თვითმფრინავი კოსმოსში. თვითმფრინავების მდებარეობა სივრცეში

2024 ავტორი: Angel Austin | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-02 17:50

სიბრტყე არის გეომეტრიული ობიექტი, რომლის თვისებები გამოიყენება წერტილებისა და წრფეების პროგნოზების აგებისას, აგრეთვე სამგანზომილებიანი ფიგურების ელემენტებს შორის მანძილებისა და ორმხრივი კუთხეების გაანგარიშებისას. მოდით განვიხილოთ ამ სტატიაში რა განტოლებები შეიძლება გამოვიყენოთ სიბრტყეების მდებარეობის შესასწავლად სივრცეში.

თვითმფრინავის განმარტება

ყველა ინტუიციურად წარმოიდგენს რა ობიექტს განიხილავენ. გეომეტრიული თვალსაზრისით, სიბრტყე არის წერტილების ერთობლიობა, რომელთა შორის ნებისმიერი ვექტორი უნდა იყოს პერპენდიკულარული რომელიმე ვექტორის მიმართ. მაგალითად, თუ სივრცეში m სხვადასხვა წერტილია, მაშინ m(m-1) / 2 სხვადასხვა ვექტორი შეიძლება გაკეთდეს მათგან, რომლებიც აკავშირებს წერტილებს წყვილებში. თუ ყველა ვექტორი პერპენდიკულარულია რომელიმე მიმართულების მიმართ, მაშინ ეს საკმარისი პირობაა, რომ ყველა წერტილი m მიეკუთვნებოდეს იმავე სიბრტყეს.

ზოგადი განტოლება

სივრცულ გეომეტრიაში სიბრტყე აღწერილია განტოლებების გამოყენებით, რომლებიც ჩვეულებრივ შეიცავს სამ უცნობ კოორდინატს, რომლებიც შეესაბამება x, y და z ღერძებს. რომმიიღეთ ზოგადი განტოლება სიბრტყის კოორდინატებში სივრცეში, დავუშვათ, რომ არის ვექტორი n¯(A; B; C) და წერტილი M(x₀; y₀; z_{0). ამ ორი ობიექტის გამოყენებით, თვითმფრინავი შეიძლება ცალსახად განისაზღვროს.}

ნამდვილად, დავუშვათ, არის მეორე წერტილი P(x; y; z), რომლის კოორდინატები უცნობია. ზემოთ მოცემული განმარტების მიხედვით, ვექტორი MP¯ უნდა იყოს n¯-ზე პერპენდიკულარული, ანუ მათთვის სკალარული ნამრავლი ნულის ტოლია. შემდეგ შეგვიძლია დავწეროთ შემდეგი გამოთქმა:

(n¯MP¯)=0 ან

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

ფრჩხილების გახსნით და ახალი კოეფიციენტის D შემოღებით, მივიღებთ გამოთქმას:

Ax + By + Cz + D=0 სადაც D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

ამ გამოსახულებას ეწოდება სიბრტყის ზოგადი განტოლება. მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ x, y და z-ის წინ კოეფიციენტები ქმნიან სიბრტყის პერპენდიკულარულ n¯(A; B; C) ვექტორის კოორდინატებს. ის ემთხვევა ნორმალურს და არის თვითმფრინავის მეგზური. ზოგადი განტოლების დასადგენად არ აქვს მნიშვნელობა სად არის მიმართული ეს ვექტორი. ანუ n¯ და -n¯ ვექტორებზე აგებული სიბრტყეები იგივე იქნება.

ზემოთ სურათზე ნაჩვენებია სიბრტყე, მისთვის ნორმალური ვექტორი და სიბრტყის პერპენდიკულარული წრფე.

სიბრტყით ამოჭრილი სეგმენტები ღერძებზე და შესაბამისი განტოლება

ზოგადი განტოლება საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ მარტივი მათემატიკური ოპერაციები, რათა დადგინდეს, inრომელ წერტილებში გადაკვეთს სიბრტყე კოორდინატთა ღერძებს. მნიშვნელოვანია იცოდეთ ეს ინფორმაცია იმისთვის, რომ გქონდეთ წარმოდგენა თვითმფრინავის პოზიციის შესახებ, ისევე როგორც ნახაზებზე მისი გამოსახვისას.

დასახელებული გადაკვეთის წერტილების დასადგენად გამოიყენება განტოლება სეგმენტებში. მას ეძახიან იმიტომ, რომ ცალსახად შეიცავს სიბრტყით მოწყვეტილი სეგმენტების სიგრძის მნიშვნელობებს კოორდინატთა ღერძებზე, წერტილიდან დათვლისას (0; 0; 0). მივიღოთ ეს განტოლება.

დაწერეთ სიბრტყის ზოგადი გამოხატულება შემდეგნაირად:

Ax + By + Cz=-D

მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები შეიძლება გაიყოს -D-ზე ტოლობის დარღვევის გარეშე. ჩვენ გვაქვს:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 ან

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

შექმენით თითოეული ტერმინის მნიშვნელები ახალი სიმბოლოთი, მივიღებთ:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C შემდეგ

x/p + y/q + z/r=1

ეს არის ზემოთ ნახსენები განტოლება სეგმენტებში. აქედან გამომდინარეობს, რომ თითოეული წევრის მნიშვნელის მნიშვნელობა მიუთითებს გადაკვეთის კოორდინატზე სიბრტყის შესაბამის ღერძთან. მაგალითად, ის კვეთს y ღერძს წერტილში (0; q; 0). ამის გაგება ადვილია, თუ თქვენ ჩაანაცვლებთ ნულოვან x და z კოორდინატებს განტოლებაში.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ სეგმენტებში არ არის ცვლადი განტოლებაში, ეს ნიშნავს, რომ სიბრტყე არ კვეთს შესაბამის ღერძს. მაგალითად, მოცემული გამოთქმა:

x/p + y/q=1

ეს ნიშნავს, რომ სიბრტყე მოწყვეტს p და q სეგმენტებს x და y ღერძებზე, შესაბამისად, მაგრამ იქნება z ღერძის პარალელური.

დასკვნა თვითმფრინავის ქცევის შესახებ, როდესაცზოგიერთი ცვლადის არარსებობა მის განტოლებაში ასევე მართალია ზოგადი ტიპის გამოხატულებისთვის, როგორც ეს ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ სურათზე.

ვექტორული პარამეტრული განტოლება

არის მესამე სახის განტოლება, რომელიც საშუალებას გაძლევთ აღწეროთ სიბრტყე სივრცეში. მას პარამეტრულ ვექტორს უწოდებენ, რადგან იგი მოცემულია სიბრტყეში მოთავსებული ორი ვექტორით და ორი პარამეტრით, რომლებსაც შეუძლიათ მიიღონ თვითნებური დამოუკიდებელი მნიშვნელობები. მოდით ვაჩვენოთ, როგორ შეიძლება ამ განტოლების მიღება.

დავუშვათ, რომ არსებობს რამდენიმე ცნობილი ვექტორი u ¯(a₁; b₁; c₁) და v¯(a₂; b₂; c₂). თუ ისინი არ არიან პარალელური, მაშინ ისინი შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული სიბრტყის დასაყენებლად ერთ-ერთი ამ ვექტორის დასაწყისის დაფიქსირებით ცნობილ წერტილში M(x₀; y₀; z_{0). თუ თვითნებური ვექტორი MP¯ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც u¯ და v¯ წრფივი ვექტორების კომბინაცია, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ წერტილი P(x; y; z) ეკუთვნის იმავე სიბრტყეს, როგორც u¯, v¯. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ტოლობა:}

MP¯=αu¯ + βv¯

ან ამ ტოლობის დაწერა კოორდინატების მიხედვით, მივიღებთ:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

წარმოდგენილი ტოლობა არის პარამეტრული ვექტორული განტოლება სიბრტყისთვის. ATვექტორულ სივრცეს u¯ და v¯ სიბრტყეზე გენერატორები ეწოდებათ.

შემდეგ, ამოცანის ამოხსნისას ნაჩვენები იქნება, თუ როგორ შეიძლება ამ განტოლების შემცირება სიბრტყის ზოგად ფორმამდე.

კუთხე სიბრტყეებს შორის სივრცეში

ინტუიციურად, 3D სივრცეში თვითმფრინავებს შეუძლიათ გადაკვეთა ან არა. პირველ შემთხვევაში, საინტერესოა მათ შორის კუთხის პოვნა. ამ კუთხის გამოთვლა უფრო რთულია, ვიდრე ხაზებს შორის კუთხე, ვინაიდან საუბარია ორმხრივ გეომეტრიულ ობიექტზე. თუმცა თვითმფრინავისთვის უკვე ნახსენები სახელმძღვანელო ვექტორი შველის.

გეომეტრიულად დადგენილია, რომ დიედრული კუთხე ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის ზუსტად უდრის მათ სახელმძღვანელო ვექტორებს შორის კუთხს. მოდით აღვნიშნოთ ეს ვექტორები n₁¯(a₁; b₁; c₁) და n₂¯(a₂; b₂; c_{2). მათ შორის კუთხის კოსინუსი განისაზღვრება სკალარული პროდუქტით. ანუ, თავად კუთხე სიბრტყეებს შორის სივრცეში შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

აქ მნიშვნელში მოდული გამოიყენება ბლაგვი კუთხის მნიშვნელობის გასაუქმებლად (გადაკვეთის სიბრტყეებს შორის ის ყოველთვის ნაკლებია ან ტოლია 90o-ის).

კოორდინატთა სახით, ეს გამოთქმა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

სიბრტყეები პერპენდიკულარული და პარალელური

თუ სიბრტყეები იკვეთება და მათ მიერ წარმოქმნილი დიედრული კუთხე არის 90o, მაშინ ისინი პერპენდიკულარული იქნება. ასეთი თვითმფრინავების მაგალითია მართკუთხა პრიზმა ან კუბი. ეს ფიგურები ჩამოყალიბებულია ექვსი თვითმფრინავით. დასახელებული ფიგურების თითოეულ წვეროზე არის ერთმანეთის პერპენდიკულარული სამი სიბრტყე.

იმისათვის, რომ გავიგოთ განხილული სიბრტყეები პერპენდიკულარულია თუ არა, საკმარისია გამოვთვალოთ მათი ნორმალური ვექტორების სკალარული ნამრავლი. სიბრტყეების სივრცეში პერპენდიკულარობის საკმარისი პირობაა ამ პროდუქტის ნულოვანი მნიშვნელობა.

პარალელებს უწოდებენ გადამკვეთ სიბრტყეებს. ზოგჯერ იმასაც ამბობენ, რომ პარალელური სიბრტყეები უსასრულობაში იკვეთება. სიბრტყეების სივრცეში პარალელიზმის პირობა ემთხვევა n₁¯ და n_{2¯ მიმართულების ვექტორების იმ პირობას. მისი შემოწმება შეგიძლიათ ორი გზით:}

1. გამოთვალეთ დიედრული კუთხის კოსინუსი (cos(φ)) სკალარული ნამრავლის გამოყენებით. თუ სიბრტყეები პარალელურია, მაშინ მნიშვნელობა იქნება 1.
2. სცადეთ წარმოადგინოთ ერთი ვექტორი მეორის მეშვეობით გამრავლებით ზოგიერთ რიცხვზე, ანუ n₁¯=kn_{2¯. თუ ეს შეიძლება გაკეთდეს, მაშინ შესაბამისი თვითმფრინავებიაპარალელურად.}

სურათზე ნაჩვენებია ორი პარალელური სიბრტყე.

ახლა მოვიყვანოთ მიღებული მათემატიკური ცოდნის გამოყენებით ორი საინტერესო ამოცანის ამოხსნის მაგალითები.

როგორ მივიღოთ ზოგადი ფორმა ვექტორული განტოლებიდან?

ეს არის პარამეტრული ვექტორული გამოხატულება სიბრტყისთვის. მოქმედებების მიმდინარეობისა და გამოყენებული მათემატიკური ხრიკების გასაგებად გასაადვილებლად, განიხილეთ კონკრეტული მაგალითი:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

გაფართოვეთ ეს გამოხატულება და გამოთქვით უცნობი პარამეტრები:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

მერე:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

ბოლო გამოსახულებაში ფრჩხილების გახსნით მივიღებთ:

z=2x-2 + 3y - 6 ან

2x + 3y - z - 8=0

ჩვენ მივიღეთ განტოლების ზოგადი ფორმა პრობლემის დებულებაში მითითებული სიბრტყისთვის ვექტორული ფორმით

როგორ ავაშენოთ თვითმფრინავი სამ წერტილში?

შესაძლებელია ერთი სიბრტყის დახაზვა სამ წერტილში, თუ ეს წერტილები არ მიეკუთვნება რომელიმე სწორ ხაზს. ამ პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი შედგება მოქმედებების შემდეგი თანმიმდევრობისგან:

• იპოვეთ ორი ვექტორის კოორდინატები წყვილი ცნობილი წერტილების შეერთებით;
• გამოთვალეთ მათი ჯვარედინი ნამრავლი და მიიღეთ სიბრტყის ნორმალური ვექტორი;
• დაწერეთ ზოგადი განტოლება ნაპოვნი ვექტორის გამოყენებით დასამი პუნქტიდან რომელიმე.

მოდით ავიღოთ კონკრეტული მაგალითი. მოცემული ქულები:

R(1; 2; 0), P(0; -3; 4), Q(1; -2; 2)

ორი ვექტორის კოორდინატებია:

RP¯(-1; -5; 4), PQ¯(1; 1; -2)

მათი ჯვარედინი პროდუქტი იქნება:

n¯=[RP¯PQ¯]=(6; 2; 4)

R წერტილის კოორდინატების აღებით მივიღებთ საჭირო განტოლებას:

6x + 2y + 4z -10=0 ან

3x + y + 2z -5=0

მიზანშეწონილია შეამოწმოთ შედეგის სისწორე დარჩენილი ორი წერტილის კოორდინატების ჩანაცვლებით ამ გამოსახულებაში:

P-სთვის: 30 + (-3) + 24 -5=0;

Q: 31 + (-2) + 22 -5=0

გაითვალისწინეთ, რომ შესაძლებელი იყო ვექტორული ნამრავლის პოვნა, მაგრამ დაუყოვნებლივ ჩაწერეთ სიბრტყის განტოლება პარამეტრული ვექტორის სახით.