რა არის არითმეტიკა? როდის დაიწყო კაცობრიობამ რიცხვების გამოყენება და მათთან მუშაობა? სად მიდის ისეთი ყოველდღიური ცნებების ფესვები, როგორიცაა რიცხვები, წილადები, გამოკლება, შეკრება და გამრავლება, რომლებიც ადამიანმა თავისი ცხოვრებისა და მსოფლმხედველობის განუყოფელ ნაწილად აქცია? ძველი ბერძნული გონება აღფრთოვანებული იყო ისეთი მეცნიერებებით, როგორიცაა მათემატიკა, არითმეტიკა და გეომეტრია, როგორც ადამიანური ლოგიკის ულამაზესი სიმფონია.
შეიძლება არითმეტიკა არც ისე ღრმაა, როგორც სხვა მეცნიერებები, მაგრამ რა დაემართება მათ, თუ ადამიანს დაავიწყდება ელემენტარული გამრავლების ცხრილი? ჩვენთვის ჩვეული ლოგიკური აზროვნება, რიცხვების, წილადებისა და სხვა ხელსაწყოების გამოყენებით, ხალხისთვის ადვილი არ იყო და დიდი ხნის განმავლობაში მიუწვდომელი იყო ჩვენი წინაპრებისთვის. სინამდვილეში, არითმეტიკის განვითარებამდე ადამიანის ცოდნის არც ერთი სფერო არ იყო ჭეშმარიტად მეცნიერული.
არითმეტიკა არის მათემატიკის ABC
არითმეტიკა არის რიცხვების მეცნიერება, რომლითაც ნებისმიერი ადამიანი იწყებს მათემატიკის მომხიბლავი სამყაროს გაცნობას. როგორც მ.ვ.ლომონოსოვმა თქვა, არითმეტიკა არის სწავლის კარიბჭე, რომელიც გვიხსნის გზას მსოფლიო ცოდნისკენ. მაგრამ ის მართალიაშეიძლება თუ არა სამყაროს ცოდნა გამოეყო რიცხვებისა და ასოების, მათემატიკისა და მეტყველების ცოდნისაგან? შესაძლოა ძველ დროში, მაგრამ არა თანამედროვე სამყაროში, სადაც მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების სწრაფი განვითარება კარნახობს საკუთარ კანონებს.
სიტყვა "არითმეტიკა" (ბერძნული "arithmos") ბერძნული წარმოშობისა, ნიშნავს "რიცხვს". ის სწავლობს ციფრებს და ყველაფერს, რაც შეიძლება მათთან იყოს დაკავშირებული. ეს არის რიცხვების სამყარო: სხვადასხვა მოქმედებები რიცხვებზე, რიცხვითი წესები, ამოცანების ამოხსნა, რომლებიც დაკავშირებულია გამრავლებასთან, გამოკლებასთან და ა.შ.
საზოგადოდ მიღებულია, რომ არითმეტიკა არის მათემატიკის საწყისი საფეხური და მყარი საფუძველი მისი უფრო რთული განყოფილებებისთვის, როგორიცაა ალგებრა, მათემატიკური ანალიზი, უმაღლესი მათემატიკა და ა.შ.
არითმეტიკის მთავარი ობიექტი
არითმეტიკის საფუძველი არის მთელი რიცხვი, რომლის თვისებები და ნიმუშები განიხილება უმაღლეს არითმეტიკაში ან რიცხვთა თეორიაში. სინამდვილეში, მთელი შენობის სიძლიერე - მათემატიკა - დამოკიდებულია იმაზე, თუ რამდენად სწორია მიდგომა ასეთი პატარა ბლოკის ნატურალური რიცხვის გათვალისწინებისას.
აქედან გამომდინარე, კითხვაზე, თუ რა არის არითმეტიკა, შეიძლება მარტივი პასუხის გაცემა: ეს არის რიცხვების მეცნიერება. დიახ, ჩვეულებრივი შვიდი, ცხრა და მთელი ამ მრავალფეროვანი საზოგადოების შესახებ. და როგორც ელემენტარული ანბანის გარეშე კარგ ან თუნდაც ყველაზე უღიმღამო პოეზიას ვერ დაწერ, არითმეტიკის გარეშე ელემენტარულ პრობლემასაც კი ვერ გადაწყვეტ. ამიტომ ყველა მეცნიერება დაწინაურდა მხოლოდ არითმეტიკისა და მათემატიკის განვითარების შემდეგ, მანამდე კი მხოლოდ ვარაუდების ერთობლიობა.
არითმეტიკა მოჩვენებითი მეცნიერებაა
რა არის არითმეტიკა - ბუნებისმეტყველება თუ მოჩვენება? სინამდვილეში, როგორც ძველი ბერძენი ფილოსოფოსები ამტკიცებდნენ, არც რიცხვები და არც ფიგურები არ არსებობს სინამდვილეში. ეს მხოლოდ ფანტომია, რომელიც იქმნება ადამიანის აზროვნებაში, როდესაც განიხილავს გარემოს თავისი პროცესებით. მართლაც, რა არის რიცხვი? ირგვლივ ვერსად ვერ ვხედავთ ისეთ რამეს, რომელსაც შეიძლება ეწოდოს რიცხვი, უფრო სწორად, რიცხვი არის ადამიანის გონების სამყაროს შესწავლის საშუალება. ან იქნებ ეს არის საკუთარი თავის შესწავლა შიგნიდან? ამაზე ფილოსოფოსები ზედიზედ მრავალი საუკუნის განმავლობაში კამათობენ, ამიტომ ჩვენ არ ვიღებ ვალდებულებას ამომწურავი პასუხის გაცემას. ასეა თუ ისე, არითმეტიკამ მოახერხა თავისი ადგილის დაკავება ისე მტკიცედ, რომ თანამედროვე სამყაროში არავინ შეიძლება ჩაითვალოს სოციალურად ადაპტირებულად მისი საფუძვლების ცოდნის გარეშე.
როგორ გაჩნდა ნატურალური რიცხვი
რა თქმა უნდა, მთავარი ობიექტი, რომელზეც არითმეტიკა მოქმედებს არის ნატურალური რიცხვი, როგორიცაა 1, 2, 3, 4, …, 152… და ა.შ. ნატურალური რიცხვების არითმეტიკა არის ჩვეულებრივი საგნების დათვლის შედეგი, როგორიცაა ძროხები მდელოზე. მიუხედავად ამისა, "ბევრი" ან "პატარის" განმარტება ოდესღაც შეწყდა ხალხისთვის შესაფერისი და მათ უნდა გამოეგონათ დათვლის უფრო მოწინავე ტექნიკა.
მაგრამ ნამდვილი გარღვევა მოხდა მაშინ, როდესაც ადამიანის აზროვნება მიაღწია იქამდე, რომ შესაძლებელია 2 კილოგრამი და 2 აგური და 2 ნაწილის დანიშვნა იგივე რიცხვით "ორი". ფაქტია, რომ თქვენ გჭირდებათ აბსტრაქცია ობიექტების ფორმებიდან, თვისებებიდან და მნიშვნელობიდან, შემდეგ შეგიძლიათ შეასრულოთ რამდენიმე მოქმედება ამ ობიექტებთან ბუნებრივი რიცხვების სახით. ასე დაიბადა რიცხვთა არითმეტიკა, რომელიცშემდგომ განვითარდა და გაფართოვდა, დაიკავა უფრო დიდი პოზიციები საზოგადოების ცხოვრებაში.
რიცხვის ისეთ სიღრმისეულ ცნებებს, როგორიცაა ნული და უარყოფითი რიცხვი, წილადები, რიცხვების აღნიშვნა რიცხვების მიხედვით და სხვა გზებით, აქვთ განვითარების მდიდარი და საინტერესო ისტორია.
არითმეტიკული და პრაქტიკული ეგვიპტელები
ადამიანის ორი უძველესი თანამგზავრი ჩვენს ირგვლივ სამყაროს შესწავლაში და ყოველდღიური პრობლემების გადაჭრაში არის არითმეტიკა და გეომეტრია.
ითვლება, რომ არითმეტიკის ისტორია სათავეს იღებს ძველ აღმოსავლეთში: ინდოეთში, ეგვიპტეში, ბაბილონსა და ჩინეთში. ამრიგად, ეგვიპტური წარმოშობის რინდას პაპირუსი (ასე დაარქვეს იმიტომ, რომ იგი ეკუთვნოდა ამავე სახელწოდების მფლობელს), რომელიც თარიღდება მე-20 საუკუნით. BC, სხვა ღირებული მონაცემების გარდა, შეიცავს ერთი წილადის გაფართოებას სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადებისა და ერთის ტოლი მრიცხველის ჯამში.
მაგალითად: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
მაგრამ რა აზრი აქვს ასეთ რთულ დაშლას? ფაქტია, რომ ეგვიპტური მიდგომა არ მოითმენდა აბსტრაქტულ აზრებს რიცხვებზე, პირიქით, გათვლები მხოლოდ პრაქტიკული მიზნებისთვის ხდებოდა. ანუ ეგვიპტელი ჩაერთვება ისეთ რამეში, როგორიცაა გათვლები, მხოლოდ იმისთვის, რომ ააშენოს საფლავი, მაგალითად. საჭირო იყო სტრუქტურის კიდის სიგრძის გამოთვლა და ამან აიძულა ადამიანი პაპირუსის უკან დაჯდომოდა. როგორც ხედავთ, ეგვიპტის პროგრესი გამოთვლებში გამოწვეული იყო უფრო მასობრივი მშენებლობით, ვიდრე მეცნიერების სიყვარულით.
ამ მიზეზით, პაპირუსებზე აღმოჩენილ გამოთვლებს არ შეიძლება ეწოდოს ანარეკლები წილადების თემაზე. სავარაუდოდ, ეს არის პრაქტიკული მომზადება, რომელიც დაეხმარა მომავალში.ამოცანების ამოხსნა წილადებით. ძველი ეგვიპტელები, რომლებმაც არ იცოდნენ გამრავლების ცხრილები, გააკეთეს საკმაოდ გრძელი გამოთვლები, დაიშალა მრავალ ქვეამოცნებად. ალბათ ეს ერთ-ერთი იმ ქვეამოცანაა. ადვილი მისახვედრია, რომ ასეთი სამუშაო ნაწილებით გამოთვლები ძალიან შრომატევადი და არაპერსპექტიულია. შესაძლოა ამ მიზეზით ჩვენ ვერ ვხედავთ ძველი ეგვიპტის დიდ წვლილს მათემატიკის განვითარებაში.
ძველი საბერძნეთი და ფილოსოფიური არითმეტიკა
ძველი აღმოსავლეთის ბევრ ცოდნას წარმატებით დაეუფლნენ ძველი ბერძნები, აბსტრაქტული, აბსტრაქტული და ფილოსოფიური რეფლექსიის ცნობილი მოყვარულები. ისინი არანაკლებ დაინტერესებულნი იყვნენ პრაქტიკით, მაგრამ ძნელია იპოვოთ საუკეთესო თეორეტიკოსები და მოაზროვნეები. ამან სარგებელს მოუტანა მეცნიერება, რადგან შეუძლებელია არითმეტიკაში ჩაღრმავება რეალობისგან გაწყვეტის გარეშე. რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ გაამრავლოთ 10 ძროხა და 100 ლიტრი რძე, მაგრამ შორს ვერ წახვალთ.
ღრმად მოაზროვნე ბერძნებმა მნიშვნელოვანი კვალი დატოვეს ისტორიაში და მათი ნაწერები ჩვენამდე მოვიდა:
- ევკლიდე და ელემენტები.
- პითაგორა.
- არქიმედეს.
- ერატოსთენე.
- ზენო.
- ანაქსაგორა.
და, რა თქმა უნდა, ბერძნები, რომლებმაც ყველაფერი ფილოსოფიად აქციეს, და განსაკუთრებით პითაგორას მოღვაწეობის გამგრძელებლები, იმდენად მოხიბლულნი იყვნენ რიცხვებით, რომ მათ სამყაროს ჰარმონიის საიდუმლოდ მიიჩნიეს. რიცხვები იმდენადაა შესწავლილი და გამოკვლეული, რომ ზოგიერთ მათგანს და მათ წყვილს განსაკუთრებული თვისებები მიენიჭა. მაგალითად:
- სრულყოფილი რიცხვები არის ის რიცხვები, რომლებიც უდრის მათი ყველა გამყოფის ჯამს, გარდა თავად რიცხვისა (6=1+2+3).
- მეგობრული ნომრები არის ის ნომრები, რომელთაგან ერთ-ერთიუდრის მეორის ყველა გამყოფის ჯამს და პირიქით (პითაგორელებმა იცოდნენ მხოლოდ ერთი ასეთი წყვილი: 220 და 284).
ბერძნები, რომლებსაც სჯეროდათ, რომ მეცნიერება უნდა გიყვარდეს და არა მასთან ერთად იყოთ მოგების მიზნით, დიდ წარმატებას მიაღწიეს ძიებით, თამაშით და რიცხვების მიმატებით. უნდა აღინიშნოს, რომ მათი ყველა კვლევა არ იყო ფართოდ გამოყენებული, ზოგიერთი მათგანი დარჩა მხოლოდ "სილამაზისთვის".
შუა საუკუნეების აღმოსავლელი მოაზროვნეები
ასევე შუა საუკუნეებში არითმეტიკა თავის განვითარებას აღმოსავლეთის თანამედროვეებს ევალება. ინდიელებმა მოგვცეს ის რიცხვები, რომლებსაც ჩვენ აქტიურად ვიყენებთ, ისეთი კონცეფცია, როგორიცაა "ნული" და თანამედროვე აღქმისთვის ნაცნობი გაანგარიშების პოზიციური ვერსია. ალ-კაშისგან, რომელიც მუშაობდა სამარყანდში მე-15 საუკუნეში, ჩვენ მემკვიდრეობით მივიღეთ ათობითი წილადები, რომელთა გარეშე ძნელი წარმოსადგენია თანამედროვე არითმეტიკა.
ბევრად, ევროპის გაცნობა აღმოსავლეთის მიღწევებთან შესაძლებელი გახდა იტალიელი მეცნიერის ლეონარდო ფიბონაჩის ნაშრომის წყალობით, რომელმაც დაწერა ნაშრომი "აბაკუსის წიგნი", შემოიღო აღმოსავლური სიახლეები. იგი გახდა ევროპაში ალგებრისა და არითმეტიკის, კვლევითი და სამეცნიერო საქმიანობის განვითარების ქვაკუთხედი.
რუსული არითმეტიკა
და ბოლოს, არითმეტიკამ, რომელმაც თავისი ადგილი იპოვა და გაიდგა ევროპაში, დაიწყო გავრცელება რუსეთის მიწებზე. პირველი რუსული არითმეტიკა გამოიცა 1703 წელს - ეს იყო ლეონტი მაგნიტსკის წიგნი არითმეტიკის შესახებ. დიდი ხნის განმავლობაში იგი დარჩა მათემატიკის ერთადერთ სახელმძღვანელოდ. ის შეიცავს ალგებრისა და გეომეტრიის საწყის მომენტებს.რუსეთში პირველი არითმეტიკის სახელმძღვანელოს მაგალითებში გამოყენებული რიცხვები არაბულია. თუმცა არაბული ციფრები ადრეც იყო ნანახი, მე-17 საუკუნით დათარიღებულ გრავიურებზე.
თავად წიგნს ამშვენებს არქიმედესა და პითაგორას გამოსახულებები, ხოლო პირველ ფურცელზე - არითმეტიკის გამოსახულება ქალის სახით. ის ზის ტახტზე, მის ქვეშ ებრაულად წერია ღმერთის სახელის აღმნიშვნელი სიტყვა, ხოლო საფეხურზე, რომელიც მიდის ტახტზე, აწერია სიტყვები „გაყოფა“, „გამრავლება“, „დამატება“და ა.შ. ჭეშმარიტება. რომლებიც ახლა ჩვეულებრივად ითვლება.
600-გვერდიანი სახელმძღვანელო მოიცავს როგორც საფუძვლებს, როგორიცაა შეკრება და გამრავლების ცხრილები და აპლიკაციები ნავიგაციის მეცნიერებებში.
არაა გასაკვირი, რომ ავტორმა თავისი წიგნისთვის ბერძენი მოაზროვნეების გამოსახულებები აირჩია, რადგან თავადაც გაიტაცა არითმეტიკის მშვენიერებამ და თქვა: "არითმეტიკა არის მრიცხველი, არის ხელოვნება პატიოსანი, შეუსაბამო…". არითმეტიკისადმი ეს მიდგომა სავსებით გამართლებულია, რადგან სწორედ მისი ფართო დანერგვა შეიძლება მივიჩნიოთ რუსეთში მეცნიერული აზროვნების სწრაფი განვითარების დასაწყისად და ზოგადი განათლება.
უპირველესი რიცხვები
უბრალო რიცხვი არის ნატურალური რიცხვი, რომელსაც აქვს მხოლოდ 2 დადებითი გამყოფი: 1 და თავად. ყველა სხვა რიცხვს, გარდა 1-ისა, ეწოდება კომპოზიტური. მარტივი რიცხვების მაგალითები: 2, 3, 5, 7, 11 და ყველა სხვა, რომლებსაც არ აქვთ გამყოფები 1-ისა და თავის გარდა.
რაც შეეხება ნომერ 1-ს, ის სპეციალურ ანგარიშზეა - არის შეთანხმება, რომ არც მარტივი და არც შედგენილი უნდა ჩაითვალოს.ერთი შეხედვით მარტივი, მარტივი რიცხვი თავის თავში ბევრ ამოუცნობ საიდუმლოს მალავს.
ევკლიდეს თეორემა ამბობს, რომ არსებობს უსასრულო რაოდენობის მარტივი რიცხვები და ერატოსთენემ გამოიგონა სპეციალური არითმეტიკული "საცერი", რომელიც აღმოფხვრის არამარტო რიცხვებს და ტოვებს მხოლოდ მარტივ რიცხვებს.
მისი არსი მდგომარეობს იმაში, რომ ხაზი გავუსვა პირველ გადაკვეთილ რიცხვს და შემდეგ გადაკვეთოს ისინი, რომლებიც მისი მრავლობითია. ჩვენ ბევრჯერ ვიმეორებთ ამ პროცედურას - და ვიღებთ მარტივი რიცხვების ცხრილს.
არითმეტიკის ფუნდამენტური თეორემა
მარტივი რიცხვების შესახებ დაკვირვებებს შორის განსაკუთრებული სახით უნდა აღინიშნოს არითმეტიკის ფუნდამენტური თეორემა.
არითმეტიკის ფუნდამენტური თეორემა ამბობს, რომ 1-ზე მეტი ნებისმიერი მთელი რიცხვი არის მარტივი, ან ის შეიძლება დაიშალოს მარტივი რიცხვების ნამრავლად ფაქტორების რიგითობამდე და უნიკალური გზით.
არითმეტიკის მთავარი თეორემა საკმაოდ რთულია და მისი გაგება აღარ ჰგავს უმარტივეს საფუძვლებს.
ერთი შეხედვით, მარტივი რიცხვები ელემენტარული ცნებაა, მაგრამ ეს ასე არ არის. ფიზიკა ასევე ოდესღაც ატომს ელემენტარულად თვლიდა, სანამ არ იპოვა მის შიგნით მთელი სამყარო. მათემატიკოს დონ ცაგირის მშვენიერი მოთხრობა "პირველი ორმოცდაათი მილიონი პირველი" ეძღვნება მარტივ რიცხვებს.
„სამი ვაშლიდან“დედუქციურ კანონებამდე
რაც შეიძლება ეწოდოს მთელი მეცნიერების გაძლიერებულ საფუძველს, არის არითმეტიკის კანონები. ბავშვობაშიც კი ყველას აწყდება არითმეტიკა, სწავლობს თოჯინების ფეხების და მკლავების რაოდენობას,კუბების რაოდენობა, ვაშლი და ა.შ. ასე ვსწავლობთ არითმეტიკას, რომელიც შემდეგ უფრო რთულ წესებში გადადის.
მთელი ჩვენი ცხოვრება გვაცნობს არითმეტიკის წესებს, რომლებიც უბრალო ადამიანისთვის გახდა ყველაზე სასარგებლო, რაც მეცნიერებას გვაძლევს. რიცხვების შესწავლა არის „არითმეტიკა-ბაიბი“, რომელიც ადრეულ ბავშვობაში რიცხვთა სამყაროს აცნობს ადამიანს რიცხვების სახით.
უმაღლესი არითმეტიკა არის დედუქციური მეცნიერება, რომელიც სწავლობს არითმეტიკის კანონებს. ჩვენ ვიცით მათი უმეტესობა, თუმცა შეიძლება არ ვიცოდეთ მათი ზუსტი ფორმულირება.
შეკრებისა და გამრავლების კანონი
ორი ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი a და b შეიძლება გამოისახოს ჯამით a+b, რომელიც ასევე იქნება ნატურალური რიცხვი. მიმატებაზე ვრცელდება შემდეგი კანონები:
- კომუტატივი, რომელიც ამბობს, რომ ჯამი არ იცვლება ტერმინების გადალაგებიდან, ან a+b=b+a.
- ასოციაციური, რომელიც ამბობს, რომ ჯამი არ არის დამოკიდებული ტერმინების ადგილებზე დაჯგუფებაზე, ან a+(b+c)=(a+ b)+ c.
არითმეტიკის წესები, როგორიცაა შეკრება, ერთ-ერთი ყველაზე ელემენტარულია, მაგრამ მათ ყველა მეცნიერება იყენებს, რომ აღარაფერი ვთქვათ ყოველდღიურ ცხოვრებაში.
ორი ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი a და b შეიძლება გამოისახოს როგორც ab ან ab ნამრავლი, რომელიც ასევე ნატურალური რიცხვია. იგივე შემცვლელი და ასოციაციური კანონები ვრცელდება პროდუქტზე, როგორც დამატებაზე:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
მაინტერესებსრომ არსებობს კანონი, რომელიც აერთიანებს შეკრებას და გამრავლებას, რომელსაც ასევე უწოდებენ გამანაწილებელ ან გამანაწილებელ კანონს:
a(b+c)=ab+ac
ეს კანონი რეალურად გვასწავლის ფრჩხილებთან მუშაობას მათი გაფართოებით, რითაც შეგვიძლია უფრო რთული ფორმულებით მუშაობა. ეს ის კანონებია, რომლებიც წაგვიყვანს ალგებრის უცნაურ და რთულ სამყაროში.
არითმეტიკული რიგის კანონი
წესრიგის კანონს ყოველდღიურად იყენებს ადამიანის ლოგიკა, ადარებს საათებს და ითვლის ბანკნოტებს. და, მიუხედავად ამისა, საჭიროა მისი ფორმალიზება კონკრეტული ფორმულირებების სახით.
თუ გვაქვს ორი ნატურალური რიცხვი a და b, მაშინ შესაძლებელია შემდეგი ვარიანტები:
- a უდრის b, ან a=b;
- a არის b-ზე ნაკლები, ან a < b;
- a მეტია b-ზე, ან a > b.
სამი ვარიანტიდან მხოლოდ ერთი შეიძლება იყოს სამართლიანი. ძირითადი კანონი, რომელიც არეგულირებს წესრიგს, ამბობს: თუ a < b და b < c, მაშინ a< c.
ასევე არსებობს კანონები, რომლებიც ეხება გამრავლებასა და შეკრებას: თუ a< არის b, მაშინ a + c < b+c და ac< bc.
არითმეტიკის კანონები გვასწავლის ვიმუშაოთ რიცხვებთან, ნიშნებთან და ფრჩხილებთან, ყველაფერი ვაქციოთ რიცხვების ჰარმონიულ სიმფონიაში.
პოზიციური და არაპოზიციური გაანგარიშება
შეიძლება ითქვას, რომ რიცხვები არის მათემატიკური ენა, რომლის მოხერხებულობაზეც ბევრია დამოკიდებული. არსებობს მრავალი რიცხვითი სისტემა, რომელიც, ისევე როგორც სხვადასხვა ენის ანბანი, განსხვავდება ერთმანეთისგან.
მოდით განვიხილოთ რიცხვითი სისტემები რაოდენობრივ მნიშვნელობაზე პოზიციის გავლენის თვალსაზრისითნომრები ამ პოზიციაზე. ასე რომ, მაგალითად, რომაული სისტემა არაპოზიციურია, სადაც თითოეული რიცხვი დაშიფრულია სპეციალური სიმბოლოების გარკვეული ნაკრებით: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. ისინი, შესაბამისად, უდრის რიცხვებს 1-ს. / 5/10/50/100/500/ 1000. ასეთ სისტემაში რიცხვი არ ცვლის რაოდენობრივ განსაზღვრებას იმისდა მიხედვით, თუ რა პოზიციაზეა: პირველ, მეორე და ა.შ. სხვა რიცხვების მისაღებად საჭიროა საბაზისოების დამატება. მაგალითად:
- DCC=700.
- CCM=800.
არაბული ციფრების გამოყენებით ჩვენთვის უფრო ნაცნობი რიცხვითი სისტემა პოზიციურია. ასეთ სისტემაში რიცხვის ციფრი განსაზღვრავს ციფრების რაოდენობას, მაგალითად, სამნიშნა რიცხვებს: 333, 567 და ა.შ. ნებისმიერი ციფრის წონა დამოკიდებულია პოზიციაზე, რომელშიც მდებარეობს ესა თუ ის ციფრი, მაგალითად, მეორე პოზიციაზე 8 რიცხვს აქვს 80. ეს დამახასიათებელია ათობითი სისტემისთვის, არის სხვა პოზიციური სისტემები, მაგალითად., ორობითი.
ორობითი არითმეტიკა
ჩვენ ვიცნობთ ათობითი სისტემას, რომელიც შედგება ერთნიშნა და მრავალნიშნა რიცხვებისგან. მრავალნიშნა რიცხვის მარცხნივ რიცხვი ათჯერ უფრო მნიშვნელოვანია, ვიდრე მარჯვენა. ასე რომ, ჩვენ მიჩვეულები ვართ 2, 17, 467 და ა.შ კითხვას. განყოფილებას სახელწოდებით „ორობითი არითმეტიკა“სულ სხვა ლოგიკა და მიდგომა აქვს. ეს გასაკვირი არ არის, რადგან ბინარული არითმეტიკა შეიქმნა არა ადამიანის, არამედ კომპიუტერული ლოგიკისთვის. თუ რიცხვების არითმეტიკა წარმოიშვა ობიექტების დათვლიდან, რაც შემდგომში იქნა ამოღებული ობიექტის თვისებებიდან „შიშველ“არითმეტიკამდე, მაშინ ეს არ იმუშავებს კომპიუტერთან. რომ შეძლოს გაზიარებაკომპიუტერის ცოდნით ადამიანს უწევდა გამოთვლების ასეთი მოდელის გამოგონება.
ორობითი არითმეტიკა მუშაობს ორობითი ანბანით, რომელიც შედგება მხოლოდ 0 და 1-ისგან. და ამ ანბანის გამოყენებას ორობითი სისტემა ეწოდება.
სხვაობა ბინარულ არითმეტიკასა და ათობითი არითმეტიკას შორის არის ის, რომ მარცხნივ პოზიციის მნიშვნელობა აღარ არის 10, არამედ 2-ჯერ. ბინარული რიცხვები არის 111, 1001 და ა.შ. როგორ გავიგოთ ასეთი რიცხვები? ასე რომ, გაითვალისწინეთ რიცხვი 1100:
- მარცხნივ პირველი ციფრი არის 18=8, დაიმახსოვრეთ, რომ მეოთხე ციფრი, რაც ნიშნავს რომ ის უნდა გავამრავლოთ 2-ზე, მივიღებთ პოზიციას 8.
- მეორე ციფრი 14=4 (პოზიცია 4).
- მესამე ციფრი 02=0 (პოზიცია 2).
- მეოთხე ციფრი 01=0 (პოზიცია 1).
- ასე რომ, ჩვენი რიცხვია 1100=8+4+0+0=12.
ანუ მარცხნივ ახალ ციფრზე გადასვლისას, მისი მნიშვნელობა ბინარულ სისტემაში მრავლდება 2-ზე, ხოლო ათწილადში - 10-ზე. ასეთ სისტემას აქვს ერთი მინუსი: ეს არის ძალიან დიდი ზრდა. ციფრები, რომლებიც საჭიროა რიცხვების ჩასაწერად. ათობითი რიცხვების ორობითი რიცხვების სახით წარმოდგენის მაგალითები შეგიძლიათ იხილოთ შემდეგ ცხრილში.
ათწილადი რიცხვები ბინარული ფორმით ნაჩვენებია ქვემოთ.
ასევე გამოიყენება
როგორც ოქტალური, ასევე თექვსმეტობითი სისტემები.
ეს იდუმალი არითმეტიკა
რა არის არითმეტიკა, "ორჯერ ორი" თუ რიცხვების შეუსწავლელი საიდუმლოებები? როგორც ხედავთ, არითმეტიკა შეიძლება ერთი შეხედვით მარტივი ჩანდეს, მაგრამ მისი აშკარა სიმარტივე მატყუარაა. მისი შესწავლა ბავშვებსაც შეუძლიათ დეიდა ბუსთან ერთადმულტფილმი "Arithmetic-baby" და თქვენ შეგიძლიათ ჩაეფლოთ თითქმის ფილოსოფიური წესრიგის ღრმა მეცნიერულ კვლევაში. ისტორიაში ის საგნების დათვლიდან რიცხვების მშვენიერების თაყვანისცემამდე გადავიდა. მხოლოდ ერთი რამ არის დანამდვილებით ცნობილი: არითმეტიკის ძირითადი პოსტულატების დამკვიდრებით, მთელ მეცნიერებას შეუძლია დაეყრდნოს მის ძლიერ მხარზე.
