სიბრტყეების პარალელურობისა და პერპენდიკულარობის დასადგენად, ასევე ამ გეომეტრიულ ობიექტებს შორის მანძილების გამოსათვლელად მოსახერხებელია ამა თუ იმ ტიპის რიცხვითი ფუნქციების გამოყენება. რა პრობლემებისთვის არის მოსახერხებელი სიბრტყის განტოლების გამოყენება სეგმენტებში? ამ სტატიაში განვიხილავთ რა არის და როგორ გამოვიყენოთ იგი პრაქტიკულ ამოცანებში.
რა არის განტოლება წრფის სეგმენტებში?
თვითმფრინავი შეიძლება განისაზღვროს 3D სივრცეში რამდენიმე გზით. ამ სტატიაში ზოგიერთი მათგანი მოცემულია სხვადასხვა ტიპის პრობლემების გადაჭრისას. აქ ჩვენ ვაძლევთ განტოლების დეტალურ აღწერას სიბრტყის სეგმენტებში. მას ჩვეულებრივ აქვს შემდეგი ფორმა:
x/p + y/q + z/r=1.
სადაც სიმბოლოები p, q, r აღნიშნავენ ზოგიერთ კონკრეტულ რიცხვს. ეს განტოლება ადვილად შეიძლება ითარგმნოს ზოგად გამოსახულებაში და სიბრტყის ციფრული ფუნქციების სხვა ფორმებში.
განტოლების სეგმენტებში ჩაწერის მოხერხებულობა მდგომარეობს იმაში, რომ იგი შეიცავს სიბრტყის გადაკვეთის აშკარა კოორდინატებს პერპენდიკულარულ კოორდინატულ ღერძებთან. x-ღერძზესაწყისთან შედარებით, სიბრტყე წყვეტს p სიგრძის სეგმენტს, y ღერძზე - q-ის ტოლი, z - სიგრძის r.
თუ სამი ცვლადიდან რომელიმე არ არის განტოლებაში, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ სიბრტყე არ გადის შესაბამის ღერძზე (მათემატიკოსები ამბობენ, რომ ის კვეთს უსასრულობას).
შემდეგი, აქ არის რამდენიმე პრობლემა, რომლებშიც ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა ვიმუშაოთ ამ განტოლებასთან.
ზოგადი და განტოლებების სეგმენტებში კომუნიკაცია
ცნობილია, რომ თვითმფრინავი მოცემულია შემდეგი ტოლობით:
2x - 3y + z - 6=0.
აუცილებელია სიბრტყის ზოგადი განტოლების ჩაწერა სეგმენტებად.
როდესაც მსგავსი პრობლემა წარმოიქმნება, თქვენ უნდა მიჰყვეთ ამ ტექნიკას: ჩვენ გადავიტანთ თავისუფალ ტერმინს ტოლობის მარჯვენა მხარეს. შემდეგ ჩვენ ვყოფთ მთელ განტოლებას ამ ტერმინზე, ვცდილობთ გამოვხატოთ იგი წინა აბზაცში მოცემული ფორმით. ჩვენ გვაქვს:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
ჩვენ სეგმენტებში მივიღეთ სიბრტყის განტოლება, რომელიც თავდაპირველად მოცემულია ზოგადი ფორმით. შესამჩნევია, რომ თვითმფრინავი წყვეტს სეგმენტებს 3, 2 და 6 სიგრძით x, y და z ღერძებისთვის, შესაბამისად. y-ღერძი კვეთს სიბრტყეს უარყოფით კოორდინატთა არეში.
სეგმენტებში განტოლების შედგენისას მნიშვნელოვანია, რომ ყველა ცვლადს წინ უძღვის "+" ნიშანი. მხოლოდ ამ შემთხვევაში, რიცხვი, რომელზეც ეს ცვლადი იყოფა, აჩვენებს ღერძზე ამოჭრილ კოორდინატს.
ნორმალური ვექტორი და წერტილი სიბრტყეზე
ცნობილია, რომ ზოგიერთ სიბრტყეს აქვს მიმართულების ვექტორი (3; 0; -1). ასევე ცნობილია, რომ ის გადის წერტილში (1; 1; 1). ამ სიბრტყისთვის დაწერეთ განტოლება სეგმენტებად.
ამ პრობლემის გადასაჭრელად, ჯერ უნდა გამოიყენოთ ამ ორგანზომილებიანი გეომეტრიული ობიექტის ზოგადი ფორმა. ზოგადი ფორმა იწერება როგორც:
Ax + By + Cz + D=0.
პირველი სამი კოეფიციენტი აქ არის სახელმძღვანელო ვექტორის კოორდინატები, რომელიც მითითებულია პრობლემის დებულებაში, ანუ:
A=3;
B=0;
C=-1.
რჩება თავისუფალი ტერმინის პოვნა D. ის შეიძლება განისაზღვროს შემდეგი ფორმულით:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
სადაც კოორდინატთა მნიშვნელობები 1 ინდექსით შეესაბამება სიბრტყის კუთვნილი წერტილის კოორდინატებს. ჩვენ ვცვლით მათ მნიშვნელობებს პრობლემის მდგომარეობიდან, ვიღებთ:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
ახლა შეგიძლიათ დაწეროთ სრული განტოლება:
3x - z - 2=0.
ამ გამონათქვამის გადაქცევის ტექნიკა განტოლებად სიბრტყის სეგმენტებში უკვე ნაჩვენებია ზემოთ. გამოიყენეთ იგი:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
პრობლემაზე პასუხი მიღებულია. გაითვალისწინეთ, რომ ეს სიბრტყე კვეთს მხოლოდ x და z ღერძებს. y-ისთვის ის პარალელურია.
ორი სწორი ხაზი, რომელიც განსაზღვრავს სიბრტყეს
სივრცითი გეომეტრიის კურსიდან ყველა სტუდენტმა იცის, რომ ორი თვითნებური ხაზი ცალსახად განსაზღვრავს სიბრტყესსამგანზომილებიანი სივრცე. მოდით გადავჭრათ მსგავსი პრობლემა.
ცნობილია წრფეების ორი განტოლება:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
აუცილებელია ჩამოვწეროთ სიბრტყის განტოლება სეგმენტებად, რომლებიც გადის ამ ხაზებში.
რადგან ორივე წრფე უნდა იყოს სიბრტყეში, ეს ნიშნავს, რომ მათი ვექტორები (გამგზავნები) უნდა იყოს პერპენდიკულარული სიბრტყის ვექტორის (მეგზურის) მიმართ. ამავდროულად, ცნობილია, რომ თვითნებური ორი მიმართული სეგმენტის ვექტორული ნამრავლი იძლევა შედეგს მესამე კოორდინატების სახით, ორ თავდაპირველზე პერპენდიკულარულად. ამ თვისებიდან გამომდინარე, ჩვენ ვიღებთ ვექტორის კოორდინატებს ნორმალური სასურველ სიბრტყეზე:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
რადგან ის შეიძლება გამრავლდეს თვითნებურ რიცხვზე, ეს ქმნის ახალ მიმართულ სეგმენტს ორიგინალის პარალელურად, შეგვიძლია მიღებული კოორდინატების ნიშანი შევცვალოთ საპირისპიროდ (გამრავლება -1-ზე), მივიღებთ:
(1; 2; 1).
ჩვენ ვიცით მიმართულების ვექტორი. რჩება ერთ-ერთი სწორი ხაზის თვითნებური წერტილის აღება და სიბრტყის ზოგადი განტოლების შედგენა:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
ამ ტოლობის გადათარგმნით გამოსახულებად სეგმენტებში, მივიღებთ:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
ამგვარად, სიბრტყე კვეთს სამივე ღერძს კოორდინატთა სისტემის დადებით მხარეში.
სამი ქულა და თვითმფრინავი
ისევე როგორც ორი სწორი ხაზი, სამი წერტილი ცალსახად განსაზღვრავს სიბრტყეს სამგანზომილებიან სივრცეში. შესაბამის განტოლებას ვწერთ სეგმენტებად, თუ ცნობილია სიბრტყეში მდებარე წერტილების შემდეგი კოორდინატები:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
მოდით გავაკეთოთ შემდეგი: გამოვთვალოთ ამ წერტილების დამაკავშირებელი ორი თვითნებური ვექტორის კოორდინატები, შემდეგ ვიპოვოთ სიბრტყის n¯ ნორმალური ვექტორი ნაპოვნი მიმართული სეგმენტების ნამრავლის გამოთვლით. ჩვენ ვიღებთ:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
მაგალითად აიღეთ წერტილი P, შეადგინეთ სიბრტყის განტოლება:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 ან z=0.
მივიღეთ მარტივი გამოხატულება, რომელიც შეესაბამება xy სიბრტყეს მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში. ის არ შეიძლება დაიწეროს სეგმენტებად, რადგან x და y ღერძი ეკუთვნის სიბრტყეს, ხოლო z ღერძზე მოწყვეტილი სეგმენტის სიგრძე არის ნული (წერტილი (0; 0; 0) ეკუთვნის სიბრტყეს).
