ხაზი და სიბრტყე არის ორი ყველაზე მნიშვნელოვანი გეომეტრიული ელემენტი, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას სხვადასხვა ფორმის ასაგებად 2D და 3D სივრცეში. დაფიქრდით, როგორ მოვძებნოთ მანძილი პარალელურ წრფეებსა და პარალელურ სიბრტყეებს შორის.
მათემატიკური დავალება სწორი ხაზი
სასკოლო გეომეტრიის კურსიდან ცნობილია, რომ ორგანზომილებიან მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში წრფე შეიძლება მიეთითოს შემდეგი სახით:
y=kx + b.
სადაც k და b არის რიცხვები (პარამეტრები). სიბრტყეში წრფის გამოსახვის წერილობითი ფორმა არის სიბრტყე, რომელიც პარალელურია z-ღერძის სამგანზომილებიან სივრცეში. ამის გათვალისწინებით, ამ სტატიაში სწორი ხაზის მათემატიკური დავალებისთვის გამოვიყენებთ უფრო მოსახერხებელ და უნივერსალურ ფორმას - ვექტორულს.
ვუშვათ, რომ ჩვენი წრფე პარალელურია ზოგიერთი ვექტორის u¯(a, b, c) და გადის P წერტილში (x0, y0, z0). ამ შემთხვევაში, ვექტორული სახით, მისი განტოლება წარმოდგენილი იქნება შემდეგნაირად:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
აქ λ არის ნებისმიერი რიცხვი. თუ ცალსახად წარმოვადგენთ კოორდინატებს წერილობითი გამოხატვის გაფართოებით, მაშინ მივიღებთ სწორი ხაზის დაწერის პარამეტრულ ფორმას.
მოხერხებულია ვექტორულ განტოლებასთან მუშაობა სხვადასხვა ამოცანების ამოხსნისას, რომლებშიც აუცილებელია პარალელურ წრფეებს შორის მანძილის დადგენა.
ხაზები და მათ შორის მანძილი
ხაზებს შორის მანძილის შესახებ საუბარი აზრი აქვს მხოლოდ მაშინ, როცა ისინი პარალელურია (სამგანზომილებიანი შემთხვევაში, ასევე არის არანულოვანი მანძილი დახრილ ხაზებს შორის). თუ ხაზები იკვეთება, მაშინ აშკარაა, რომ ისინი ერთმანეთისგან ნულოვან მანძილზე არიან.
დაშორება პარალელურ წრფეებს შორის არის მათი დამაკავშირებელი პერპენდიკულარულის სიგრძე. ამ ინდიკატორის დასადგენად, საკმარისია აირჩიოთ თვითნებური წერტილი ერთ-ერთ წრფეზე და გადააგდოთ პერპენდიკულარი მისგან მეორეზე.
მოდით მოკლედ აღვწეროთ სასურველი მანძილის პოვნის პროცედურა. დავუშვათ, რომ ვიცით ორი წრფის ვექტორული განტოლებები, რომლებიც წარმოდგენილია შემდეგი ზოგადი ფორმით:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
ააგეთ პარალელოგრამი ამ წრფეებზე ისე, რომ ერთი მხარე იყოს PQ, ხოლო მეორე, მაგალითად, u. ცხადია, P წერტილიდან გამოყვანილი ამ ფიგურის სიმაღლე არის საჭირო პერპენდიკულარულის სიგრძე. მის მოსაძებნად შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი მარტივიფორმულა:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
რადგან სწორ ხაზებს შორის მანძილი არის მათ შორის პერპენდიკულარული სეგმენტის სიგრძე, მაშინ წერილობითი გამოხატვის მიხედვით საკმარისია ვიპოვოთ PQ¯ და u¯ ვექტორული ნამრავლის მოდული და შედეგი გავყოთ ვექტორის სიგრძე u¯.
დავალების მაგალითი სწორი ხაზებს შორის მანძილის დასადგენად
ორი სწორი ხაზი მოცემულია შემდეგი ვექტორული განტოლებით:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
წერილობითი გამონათქვამებიდან ირკვევა, რომ გვაქვს ორი პარალელური წრფე. მართლაც, თუ გავამრავლებთ -1-ზე პირველი ხაზის მიმართულების ვექტორის კოორდინატებს, მივიღებთ მეორე ხაზის მიმართულების ვექტორის კოორდინატებს, რაც მიუთითებს მათ პარალელურობაზე.
სწორ ხაზებს შორის მანძილი გამოითვლება სტატიის წინა აბზაცში დაწერილი ფორმულით. ჩვენ გვაქვს:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
მერე მივიღებთ:
|u¯|=√14 სმ;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 სმ.
გაითვალისწინეთ, რომ P და Q წერტილების ნაცვლად, პრობლემის გადასაჭრელად შეიძლება გამოყენებულ იქნას აბსოლუტურად ნებისმიერი წერტილი, რომელიც ეკუთვნის ამ ხაზებს. ამ შემთხვევაში ჩვენ მივიღებთ იგივე მანძილს d.
სიბრტყის დაყენება გეომეტრიაში
ხაზებს შორის მანძილის საკითხი ზემოთ დეტალურად იყო განხილული. ახლა ვაჩვენოთ როგორ ვიპოვოთ მანძილი პარალელურ სიბრტყეებს შორის.
ყველა წარმოადგენს რა არის თვითმფრინავი. მათემატიკური განმარტების მიხედვით, მითითებული გეომეტრიული ელემენტი არის ქულების კრებული. უფრო მეტიც, თუ შეადგენთ ყველა შესაძლო ვექტორს ამ წერტილების გამოყენებით, მაშინ ყველა მათგანი იქნება პერპენდიკულარული ერთი ვექტორის მიმართ. ამ უკანასკნელს ჩვეულებრივ უწოდებენ სიბრტყის ნორმალურს.
სამგანზომილებიანი სივრცეში სიბრტყის განტოლების დასაზუსტებლად ყველაზე ხშირად გამოიყენება განტოლების ზოგადი ფორმა. ასე გამოიყურება:
Ax + By + Cz + D=0.
სადაც დიდი ლათინური ასოები არის ზოგიერთი რიცხვი. მოსახერხებელია ამ ტიპის სიბრტყის განტოლების გამოყენება, რადგან მასში მკაფიოდ არის მოცემული ნორმალური ვექტორის კოორდინატები. ისინი არიან A, B, C.
ადვილი მისახვედრია, რომ ორი სიბრტყე პარალელურია მხოლოდ მაშინ, როცა მათი ნორმალურები პარალელურია.
როგორ მოვძებნოთ მანძილი ორ პარალელურ სიბრტყეს შორის?
მითითებული მანძილის დასადგენად, ნათლად უნდა გესმოდეთ, რა არის საქმე. სიბრტყეებს შორის მანძილი, რომლებიც ერთმანეთის პარალელურად არიან, გაგებულია, როგორც მათზე პერპენდიკულარული სეგმენტის სიგრძე. ამ სეგმენტის ბოლოები ეკუთვნის სიბრტყეებს.
ასეთი პრობლემების გადაჭრის ალგორითმი მარტივია. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ აბსოლუტურად ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები, რომლებიც მიეკუთვნება ორი სიბრტყიდან ერთ-ერთს. შემდეგ, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ეს ფორმულა:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
რადგან მანძილი დადებითი მნიშვნელობაა, მოდულის ნიშანი მრიცხველშია. დაწერილი ფორმულა უნივერსალურია, რადგან ის საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მანძილი თვითმფრინავიდან აბსოლუტურად ნებისმიერ გეომეტრიულ ელემენტამდე. საკმარისია ვიცოდეთ ამ ელემენტის ერთი წერტილის კოორდინატები.
სისრულისთვის აღვნიშნავთ, რომ თუ ორი სიბრტყის ნორმალები ერთმანეთის პარალელურად არ არის, მაშინ ასეთი სიბრტყეები იკვეთება. მათ შორის მანძილი მაშინ იქნება ნული.
სიბრტყეებს შორის მანძილის განსაზღვრის პრობლემა
ცნობილია, რომ ორი სიბრტყე მოცემულია შემდეგი გამონათქვამებით:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
აუცილებელია დაამტკიცოს, რომ სიბრტყეები პარალელურია და ასევე განვსაზღვროთ მათ შორის მანძილი.
პრობლემის პირველ ნაწილზე პასუხის გასაცემად, თქვენ უნდა მიიყვანოთ პირველი განტოლება ზოგად ფორმამდე. გაითვალისწინეთ, რომ იგი მოცემულია ე.წ. განტოლების სახით სეგმენტებში. გაამრავლეთ მისი მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები 15-ზე და გადაიტანეთ ყველა წევრი განტოლების ერთ მხარეს, მივიღებთ:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
მოდით ჩამოვწეროთ სიბრტყეების ორი ნორმალური ვექტორის კოორდინატები:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
შეიძლება ნახოთ, რომ თუ n2¯ გამრავლდება 5-ზე, მაშინ ზუსტად მივიღებთ კოორდინატებს n1¯. ამრიგად, განხილული თვითმფრინავები არიანპარალელურად.
პარალელურ სიბრტყეებს შორის მანძილის გამოსათვლელად აირჩიეთ პირველი მათგანის თვითნებური წერტილი და გამოიყენეთ ზემოაღნიშნული ფორმულა. მაგალითად, ავიღოთ წერტილი (0, 0, 1), რომელიც ეკუთვნის პირველ სიბრტყეს. შემდეგ მივიღებთ:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 სმ.
სასურველი მანძილი არის 31 მმ.
მანძილი თვითმფრინავსა და ხაზს შორის
მოწოდებული თეორიული ცოდნა ასევე საშუალებას გვაძლევს გადავჭრათ სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის მანძილის განსაზღვრის პრობლემა. ზემოთ უკვე აღინიშნა, რომ ფორმულა, რომელიც მოქმედებს თვითმფრინავებს შორის გამოთვლებისთვის, უნივერსალურია. ის ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას პრობლემის გადასაჭრელად. ამისათვის უბრალოდ აირჩიეთ ნებისმიერი წერტილი, რომელიც ეკუთვნის მოცემულ ხაზს.
მთავარი პრობლემა განხილულ გეომეტრიულ ელემენტებს შორის მანძილის განსაზღვრისას არის მათი პარალელურობის დადასტურება (თუ არა, მაშინ d=0). პარალელიზმი ადვილი დასამტკიცებელია, თუ გამოვთვლით ნორმალურის სკალარული ნამრავლს და წრფის მიმართულების ვექტორს. თუ განხილული ელემენტები პარალელურია, მაშინ ეს ნამრავლი იქნება ნულის ტოლი.
