თქვენს ყურადღების ცენტრში მოყვანილ სტატიაში გთავაზობთ მათემატიკური მოდელების მაგალითებს. გარდა ამისა, ყურადღებას გავამახვილებთ მოდელების შექმნის ეტაპებზე და გავაანალიზებთ მათემატიკურ მოდელირებასთან დაკავშირებულ ზოგიერთ ამოცანას.
ჩვენი კიდევ ერთი შეკითხვა ეხება მათემატიკურ მოდელებს ეკონომიკაში, მაგალითები, რომელთა განმარტებას ცოტა მოგვიანებით განვიხილავთ. ჩვენ ვთავაზობთ საუბრის დაწყებას თავად „მოდელის“კონცეფციით, მოკლედ განვიხილოთ მათი კლასიფიკაცია და გადავიდეთ ჩვენს მთავარ კითხვებზე.
"მოდელის" კონცეფცია
ხშირად გვესმის სიტყვა "მოდელი". Რა არის ეს? ამ ტერმინს მრავალი განმარტება აქვს, აქ არის მხოლოდ სამი მათგანი:
- კონკრეტული ობიექტი, რომელიც შექმნილია ინფორმაციის მისაღებად და შესანახად, რომელიც ასახავს ამ ობიექტის ორიგინალურ თვისებებს ან მახასიათებლებს და ა.შ. და ასე შემდეგ);
- მოდელი ასევე ნიშნავს რაიმე კონკრეტული სიტუაციის, ცხოვრების ანმენეჯერული;
- მოდელი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ობიექტის შემცირებული ასლი (ისინი შექმნილია უფრო დეტალური შესწავლისა და ანალიზისთვის, რადგან მოდელი ასახავს სტრუქტურასა და ურთიერთობებს).
ყველაფრიდან გამომდინარე, რაც ადრე ითქვა, შეგვიძლია გამოვიტანოთ მცირე დასკვნა: მოდელი საშუალებას გაძლევთ დეტალურად შეისწავლოთ რთული სისტემა ან ობიექტი.
ყველა მოდელი შეიძლება კლასიფიცირდეს რიგი კრიტერიუმების მიხედვით:
- გამოყენების სფეროს მიხედვით (საგანმანათლებლო, ექსპერიმენტული, სამეცნიერო და ტექნიკური, სათამაშო, სიმულაცია);
- დინამიკის მიხედვით (სტატიკური და დინამიური);
- ცოდნის დარგის მიხედვით (ფიზიკური, ქიმიური, გეოგრაფიული, ისტორიული, სოციოლოგიური, ეკონომიკური, მათემატიკური);
- პრეზენტაციის სახით (მასალა და საინფორმაციო).
საინფორმაციო მოდელები, თავის მხრივ, იყოფა ნიშნად და ვერბალად. და iconic - კომპიუტერზე და არაკომპიუტერზე. ახლა მოდით გადავიდეთ მათემატიკური მოდელის მაგალითების დეტალურ განხილვაზე.
მათემატიკური მოდელი
როგორც შეიძლება მიხვდეთ, მათემატიკური მოდელი ასახავს საგნის ან ფენომენის ზოგიერთ მახასიათებელს სპეციალური მათემატიკური სიმბოლოების გამოყენებით. მათემატიკა საჭიროა გარემომცველი სამყაროს ნიმუშების თავისებურ ენაზე მოდელირებისთვის.
მათემატიკური მოდელირების მეთოდი წარმოიშვა საკმაოდ დიდი ხნის წინ, ათასობით წლის წინ, ამ მეცნიერების გამოჩენასთან ერთად. თუმცა ამ მოდელირების მეთოდის შემუშავებას ბიძგი მისცა კომპიუტერების (ელექტრონული კომპიუტერების) გამოჩენამ.
ახლა გადავიდეთ კლასიფიკაციაზე. ის ასევე შეიძლება განხორციელდეს გარკვეული ნიშნების მიხედვით. Ისინი არიანწარმოდგენილია ქვემოთ მოცემულ ცხრილში.
| კლასიფიკაცია მეცნიერების დარგის მიხედვით | მათემატიკური მოდელების გამოყენება ფიზიკაში, სოციოლოგიაში, ქიმიაში და ასე შემდეგ |
| მოდელირების პროცესში გამოყენებული მათემატიკური აპარატის მიხედვით | მოდელები დაფუძნებული დიფერენციალურ განტოლებებზე, დისკრეტულ ალგებრულ გარდაქმნებზე და მსგავსი |
| მიზნების მოდელირებით | ამ პრინციპის მიხედვით არსებობს აღწერითი, ოპტიმიზაციის, მრავალკრიტერიუმიანი, თამაშის და სიმულაციური მოდელები |
ჩვენ ვთავაზობთ შეჩერებას და ყურადღებით დავაკვირდეთ ბოლო კლასიფიკაციას, რადგან ის ასახავს მოდელირების ზოგად შაბლონებს და შექმნილი მოდელების მიზნებს.
აღწერითი მოდელები
ამ თავში, ჩვენ გთავაზობთ უფრო დეტალურად ვისაუბროთ აღწერილობით მათემატიკურ მოდელებზე. იმისათვის, რომ ყველაფერი ძალიან ნათლად იყოს, მოყვანილი იქნება მაგალითი.
დასაწყისად, ამ შეხედულებას შეიძლება ეწოდოს აღწერილობა. ეს იმის გამო ხდება, რომ ჩვენ უბრალოდ ვაკეთებთ გათვლებს და პროგნოზებს, მაგრამ მოვლენის შედეგზე ვერანაირად ვერ ვიმოქმედებთ.
აღწერილობითი მათემატიკური მოდელის თვალსაჩინო მაგალითია ფრენის ბილიკის, სიჩქარის, დედამიწიდან მანძილის გაანგარიშება კომეტის, რომელიც შემოიჭრა ჩვენი მზის სისტემის უკიდეგანო სივრცეში. ეს მოდელი აღწერითი ხასიათისაა, ვინაიდან მიღებულ ყველა შედეგს მხოლოდ რაიმე სახის საფრთხის შესახებ გვაფრთხილებს. მოვლენის შედეგზე ზეგავლენა, სამწუხაროდ, ჩვენ არ გვაქვსშეუძლია. თუმცა, მიღებული გათვლებიდან გამომდინარე, შესაძლებელია ნებისმიერი ზომის მიღება დედამიწაზე სიცოცხლის გადასარჩენად.
ოპტიმიზაციის მოდელები
ახლა ცოტათი ვისაუბრებთ ეკონომიკურ და მათემატიკურ მოდელებზე, რომელთა მაგალითები შეიძლება იყოს სხვადასხვა სიტუაციები. ამ შემთხვევაში ჩვენ ვსაუბრობთ მოდელებზე, რომლებიც გარკვეულ პირობებში დაგეხმარებათ სწორი პასუხის პოვნაში. მათ უნდა ჰქონდეთ გარკვეული პარამეტრები. ამის გასაგებად, განვიხილოთ მაგალითი სოფლის მეურნეობის ნაწილიდან.
გვაქვს მარცვალი, მაგრამ მარცვალი ძალიან სწრაფად ფუჭდება. ამ შემთხვევაში ჩვენ უნდა ავირჩიოთ სწორი ტემპერატურული რეჟიმი და მოვახდინოთ შენახვის პროცესის ოპტიმიზაცია.
ამგვარად, ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ "ოპტიმიზაციის მოდელის" კონცეფცია. მათემატიკური გაგებით, ეს არის განტოლებათა სისტემა (როგორც წრფივი, ასევე არა), რომლის ამოხსნა გვეხმარება კონკრეტულ ეკონომიკურ სიტუაციაში ოპტიმალური ამოხსნის პოვნაში. ჩვენ განვიხილეთ მათემატიკური მოდელის მაგალითი (ოპტიმიზაცია), მაგრამ მინდა დავამატო: ეს ტიპი მიეკუთვნება ექსტრემალურ ამოცანების კლასს, ისინი ხელს უწყობენ ეკონომიკური სისტემის ფუნქციონირების აღწერას.
გაითვალისწინეთ კიდევ ერთი ნიუანსი: მოდელები შეიძლება იყოს განსხვავებული ხასიათის (იხ. ცხრილი ქვემოთ).
| დეტერმინისტული | ამ შემთხვევაში, შედეგი დამოკიდებულია შეყვანის მონაცემებზე |
| სტოქასტური | შემთხვევითი პროცესების აღწერა. ამ შემთხვევაში შედეგი განუსაზღვრელი რჩება |
მრავალკრიტერიუმიანი მოდელები
ახლა გეპატიჟებით ცოტა ვისაუბროთმრავალობიექტური ოპტიმიზაციის მათემატიკური მოდელი. მანამდე ჩვენ მოვიყვანეთ მათემატიკური მოდელის მაგალითი რომელიმე ერთი კრიტერიუმის მიხედვით პროცესის ოპტიმიზაციისთვის, მაგრამ რა მოხდება, თუ ისინი ბევრია?
მრავალკრიტერიუმიანი ამოცანის თვალსაჩინო მაგალითია ადამიანთა დიდი ჯგუფებისთვის სათანადო, ჯანსაღი და ამავე დროს ეკონომიური კვების ორგანიზება. ასეთი დავალებები ხშირად გვხვდება ჯარში, სკოლის სასადილოებში, საზაფხულო ბანაკებში, საავადმყოფოებში და ასე შემდეგ.
რა კრიტერიუმები გვაძლევს ამ პრობლემას?
- საჭმელი უნდა იყოს ჯანსაღი.
- საჭმელზე ხარჯვა უნდა იყოს მინიმუმამდე.
როგორც ხედავთ, ეს მიზნები საერთოდ არ ემთხვევა ერთმანეთს. ეს ნიშნავს, რომ პრობლემის გადაჭრისას საჭიროა მოძებნოთ ოპტიმალური გადაწყვეტა, ბალანსი ორ კრიტერიუმს შორის.
თამაშის მოდელები
თამაშის მოდელებზე საუბრისას აუცილებელია "თამაშის თეორიის" კონცეფციის გაგება. მარტივად რომ ვთქვათ, ეს მოდელები ასახავს რეალური კონფლიქტების მათემატიკურ მოდელებს. უბრალოდ გაითვალისწინეთ, რომ რეალური კონფლიქტისგან განსხვავებით, თამაშის მათემატიკურ მოდელს აქვს თავისი სპეციფიკური წესები.
ახლა იქნება მინიმალური ინფორმაცია თამაშის თეორიიდან, რომელიც დაგეხმარებათ გაიგოთ რა არის თამაშის მოდელი. ასე რომ, მოდელში აუცილებლად არის წვეულებები (ორი ან მეტი), რომლებსაც ჩვეულებრივ მოთამაშეებს უწოდებენ.
ყველა მოდელს აქვს გარკვეული მახასიათებლები.
| სუბიექტები | მოთამაშეთა რაოდენობა |
| სტრატეგია | შესაძლო მოქმედებების ვარიანტები |
| გადახდა | კონფლიქტის შედეგი (მოგება ან წაგება). |
თამაშის მოდელი შეიძლება იყოს დაწყვილებული ან მრავალჯერადი. თუ გვაქვს ორი საგანი, მაშინ კონფლიქტი დაწყვილებულია, თუ მეტი - მრავალჯერადი. ასევე შეიძლება გამოიყოს ანტაგონისტური თამაში, მას ასევე უწოდებენ ნულოვანი ჯამის თამაშს. ეს არის მოდელი, რომელშიც ერთ-ერთი მონაწილის მოგება უდრის მეორის დანაკარგს.
სიმულაციური მოდელები
ამ განყოფილებაში ჩვენ ყურადღებას მივაქცევთ სიმულაციური მათემატიკურ მოდელებს. ამოცანების მაგალითებია:
- მიკროორგანიზმების რაოდენობის დინამიკის მოდელი;
- მოლეკულების მოძრაობის მოდელი და ასე შემდეგ.
ამ შემთხვევაში, საუბარია რეალურ პროცესებთან მაქსიმალურად მიახლოებულ მოდელებზე. ზოგადად, ისინი ბაძავენ ბუნებაში ნებისმიერ გამოვლინებას. პირველ შემთხვევაში, მაგალითად, შეგვიძლია ერთ კოლონიაში ჭიანჭველების რაოდენობის დინამიკის მოდელირება. ამ შემთხვევაში თქვენ შეგიძლიათ დააკვირდეთ თითოეული ინდივიდის ბედს. ამ შემთხვევაში, მათემატიკური აღწერა იშვიათად გამოიყენება, უფრო ხშირად არის დაწერილი პირობები:
- ხუთი დღის შემდეგ მდედრი დებს კვერცხებს;
- 20 დღის შემდეგ ჭიანჭველა კვდება და ასე შემდეგ.
ამგვარად, სიმულაციური მოდელები გამოიყენება დიდი სისტემის აღსაწერად. მათემატიკური დასკვნა არის მიღებული სტატისტიკური მონაცემების დამუშავება.
მოთხოვნები
ძალიან მნიშვნელოვანიაგაითვალისწინეთ, რომ არსებობს გარკვეული მოთხოვნები ამ ტიპის მოდელისთვის, რომელთა შორისაა ქვემოთ მოცემული ცხრილში.
| მრავალფეროვნება | ეს თვისება საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ იგივე მოდელი იმავე ტიპის ობიექტების ჯგუფების აღწერისას. მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ უნივერსალური მათემატიკური მოდელები სრულიად დამოუკიდებელია შესასწავლი ობიექტის ფიზიკური ბუნებისაგან |
| ადეკვატურობა | აქ მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ეს თვისება გაძლევთ საშუალებას, რაც შეიძლება ზუსტად განახორციელოთ რეალური პროცესები. საოპერაციო ამოცანებში მათემატიკური მოდელირების ეს თვისება ძალიან მნიშვნელოვანია. მოდელის მაგალითია გაზის სისტემის გამოყენების ოპტიმიზაციის პროცესი. ამ შემთხვევაში ხდება გამოთვლილი და ფაქტობრივი მაჩვენებლების შედარება, რის შედეგადაც მოწმდება შედგენილი მოდელის სისწორე |
| სიზუსტე | ეს მოთხოვნა გულისხმობს მნიშვნელობების დამთხვევას, რომელსაც ვიღებთ მათემატიკური მოდელის და ჩვენი რეალური ობიექტის შეყვანის პარამეტრების გამოთვლისას |
| ეკონომიკა | ნებისმიერი მათემატიკური მოდელის ხარჯ-ეფექტურობის მოთხოვნა ხასიათდება განხორციელების ხარჯებით. თუ მოდელთან მუშაობა ხორციელდება ხელით, მაშინ აუცილებელია გამოვთვალოთ რამდენი დრო დასჭირდება ერთი პრობლემის გადაჭრას ამ მათემატიკური მოდელის გამოყენებით. თუ ვსაუბრობთ კომპიუტერის დამხმარე დიზაინზე, მაშინ გამოითვლება დროის ღირებულებისა და კომპიუტერის მეხსიერების ინდიკატორები |
ეტაპებიმოდელირება
საერთო ჯამში, მათემატიკური მოდელირების ოთხი ეტაპის გამოყოფა ჩვეულებრივად ხდება.
- ჩამოაყალიბეთ კანონები, რომლებიც აკავშირებს მოდელის ნაწილებს.
- მათემატიკური ამოცანების კვლევა.
- პრაქტიკული და თეორიული შედეგების დამთხვევის გარკვევა.
- მოდელის ანალიზი და მოდერნიზაცია.
ეკონომიკური და მათემატიკური მოდელი
ამ ნაწილში მოკლედ გამოვყოფთ ეკონომიკური და მათემატიკური მოდელების საკითხს. ამოცანების მაგალითებია:
- ხორცპროდუქტების წარმოების საწარმოო პროგრამის ფორმირება, წარმოების მაქსიმალური მოგების უზრუნველსაყოფად;
- გაზარდეთ ორგანიზაციის მოგება ავეჯის ქარხანაში წარმოებული მაგიდების და სკამების ოპტიმალური რაოდენობის გამოთვლით და ასე შემდეგ.
ეკონომიკურ-მათემატიკური მოდელი აჩვენებს ეკონომიკურ აბსტრაქციას, რომელიც გამოიხატება მათემატიკური ტერმინებისა და ნიშნების გამოყენებით.
კომპიუტერული მათემატიკური მოდელი
კომპიუტერული მათემატიკური მოდელის მაგალითებია:
- ჰიდრავლიკის პრობლემები დიაგრამების, დიაგრამების, ცხრილების და ა.შ. გამოყენებით;
- პრობლემები მყარი მექანიკის შესახებ და ასე შემდეგ.
კომპიუტერული მოდელი არის ობიექტის ან სისტემის გამოსახულება წარმოდგენილი როგორც:
- მაგიდები;
- ჩაგრამები;
- დიაგრამები;
- გრაფიკა და ასე შემდეგ.
ამავდროულად, ეს მოდელი ასახავს სისტემის სტრუქტურას და ურთიერთკავშირებს.
ეკონომიკურ-მათემატიკური მოდელის აგება
ჩვენ უკვე ვისაუბრეთ იმაზე, თუ რა ეკონომიკურიმათემატიკური მოდელი. პრობლემის გადაჭრის მაგალითი ახლავე განიხილება. ჩვენ უნდა გავაანალიზოთ საწარმოო პროგრამა, რათა დავადგინოთ რეზერვი მოგების გაზრდისთვის ასორტიმენტის ცვლასთან ერთად.
პრობლემას სრულად არ განვიხილავთ, მაგრამ მხოლოდ ეკონომიკურ და მათემატიკურ მოდელს შევქმნით. ჩვენი ამოცანის კრიტერიუმია მოგების მაქსიმიზაცია. მაშინ ფუნქციას აქვს ფორმა: Л=р1х1+р2х2… მიდრეკილია მაქსიმუმამდე. ამ მოდელში p არის მოგება ერთეულზე, x არის წარმოებული ერთეულების რაოდენობა. გარდა ამისა, აგებულ მოდელზე დაყრდნობით, აუცილებელია გამოთვლების გაკეთება და შეჯამება.
მარტივი მათემატიკური მოდელის აგების მაგალითი
ამოცანა. მეთევზე დაბრუნდა შემდეგი დაჭერით:
- 8 თევზი - ჩრდილოეთის ზღვების მკვიდრნი;
- დაჭერის 20% - სამხრეთის ზღვების მკვიდრნი;
- ადგილობრივი მდინარიდან არც ერთი თევზი არ აღმოჩნდა.
რამდენი თევზი იყიდა მან მაღაზიაში?
ასე რომ, ამ ამოცანის მათემატიკური მოდელის აგების მაგალითი შემდეგია. თევზის საერთო რაოდენობას აღვნიშნავთ x-ით. ამ მდგომარეობის მიხედვით, 0.2x არის სამხრეთ განედებში მცხოვრები თევზის რაოდენობა. ახლა ვაერთებთ ყველა არსებულ ინფორმაციას და ვიღებთ ამოცანის მათემატიკურ მოდელს: x=0, 2x+8. ვხსნით განტოლებას და ვიღებთ პასუხს მთავარ კითხვაზე: მან მაღაზიაში იყიდა 10 თევზი.
