ხშირად ფიზიკაში უნდა გადაჭრას პრობლემები წონასწორობის გამოსათვლელად რთულ სისტემებში, რომლებსაც აქვთ მრავალი მოქმედი ძალა, ბერკეტი და ბრუნვის ღერძი. ამ შემთხვევაში, ძალის მომენტის კონცეფციის გამოყენება ყველაზე მარტივია. ეს სტატია გთავაზობთ ყველა საჭირო ფორმულას დეტალური ახსნა-განმარტებით, რომლებიც უნდა იქნას გამოყენებული დასახელებული ტიპის ამოცანების გადასაჭრელად.
რაზე ვისაუბროთ?
ბევრმა ადამიანმა ალბათ შენიშნა, რომ თუ რაიმე ძალით იმოქმედებთ გარკვეულ წერტილში დაფიქსირებულ ობიექტზე, ის იწყებს ბრუნვას. ნათელი მაგალითია სახლის ან ოთახის კარი. თუ აიღებთ სახელურს და დააჭერთ (ძალას მიმართავთ), მაშინ ის დაიწყებს გახსნას (ჩართეთ მისი რქები). ეს პროცესი არის ფიზიკური სიდიდის მოქმედების გამოვლინება ყოველდღიურ ცხოვრებაში, რომელსაც ძალის მომენტი ეწოდება..
კარის აღწერილი მაგალითიდან გამომდინარეობს, რომ მოცემული მნიშვნელობა მიუთითებს ძალის ბრუნვის უნარზე, რაც არის მისი ფიზიკური მნიშვნელობა. ასევე ეს მნიშვნელობაბრუნვის მომენტს უწოდებენ.
ძალის მომენტის განსაზღვრა
განხილული რაოდენობის განსაზღვრამდე, გადავიღოთ მარტივი სურათი.
ასე რომ, ფიგურაში ნაჩვენებია ბერკეტი (ლურჯი), რომელიც ფიქსირდება ღერძზე (მწვანე). ამ ბერკეტს აქვს სიგრძე d და მის ბოლოზე მოქმედებს ძალა F. რა მოუვა სისტემას ამ შემთხვევაში? ასეა, ბერკეტი დაიწყებს ბრუნვას საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ზემოდან დანახვისას (გაითვალისწინეთ, რომ თუ ოდნავ გაჭიმავთ ფანტაზიას და წარმოიდგინეთ, რომ ხედი ქვემოდან არის მიმართული ბერკეტისკენ, მაშინ ის ბრუნავს საათის ისრის მიმართულებით).
ეწოდოს ღერძის მიმაგრების წერტილი O, ხოლო ძალის გამოყენების წერტილი - P. შემდეგ შეგვიძლია დავწეროთ შემდეგი მათემატიკური გამოთქმა:
OP¯ F¯=M¯FO.
სადაც OP¯ არის ვექტორი, რომელიც მიმართულია ღერძიდან ბერკეტის ბოლომდე, მას ასევე უწოდებენ ძალის ბერკეტს, F¯არის P წერტილის მიმართ გამოყენებული ძალის ვექტორი, ხოლო M¯FO არის ძალის მომენტი O წერტილის გარშემო (ღერძი). ეს ფორმულა არის მოცემული ფიზიკური სიდიდის მათემატიკური განმარტება.
მომენტის მიმართულება და მარჯვენა ხელის წესი
ზემოთ გამოხატული ჯვარედინი პროდუქტია. მოგეხსენებათ, მისი შედეგი ასევე არის ვექტორი, რომელიც პერპენდიკულარულია შესაბამის მულტიპლიკატორ ვექტორებში გამავალ სიბრტყეზე. ეს პირობა აკმაყოფილებს M¯FO მნიშვნელობის ორი მიმართულებით (ქვემოთ და ზემოთ).
უნიკალურადდასადგენად, უნდა გამოვიყენოთ ე.წ. მარჯვენა ხელის წესი. ის შეიძლება ასე ჩამოყალიბდეს: თუ მარჯვენა ხელის ოთხ თითს მოახრევთ ნახევრად რკალად და მიმართავთ ამ ნახევარ რკალს ისე, რომ ის წავიდეს პირველი ვექტორის გასწვრივ (ფორმულის პირველი ფაქტორი) და მივიდეს ბოლომდე. მეორე, შემდეგ ზევით გამოწეული ცერა თითი მიუთითებს ბრუნვის მომენტის მიმართულებას. ასევე გაითვალისწინეთ, რომ ამ წესის გამოყენებამდე თქვენ უნდა დააყენოთ გამრავლებული ვექტორები ისე, რომ ისინი გამოვიდნენ ერთი და იგივე წერტილიდან (მათი საწყისი უნდა ემთხვეოდეს).
წინა აბზაცის ფიგურის შემთხვევაში, მარჯვენა ხელის წესის გამოყენებით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ღერძის მიმართ ძალის მომენტი მიმართული იქნება ზემოთ, ანუ ჩვენკენ..
მ ვექტორის მიმართულების განსაზღვრის მარკირებული მეთოდის გარდა, არსებობს კიდევ ორი. აი ისინი:
- ბრუნვის მომენტი იქნება მიმართული ისე, რომ თუ დააკვირდებით მბრუნავ ბერკეტს მისი ვექტორის ბოლოდან, ეს უკანასკნელი მოძრაობს საათის საწინააღმდეგოდ. ზოგადად მიღებულია მომენტის ამ მიმართულების დადებითად განხილვა სხვადასხვა სახის პრობლემების გადაჭრისას.
- თუ ღრძილს საათის ისრის მიმართულებით ატრიალებთ, ბრუნი მიმართული იქნება ღრმულის მოძრაობისკენ (გაღრმავებისკენ).
ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი განმარტება ექვივალენტურია, ამიტომ ყველას შეუძლია აირჩიოს მისთვის მოსახერხებელი.
მაშ, აღმოჩნდა, რომ ძალის მომენტის მიმართულება პარალელურია იმ ღერძისა, რომლის გარშემოც ბრუნავს შესაბამისი ბერკეტი.
კუთხოვანი ძალა
გაითვალისწინეთ ქვემოთ მოცემული სურათი.
აქ ასევე ვხედავთ L სიგრძის ბერკეტს, რომელიც ფიქსირდება წერტილში (მითითებულია ისრით). მასზე მოქმედებს ძალა F, თუმცა ის მიმართულია გარკვეული კუთხით Φ (ph) ჰორიზონტალურ ბერკეტზე. მომენტის მიმართულება M¯FO ამ შემთხვევაში იქნება იგივე, რაც წინა ფიგურაში (ჩვენზე). ამ რაოდენობის აბსოლუტური მნიშვნელობის ან მოდულის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ჯვარედინი პროდუქტის თვისება. მისი თქმით, განსახილველ მაგალითზე შეგიძლიათ დაწეროთ გამოთქმა: MFOO=LFsin(180 o -Φ) ან სინუს თვისების გამოყენებით, ჩვენ ხელახლა ვწერთ:
MFO=LFsin(Φ).
სურათზე ასევე ნაჩვენებია დასრულებული მართკუთხა სამკუთხედი, რომლის გვერდებია თავად ბერკეტი (ჰიპოტენუზა), ძალის მოქმედების ხაზი (ფეხი) და d სიგრძის გვერდი (მეორე ფეხი). იმის გათვალისწინებით, რომ sin(Φ)=d/L, ეს ფორმულა მიიღებს ფორმას: MFO=dF. ჩანს, რომ მანძილი d არის მანძილი ბერკეტის მიმაგრების წერტილიდან ძალის მოქმედების ხაზამდე, ანუ d არის ძალის ბერკეტი..
ამ პარაგრაფში განხილული ორივე ფორმულა, რომელიც პირდაპირ გამომდინარეობს ბრუნვის მომენტის განმარტებიდან, გამოსადეგია პრაქტიკული ამოცანების გადასაჭრელად.
ბრუნვის ერთეული
განმარტების გამოყენებით შეიძლება დადგინდეს, რომ მნიშვნელობა MFO უნდა გაიზომოს ნიუტონებში მეტრზე (Nm). მართლაც, ამ ერთეულების სახით ის გამოიყენება SI-ში.
გაითვალისწინეთ, რომ Nm არის სამუშაო ერთეული, რომელიც გამოიხატება ჯოულებში, ისევე როგორც ენერგია. მიუხედავად ამისა, ჯოული არ გამოიყენება ძალის მომენტის კონცეფციისთვის, რადგან ეს მნიშვნელობა ზუსტად ასახავს ამ უკანასკნელის განხორციელების შესაძლებლობას. თუმცა, არსებობს კავშირი სამუშაოს ერთეულთან: თუ F ძალის შედეგად ბერკეტი მთლიანად შემოტრიალდება თავისი ღერძული წერტილის გარშემო O, მაშინ შესრულებული სამუშაო ტოლი იქნება A=MF. O 2pi (2pi არის კუთხე რადიანებში, რომელიც შეესაბამება 360o). ამ შემთხვევაში ბრუნვის ერთეული MFO შეიძლება გამოისახოს ჯოულებში რადიანზე (ჯ/რად.). ეს უკანასკნელი, Hm-თან ერთად, ასევე გამოიყენება SI სისტემაში.
ვარინიონის თეორემა
მე-17 საუკუნის ბოლოს, ფრანგმა მათემატიკოსმა პიერ ვარინიონმა, ბერკეტებით სისტემების წონასწორობის შესწავლისას, პირველად ჩამოაყალიბა თეორემა, რომელიც ახლა მის გვარს ატარებს. იგი ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: რამდენიმე ძალის ჯამური მომენტი უდრის შედეგად მიღებული ერთი ძალის მომენტს, რომელიც მიმართულია გარკვეულ წერტილზე ბრუნვის იმავე ღერძის მიმართ. მათემატიკურად, ის შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
M¯1+M¯2 +…+M¯=M¯=d¯ ∑ i=1(F¯i )=d¯F¯.
ეს თეორემა მოსახერხებელია გამოსათვლელად ბრუნვის მომენტების გამოსათვლელად სისტემებში მრავალი მოქმედი ძალით.
შემდეგ, ჩვენ ვაძლევთ მაგალითს ზემოთ მოყვანილი ფორმულების გამოყენების შესახებ ფიზიკაში ამოცანების გადასაჭრელად.
ქანჩის პრობლემა
ერთიძალის მომენტის გათვალისწინების მნიშვნელობის დემონსტრირების თვალსაჩინო მაგალითია თხილის ქანჩით ამოღების პროცესი. თხილის გასახსნელად საჭიროა გარკვეული ბრუნვის გამოყენება. აუცილებელია გამოვთვალოთ რამდენი ძალა უნდა იქნას გამოყენებული A წერტილში თხილის ამოხსნის დასაწყებად, თუ ეს ძალა B წერტილში არის 300 N (იხ. სურათი ქვემოთ).
ზემოხსენებული ფიგურიდან გამომდინარეობს ორი მნიშვნელოვანი რამ: პირველი, მანძილი OB ორჯერ მეტია OA-ზე; მეორეც, ძალები FA და FBმიმართულია შესაბამისი ბერკეტის პერპენდიკულურად, ბრუნვის ღერძით, რომელიც ემთხვევა თხილის ცენტრს (O წერტილი).
ბრუნვის მომენტი ამ შემთხვევისთვის შეიძლება ჩაიწეროს სკალარული ფორმით შემდეგნაირად: M=OBFB=OAFA. ვინაიდან OB/OA=2, ეს თანასწორობა შენარჩუნდება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ FA არის 2-ჯერ მეტი ვიდრე FB. პრობლემის მდგომარეობიდან ვიღებთ, რომ FA=2300=600 N. ანუ, რაც უფრო გრძელია გასაღები, მით უფრო ადვილია თხილის ამოღება.
პრობლემა სხვადასხვა მასის ორი ბურთით
ქვემოთ მოცემული ფიგურა აჩვენებს სისტემას, რომელიც წონასწორობაშია. აუცილებელია საყრდენი წერტილის პოზიციის პოვნა, თუ დაფის სიგრძე 3 მეტრია.
რადგან სისტემა წონასწორობაშია, ყველა ძალის მომენტების ჯამი ნულის ტოლია. დაფაზე მოქმედებს სამი ძალა (ორი ბურთის წონა და საყრდენის რეაქცია). ვინაიდან დამხმარე ძალა არ ქმნის ბრუნვის მომენტს (ბერკეტის სიგრძე ნულის ტოლია), ბურთების წონით იქმნება მხოლოდ ორი მომენტი.
დაე, წონასწორობის წერტილი იყოს x-დანკიდე, რომელიც შეიცავს 100 კგ ბურთულას. მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ ტოლობა: M1-M2=0. ვინაიდან სხეულის წონა განისაზღვრება mg ფორმულით, მაშინ გვაქვს: m 1gx - m2g(3-x)=0. ვამცირებთ g და ვცვლით მონაცემებს, ვიღებთ: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0.143 მ ან 14.3 სმ.
ამგვარად, იმისთვის, რომ სისტემა წონასწორობაში იყოს, აუცილებელია დადგინდეს საცნობარო წერტილი კიდედან 14,3 სმ მანძილზე, სადაც დაიდება 100 კგ მასის ბურთი..
