მათემატიკაში გამოცდისთვის მომზადებისას მოსწავლეებმა უნდა მოახდინოს მათი ცოდნის სისტემატიზაცია ალგებრასა და გეომეტრიაში. მსურს გავაერთიანოთ ყველა ცნობილი ინფორმაცია, მაგალითად, როგორ გამოვთვალოთ პირამიდის ფართობი. უფრო მეტიც, დაწყებული ძირიდან და გვერდითი სახეებიდან მთელ ზედაპირზე. თუ სიტუაცია ნათელია გვერდითი სახეებით, რადგან ისინი სამკუთხედები არიან, მაშინ ფუძე ყოველთვის განსხვავებულია.
როგორ მოვძებნოთ პირამიდის ფუძის ფართობი?
ეს შეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი ფორმა: თვითნებური სამკუთხედიდან n-კუთხედამდე. და ეს ბაზა, გარდა კუთხეების რაოდენობის სხვაობისა, შეიძლება იყოს ჩვეულებრივი ფიგურა ან არასწორი. სკოლის მოსწავლეებისთვის საინტერესო USE ამოცანებში არის მხოლოდ დავალებები, სადაც მოცემულია სწორი ფიგურები. ამიტომ, ჩვენ მხოლოდ მათზე ვისაუბრებთ.
რეგულარული სამკუთხედი
ეს არის ტოლგვერდა. ერთი, რომელშიც ყველა მხარე თანაბარია და აღინიშნება ასო "ა". ამ შემთხვევაში, პირამიდის ფუძის ფართობი გამოითვლება ფორმულით:
S=(a2√3) / 4.
კვადრატი
მისი ფართობის გამოთვლის ფორმულა ყველაზე მარტივია,აქ "a" ისევ არის მხარე:
S=a2.
თვითნებური რეგულარული n-gon
მრავალკუთხედის გვერდს იგივე აღნიშვნა აქვს. კუთხეების რაოდენობისთვის გამოიყენება ლათინური ასო n.
S=(na2) / (4tg (180º/n)).
როგორ გამოვთვალოთ გვერდითი და მთლიანი ზედაპირის ფართობი?
რადგან ფუძე არის რეგულარული ფიგურა, პირამიდის ყველა მხარე ტოლია. უფრო მეტიც, თითოეული მათგანი არის ტოლფერდა სამკუთხედი, რადგან გვერდითი კიდეები თანაბარია. შემდეგ, პირამიდის გვერდითი ფართობის გამოსათვლელად, საჭიროა ფორმულა, რომელიც შედგება იდენტური მონომების ჯამისგან. ტერმინების რაოდენობა განისაზღვრება ფუძის გვერდების რაოდენობით.
ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობი გამოითვლება ფორმულით, რომელშიც ფუძის ნამრავლის ნახევარი მრავლდება სიმაღლეზე. პირამიდაში ამ სიმაღლეს აპოთემა ეწოდება. მისი აღნიშვნაა "A". გვერდითი ზედაპირის ზოგადი ფორმულა არის:
S=½ PA, სადაც P არის პირამიდის ფუძის პერიმეტრი.
არის სიტუაციები, როდესაც ფუძის გვერდები უცნობია, მაგრამ მოცემულია გვერდითი კიდეები (c) და ბრტყელი კუთხე მის წვეროზე (α). შემდეგ უნდა გამოვიყენოთ ეს ფორმულა პირამიდის გვერდითი ფართობის გამოსათვლელად:
S=n/2in2 ცოდვა α.
პრობლემა 1
მდგომარეობა. იპოვეთ პირამიდის მთლიანი ფართობი, თუ მისი ფუძე არის ტოლგვერდა სამკუთხედი გვერდით 4 სმ, ხოლო აპოთემა არის √3 სმ.
გადაწყვეტილება. მისითქვენ უნდა დაიწყოთ ბაზის პერიმეტრის გაანგარიშებით. ვინაიდან ეს არის რეგულარული სამკუთხედი, მაშინ P \u003d 34 \u003d 12 სმ. ვინაიდან აპოთემა ცნობილია, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გამოთვალოთ მთელი გვერდითი ზედაპირის ფართობი: ½12√3=6 √3 სმ 2.
ძირის სამკუთხედისთვის მიიღებთ შემდეგ ფართობის მნიშვნელობას: (42√3) / 4=4√3 სმ2.
მთლიანი ფართობის დასადგენად, თქვენ უნდა დაამატოთ მიღებული ორი მნიშვნელობა: 6√3 + 4√3=10√3 სმ2.
პასუხი. 10√3სმ2.
პრობლემა 2
მდგომარეობა. არის რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდა. ძირის გვერდის სიგრძე 7 მმ, გვერდითი კიდე 16 მმ. თქვენ უნდა იცოდეთ მისი ზედაპირის ფართობი.
გადაწყვეტილება. ვინაიდან პოლიედონი ოთხკუთხა და რეგულარულია, მისი ფუძე არის კვადრატი. ბაზისა და გვერდითი სახეების არეების შესწავლის შემდეგ, შესაძლებელი იქნება პირამიდის ფართობის გამოთვლა. კვადრატის ფორმულა მოცემულია ზემოთ. ხოლო გვერდით გვერდებზე ცნობილია სამკუთხედის ყველა მხარე. აქედან გამომდინარე, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჰერონის ფორმულა მათი ფართობის გამოსათვლელად.
პირველი გამოთვლები მარტივია და მივყავართ ამ რიცხვამდე: 49 მმ2. მეორე მნიშვნელობისთვის, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ნახევრად პერიმეტრი: (7 + 162): 2=19,5 მმ. ახლა შეგიძლიათ გამოთვალოთ ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობი: √(19.5(19.5-7)(19.5-16)2)=√2985.9375=54.644 მმ 2. ასეთი სამკუთხედები მხოლოდ ოთხია, ამიტომ საბოლოო რიცხვის გამოთვლისას დაგჭირდებათ მისი 4-ზე გამრავლება.
გამოდის: 49 + 454, 644=267, 576 მმ2.
პასუხი. სასურველი ღირებულება 267, 576მმ2.
პრობლემა 3
მდგომარეობა. რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდისთვის, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ფართობი. იცის კვადრატის გვერდი - 6 სმ და სიმაღლე - 4 სმ.
გადაწყვეტილება. უმარტივესი გზაა ფორმულის გამოყენება პერიმეტრისა და აპოთემის ნამრავლით. პირველი მნიშვნელობის პოვნა ადვილია. მეორე ცოტა უფრო რთულია.
ჩვენ უნდა დავიმახსოვროთ პითაგორას თეორემა და განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი. იგი იქმნება პირამიდის სიმაღლით და აპოთემით, რომელიც არის ჰიპოტენუზა. მეორე ფეხი უდრის კვადრატის ნახევრის გვერდს, რადგან პოლიედრონის სიმაღლე მის შუაში მოდის.
სასურველი აპოთემა (მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა) არის √(32 + 42)=5 (სმ).
ახლა შეგიძლიათ გამოთვალოთ საჭირო მნიშვნელობა: ½(46)5+62=96 (იხ.2
პასუხი. 96 სმ2.
პრობლემა 4
მდგომარეობა. მოცემულია რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდა. მისი ფუძის გვერდები 22 მმ, გვერდითი ნეკნები 61 მმ. რა არის ამ პოლიედრონის გვერდითი ზედაპირი?
გადაწყვეტილება. მასში მსჯელობა იგივეა, რაც აღწერილია No2 პრობლემაში. მხოლოდ იქ იყო მოცემული პირამიდა კვადრატით ძირში, ახლა კი ექვსკუთხედია.
პირველ რიგში, ფუძის ფართობი გამოითვლება ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით: (6222) / (4ტგ (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 სმ2.
ახლა თქვენ უნდა გაარკვიოთ ტოლფერდა სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი, რომელიც არის გვერდითი სახე. (22 + 612): 2 \u003d 72 სმ. რჩება თითოეული ასეთის ფართობის გამოთვლასამკუთხედი, შემდეგ გაამრავლე ექვსზე და დაუმატე ის, რაც აღმოჩნდა ფუძისთვის.
გაანგარიშება ჰერონის ფორმულით: √(72(72-22)(72-61)2)=√435600=660 სმ2 . გამოთვლები, რომლებიც მიიღებენ გვერდითი ზედაპირის ფართობს: 6606=3960 სმ2. რჩება მათი შეკრება მთელი ზედაპირის გასარკვევად: 5217, 47≈5217 სმ2.
პასუხი. ბაზა - 726√3სმ2, გვერდითი ზედაპირი - 3960სმ2, საერთო ფართობი - 5217სმ2.
