნეკნსა და ფუძეს შორის.

პრობლემის გადასაჭრელად ჯერ უნდა შეიყვანოთ კოორდინატთა სისტემა და დაადგინოთ შესაბამისი წვეროების პარამეტრები. ნახაზი აჩვენებს, რომ კოორდინატების წარმოშობა ემთხვევა კვადრატული ფუძის ცენტრში არსებულ წერტილს. ამ შემთხვევაში, საბაზისო სიბრტყე აღწერილია განტოლებით:

z=0

ანუ ნებისმიერი x და y, მესამე კოორდინატის მნიშვნელობა ყოველთვის ნულია. გვერდითი სიბრტყე ABC კვეთს z-ღერძს B(0; 0; h) წერტილში და y-ღერძს კოორდინატებთან (0; a/2; 0) წერტილში. ის არ კვეთს x ღერძს. ეს ნიშნავს, რომ ABC სიბრტყის განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც:

y / (a / 2) + z / სთ=1 ან

2hy + az - ah=0

ვექტორი AB¯ არის გვერდითი კიდე. მისი საწყისი და დასასრული კოორდინატებია: A(a/2; a/2; 0) და B(0; 0; h). შემდეგ თავად ვექტორის კოორდინატები:

AB¯(-a/2; -a/2; თ)

ჩვენ ვიპოვეთ ყველა საჭირო განტოლება და ვექტორი. ახლა რჩება განხილული ფორმულების გამოყენება.

პირველად ვიანგარიშებთ პირამიდაში კუთხეს ფუძის სიბრტყეებს შორისდა გვერდითი. შესაბამისი ნორმალური ვექტორებია: n₁¯(0; 0; 1) და n_{2¯(0; 2h; a). მაშინ კუთხე იქნება:}