სიბრტყის განტოლებები. კუთხე ორ სიბრტყეს შორის

2024 ავტორი: Angel Austin | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-02 17:50

სიბრტყე, წერტილთან და სწორ ხაზთან ერთად, ძირითადი გეომეტრიული ელემენტია. მისი გამოყენებით აგებულია სივრცითი გეომეტრიის მრავალი ფიგურა. ამ სტატიაში უფრო დეტალურად განვიხილავთ კითხვას, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ კუთხე ორ სიბრტყეს შორის.

კონცეფცია

სანამ ორ სიბრტყეს შორის კუთხეზე ვისაუბრებთ, კარგად უნდა გესმოდეთ, გეომეტრიის რომელ ელემენტზეა საუბარი. მოდით გავიგოთ ტერმინოლოგია. სიბრტყე არის წერტილების გაუთავებელი კოლექცია სივრცეში, რომელთა დამაკავშირებელიც ვიღებთ ვექტორებს. ეს უკანასკნელი პერპენდიკულარული იქნება რომელიმე ვექტორის მიმართ. მას ჩვეულებრივ უწოდებენ თვითმფრინავის ნორმას.

ზემოთ ნახაზი გვიჩვენებს სიბრტყეს და მის ორ ნორმალურ ვექტორს. ჩანს, რომ ორივე ვექტორი ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე დევს. კუთხე მათ შორის არის 180o.

განტოლებები

კუთხე ორ სიბრტყეს შორის შეიძლება განისაზღვროს, თუ ცნობილია განხილული გეომეტრიული ელემენტის მათემატიკური განტოლება. ასეთი განტოლებების რამდენიმე ტიპი არსებობს,რომელთა სახელები ჩამოთვლილია ქვემოთ:

• ზოგადი ტიპი;
• ვექტორი;
• სეგმენტებში.

ეს სამი ტიპი ყველაზე მოსახერხებელია სხვადასხვა სახის პრობლემების გადასაჭრელად, ამიტომ ისინი ყველაზე ხშირად გამოიყენება.

ზოგადი ტიპის განტოლება ასე გამოიყურება:

Ax + By + Cz + D=0.

აქ x, y, z არის მოცემული სიბრტყის კუთვნილი თვითნებური წერტილის კოორდინატები. პარამეტრები A, B, C და D არის რიცხვები. ამ აღნიშვნის მოხერხებულობა მდგომარეობს იმაში, რომ რიცხვები A, B, C არის სიბრტყის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები.

სიბრტყის ვექტორული ფორმა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(ა ₂, b₂, c_2).

აქ (a₂, b₂, c₂) და (ა ₁, b₁, c₁) - ორი კოორდინატთა ვექტორის პარამეტრები, რომლებიც განხილულ სიბრტყეს ეკუთვნის. წერტილი (x₀, y₀, z_{0) ასევე დევს ამ სიბრტყეში. პარამეტრებს α და β შეუძლიათ მიიღონ დამოუკიდებელი და თვითნებური მნიშვნელობები.}

ბოლოს, სიბრტყის განტოლება სეგმენტებში წარმოდგენილია შემდეგი მათემატიკური ფორმით:

x/p + y/q + z/l=1.

აქ p, q, l არის კონკრეტული რიცხვები (უარყოფითი რიცხვების ჩათვლით). ასეთი განტოლება სასარგებლოა, როდესაც საჭიროა სიბრტყის გამოსახვა მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, რადგან რიცხვები p, q, l გვიჩვენებს გადაკვეთის წერტილებს x, y და z ღერძებთან.თვითმფრინავი.

გაითვალისწინეთ, რომ თითოეული ტიპის განტოლება შეიძლება გადაკეთდეს ნებისმიერ სხვაზე მარტივი მათემატიკური ოპერაციების გამოყენებით.

ორ სიბრტყეს შორის კუთხის ფორმულა

ახლა განიხილეთ შემდეგი ნიუანსი. სამგანზომილებიან სივრცეში ორი თვითმფრინავი შეიძლება განთავსდეს მხოლოდ ორი გზით. ან იკვეთება, ან იყოს პარალელური. ორ სიბრტყეს შორის, კუთხე არის ის, რაც მდებარეობს მათ სახელმძღვანელო ვექტორებს შორის (ნორმალური). იკვეთება, 2 ვექტორი ქმნის 2 კუთხეს (ზოგად შემთხვევაში მწვავე და ბლაგვი). სიბრტყეებს შორის კუთხე ითვლება მკვეთრად. განვიხილოთ განტოლება.

ორ სიბრტყეს შორის კუთხის ფორმულა არის:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

ადვილი მისახვედრია, რომ ეს გამოხატულება არის n₁¯ და n₂ ნორმალური ვექტორების სკალარული ნამრავლის პირდაპირი შედეგი. ¯ განხილული თვითმფრინავებისთვის. წერტილის ნამრავლის მოდული მრიცხველში მიუთითებს, რომ კუთხე θ მიიღებს მხოლოდ მნიშვნელობებს 0^o -დან 90^{o-მდე. ნორმალური ვექტორების ნამრავლი მნიშვნელში ნიშნავს მათი სიგრძის ნამრავლს.}

შენიშვნა, თუ (n₁¯n_{2¯)=0, მაშინ სიბრტყეები იკვეთება მართი კუთხით.}

პრობლემის მაგალითი

როდესაც გავარკვიეთ რას ჰქვია კუთხე ორ სიბრტყეს შორის, ჩვენ მოვაგვარებთ შემდეგ პრობლემას. Როგორც მაგალითი. ასე რომ, აუცილებელია გამოვთვალოთ კუთხე ასეთ სიბრტყეებს შორის:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

პრობლემის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იცოდეთ სიბრტყეების მიმართულების ვექტორები. პირველი სიბრტყისთვის ნორმალური ვექტორია: n₁¯=(2, -3, 0). მეორე სიბრტყის ნორმალური ვექტორის საპოვნელად, უნდა გავამრავლოთ ვექტორები α და β პარამეტრების შემდეგ. შედეგი არის ვექტორი: n_{2¯=(5, -3, 2).}

თ კუთხის დასადგენად, ვიყენებთ წინა აბზაცის ფორმულას. ჩვენ ვიღებთ:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 რად.

გამოთვლილი კუთხე რადიანებში შეესაბამება 31,26^o. ამრიგად, პრობლემის მდგომარეობიდან სიბრტყეები იკვეთება 31, 26^{o კუთხით..}