მათემატიკა სათავეს ანტიკური ხანიდან იღებს. მისი წყალობით, არქიტექტურამ, მშენებლობამ და სამხედრო მეცნიერებამ განვითარების ახალი რაუნდი მისცა, მათემატიკის დახმარებით მიღებულმა მიღწევებმა განაპირობა პროგრესის მოძრაობა. მათემატიკა დღემდე რჩება მთავარ მეცნიერებად, რომელიც გვხვდება ყველა სხვა დარგში.
განათლების მისაღებად პირველი კლასიდან ბავშვები თანდათანობით იწყებენ ამ გარემოში შერწყმას. ძალიან მნიშვნელოვანია მათემატიკის გაგება, რადგან ის, ამა თუ იმ ხარისხით, ყველა ადამიანს ემართება მთელი ცხოვრების განმავლობაში. ეს სტატია გავაანალიზებთ ერთ-ერთ ძირითად ელემენტს - წარმოებულების მოძიებას და გამოყენებას. ყველა ადამიანს არ შეუძლია წარმოიდგინოს, რამდენად ფართოდ გამოიყენება ეს კონცეფცია. განვიხილოთ წარმოებულების 10-ზე მეტი გამოყენება გარკვეულ სფეროებში ან მეცნიერებებში.
წარმოებულის გამოყენება ფუნქციის შესასწავლად
წარმოებული ასეთი ლიმიტიაფუნქციის ზრდის შეფარდება მისი არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც არგუმენტის მაჩვენებლის მაჩვენებელი ნულისკენ მიისწრაფვის. წარმოებული არის შეუცვლელი რამ ფუნქციის შესწავლისას. მაგალითად, მისი გამოყენება შესაძლებელია ამ უკანასკნელის, ექსტრემის, ამოზნექის და ჩაზნექის მატებისა და დაკლების დასადგენად. დიფერენციალური გაანგარიშება შედის სავალდებულო სასწავლო გეგმაში მათემატიკური უნივერსიტეტების I და II კურსის სტუდენტებისთვის.
ფარგლები და ფუნქცია ნულები
გრაფიკის ნებისმიერი შესწავლის პირველი ეტაპი იწყება განსაზღვრების დომენის, უფრო იშვიათ შემთხვევებში - მნიშვნელობის გარკვევით. განმარტების დომენი დაყენებულია აბსცისის ღერძის გასწვრივ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის რიცხვითი მნიშვნელობები OX ღერძზე. ხშირად ფარგლები უკვე მითითებულია, მაგრამ თუ ასე არ არის, მაშინ x არგუმენტის მნიშვნელობა უნდა შეფასდეს. დავუშვათ, თუ არგუმენტის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის ფუნქციას აზრი არ აქვს, მაშინ ეს არგუმენტი გამოირიცხება სფეროდან.
ფუნქციის ნულები იპოვება მარტივი გზით: ფუნქცია f(x) უნდა გაუტოლდეს ნულს და შედეგად მიღებული განტოლება უნდა ამოხსნას ერთი x ცვლადის მიმართ. განტოლების მიღებული ფესვები არის ფუნქციის ნულები, ანუ ამ x-ში ფუნქცია არის 0.
გადიდება და შემცირება
წარმოებულის გამოყენება ფუნქციების შესასწავლად ერთფეროვნებისთვის შეიძლება განიხილებოდეს ორი პოზიციიდან. მონოტონური ფუნქცია არის კატეგორია, რომელსაც აქვს წარმოებულის მხოლოდ დადებითი მნიშვნელობები, ან მხოლოდ უარყოფითი მნიშვნელობები. მარტივი სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფუნქცია მხოლოდ იზრდება ან მცირდება შესწავლილი მთელი ინტერვალის განმავლობაში:
- პარამეტრის გაზრდა. ფუნქციაf(x) გაიზრდება, თუ f`(x)-ის წარმოებული მეტია ნულზე.
- დაღმავალი პარამეტრი. ფუნქცია f(x) შემცირდება, თუ f`(x)-ის წარმოებული ნაკლებია ნულზე.
ტანგენსი და დახრილობა
წარმოებულის გამოყენება ფუნქციის შესწავლისას ასევე განისაზღვრება მოცემულ წერტილში ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტით (კუთხით მიმართული სწორი ხაზი). ტანგენტი წერტილზე (x0) - წრფე, რომელიც გადის წერტილს და ეკუთვნის ფუნქციას, რომლის კოორდინატებია (x0, f(x 0 )) და აქვს დახრილობა f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - ფუნქციის გრაფიკის მოცემულ წერტილზე ტანგენტის განტოლება.
წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა: f(x) ფუნქციის წარმოებული უდრის მოცემულ x წერტილში ამ ფუნქციის გრაფიკზე წარმოქმნილი ტანგენტის დახრილობას. კუთხური კოეფიციენტი, თავის მხრივ, ტოლია OX ღერძის (აბსცისის) ტანგენსის დახრის კუთხის ტანგენტს დადებითი მიმართულებით. ეს დასკვნა ფუნდამენტურია წარმოებულის გამოსაყენებლად ფუნქციის გრაფიკზე.
ექსტრემალური ქულები
წარმოებულის გამოყენება კვლევაში გულისხმობს მაღალი და დაბალი ქულების პოვნას.
იმისათვის, რომ იპოვოთ და განსაზღვროთ მინიმალური და მაქსიმალური ქულები, თქვენ უნდა:
- იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებული.
- დააყენეთ მიღებული განტოლება ნულზე.
- იპოვეთ განტოლების ფესვები.
- იპოვეთ მაღალი და დაბალი ქულები.
ექსტრემების საპოვნელადმახასიათებლები:
- იპოვეთ მინიმალური და მაქსიმალური ქულები ზემოთ მოცემული მეთოდის გამოყენებით.
- შეცვალეთ ეს წერტილები თავდაპირველ განტოლებაში და გამოთვალეთ ymax და yწთ
ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი არის f(x) ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა ინტერვალზე, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ xmax.
ფუნქციის მინიმალური წერტილი არის f(x) ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა ინტერვალზე, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ xსახელი
ექსტრემალური ქულები იგივეა, რაც მაქსიმალური და მინიმალური ქულები, და ფუნქციის უკიდურესი (yმაქს. და yმინიმუმი) - ფუნქციის მნიშვნელობები, რომლებიც შეესაბამება უკიდურეს წერტილებს.
ამოზნექილი და ჩაზნექილი
შეგიძლიათ დაადგინოთ ამოზნექილი და ჩაზნექილი ნახაზისთვის წარმოებულის გამოყენებით:
- F(x) ფუნქცია, რომელიც გამოკვლეულია ინტერვალზე (a, b) არის ჩაზნექილი, თუ ფუნქცია მდებარეობს ამ ინტერვალში მისი ყველა ტანგენტის ქვემოთ.
- ფუნქცია f(x) შესწავლილი ინტერვალზე (a, b) არის ამოზნექილი, თუ ფუნქცია მდებარეობს ამ ინტერვალის შიგნით მის ყველა ტანგენტს ზემოთ.
წერტილი, რომელიც განასხვავებს ამოზნექილობას და ჩაზნექილს, ეწოდება ფუნქციის დახრის წერტილი.
შეკუმშვის წერტილების საპოვნელად:
- იპოვეთ მეორე სახის კრიტიკული წერტილები (მეორე წარმოებული).
- დაბრუნების წერტილები არის ის კრიტიკული წერტილები, რომლებიც განასხვავებენ ორ საპირისპირო ნიშანს.
- გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები ფუნქციის შებრუნების წერტილებზე.
ნაწილობრივი წარმოებულები
აპლიკაციაარის ამ ტიპის წარმოებულები ამოცანებში, სადაც ერთზე მეტი უცნობი ცვლადი გამოიყენება. ყველაზე ხშირად ასეთ წარმოებულებს ვხვდებით ფუნქციის გრაფიკის, უფრო ზუსტად რომ ვთქვათ, ზედაპირების სივრცეში გამოსახვისას, სადაც ორი ღერძის ნაცვლად არის სამი, შესაბამისად, სამი სიდიდე (ორი ცვლადი და ერთი მუდმივი).
პარციალური წარმოებულების გამოთვლის ძირითადი წესი არის ერთი ცვლადის არჩევა და დანარჩენის მუდმივებად განხილვა. მაშასადამე, ნაწილობრივი წარმოებულის გამოთვლისას, მუდმივი ხდება როგორც რიცხვითი მნიშვნელობა (წარმოებულების ბევრ ცხრილში ისინი აღინიშნება როგორც C=const). ასეთი წარმოებულის მნიშვნელობა არის z=f(x, y) ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე OX და OY ღერძების გასწვრივ, ანუ ის ახასიათებს აგებული ზედაპირის ჩაღრმავებასა და ამობურცულობას.
წარმოებული ფიზიკაში
წარმოებულის გამოყენება ფიზიკაში ფართოდ გავრცელებული და მნიშვნელოვანია. ფიზიკური მნიშვნელობა: ბილიკის წარმოებული დროის მიმართ არის სიჩქარე, ხოლო აჩქარება არის სიჩქარის წარმოებული დროის მიმართ. ფიზიკური მნიშვნელობიდან მრავალი განშტოება შეიძლება ფიზიკის სხვადასხვა ტოტებამდე მივიყვანოთ, ამავდროულად წარმოებულის მნიშვნელობის სრულად შენარჩუნებით.
წარმოებულის დახმარებით ნაპოვნია შემდეგი მნიშვნელობები:
- სიჩქარე კინემატიკაში, სადაც გამოითვლება გავლილი მანძილის წარმოებული. თუ ნაპოვნია ბილიკის მეორე წარმოებული ან სიჩქარის პირველი წარმოებული, მაშინ ნაპოვნია სხეულის აჩქარება. გარდა ამისა, შესაძლებელია მატერიალური წერტილის მყისიერი სიჩქარის პოვნა, მაგრამ ამისათვის საჭიროა ვიცოდეთ ნამატი ∆t და ∆r.
- ელექტროდინამიკაში:ალტერნატიული დენის მყისიერი სიძლიერის, ასევე ელექტრომაგნიტური ინდუქციის EMF-ის გაანგარიშება. წარმოებულის გაანგარიშებით, შეგიძლიათ იპოვოთ მაქსიმალური სიმძლავრე. ელექტრული მუხტის რაოდენობის წარმოებული არის დენის სიძლიერე გამტარში.
წარმოებული ქიმიასა და ბიოლოგიაში
ქიმია: წარმოებული გამოიყენება ქიმიური რეაქციის სიჩქარის დასადგენად. წარმოებულის ქიმიური მნიშვნელობა: ფუნქცია p=p(t), ამ შემთხვევაში p არის ნივთიერების რაოდენობა, რომელიც შედის ქიმიურ რეაქციაში t დროში. ∆t - დროის ზრდა, ∆p - ნივთიერების რაოდენობის ზრდა. ∆p-სა და ∆t-ის შეფარდების ზღვარს, რომლის დროსაც ∆t მიდრეკილია ნულისკენ, ეწოდება ქიმიური რეაქციის სიჩქარე. ქიმიური რეაქციის საშუალო მნიშვნელობა არის ∆p/∆t თანაფარდობა. სიჩქარის დადგენისას საჭიროა ზუსტად ვიცოდეთ ყველა საჭირო პარამეტრი, პირობა, იცოდეთ ნივთიერებისა და ნაკადის აგრეგატული მდგომარეობა. ეს არის საკმაოდ დიდი ასპექტი ქიმიაში, რომელიც ფართოდ გამოიყენება სხვადასხვა ინდუსტრიაში და ადამიანის საქმიანობაში.
ბიოლოგია: წარმოებულის ცნება გამოიყენება გამრავლების საშუალო სიჩქარის გამოსათვლელად. ბიოლოგიური მნიშვნელობა: გვაქვს ფუნქცია y=x(t). ∆t - დროის მატება. შემდეგ გარკვეული გარდაქმნების დახმარებით ვიღებთ ფუნქციას y`=P(t)=x`(t) - t დროის პოპულაციის სასიცოცხლო აქტივობა (გამრავლების საშუალო სიჩქარე). წარმოებულის ეს გამოყენება საშუალებას გაძლევთ შეინახოთ სტატისტიკა, თვალყური ადევნოთ გამრავლების სიჩქარეს და ასე შემდეგ.
წარმოებული გეოგრაფიასა და ეკონომიკაში
წარმოებული გეოგრაფებს საშუალებას აძლევს გადაწყვიტონამოცანები, როგორიცაა მოსახლეობის პოვნა, მნიშვნელობების გამოთვლა სეისმოგრაფიაში, ბირთვული გეოფიზიკური ინდიკატორების რადიოაქტიურობის გამოთვლა, ინტერპოლაციის გამოთვლა.
ეკონომიკაში, გამოთვლების მნიშვნელოვანი ნაწილია დიფერენციალური გაანგარიშება და წარმოებულის გამოთვლა. უპირველეს ყოვლისა, ეს გვაძლევს საშუალებას განვსაზღვროთ აუცილებელი ეკონომიკური ფასეულობების საზღვრები. მაგალითად, უმაღლესი და ყველაზე დაბალი შრომის პროდუქტიულობა, ხარჯები, მოგება. ძირითადად, ეს მნიშვნელობები გამოითვლება ფუნქციის გრაფიკებიდან, სადაც ისინი აღმოაჩენენ ექსტრემებს, განსაზღვრავენ ფუნქციის ერთფეროვნებას სასურველ ზონაში.
დასკვნა
ამ დიფერენციალური კალკულუსის როლი ჩართულია, როგორც სტატიაშია აღნიშნული, სხვადასხვა სამეცნიერო სტრუქტურაში. წარმოებული ფუნქციების გამოყენება მნიშვნელოვანი ელემენტია მეცნიერებისა და წარმოების პრაქტიკულ ნაწილში. ტყუილად არ გვასწავლიდნენ საშუალო სკოლაში და უნივერსიტეტში რთული გრაფიკების აგება, ფუნქციების შესწავლა და მუშაობა. როგორც ხედავთ, წარმოებულებისა და დიფერენციალური გამოთვლების გარეშე შეუძლებელი იქნებოდა სასიცოცხლო მაჩვენებლებისა და რაოდენობების გამოთვლა. კაცობრიობამ ისწავლა სხვადასხვა პროცესის მოდელირება და მათი შესწავლა, რთული მათემატიკური ამოცანების ამოხსნა. მართლაც, მათემატიკა ყველა მეცნიერების დედოფალია, რადგან ეს მეცნიერება საფუძვლად უდევს ყველა სხვა ბუნებრივ და ტექნიკურ დისციპლინას.
