შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ტრადიციულად იწვევს სირთულეებს სკოლის მოსწავლეებისთვის. რიცხვის რკალის ტანგენსის გამოთვლის შესაძლებლობა შეიძლება საჭირო გახდეს USE ამოცანებისას პლანიმეტრიასა და სტერეომეტრიაში. განტოლებისა და პარამეტრის პრობლემის წარმატებით გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გესმოდეთ რკალის ტანგენტის ფუნქციის თვისებები.
განმარტება
x რიცხვის რკალი არის რიცხვი y, რომლის ტანგენსი არის x. ეს არის მათემატიკური განმარტება.
არქტანგენტის ფუნქცია იწერება როგორც y=arctg x.
უფრო ზოგადად: y=Carctg (kx + a).
გაანგარიშება
იმისათვის, რომ გაიგოთ, თუ როგორ მუშაობს არქტანგენსის შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, ჯერ უნდა გახსოვდეთ, როგორ განისაზღვრება რიცხვის ტანგენსის მნიშვნელობა. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ.
x-ის ტანგენსი არის x-ის სინუსის შეფარდება x-ის კოსინუსთან. თუ ამ ორი სიდიდით მაინც არის ცნობილი, მაშინ მეორის მოდული შეიძლება მივიღოთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობიდან:
ცოდვა2 x + cos2 x=1.
მართალია, მოდულის განბლოკვისთვის საჭირო იქნება შეფასება.
თუთავად რიცხვი ცნობილია და არა მისი ტრიგონომეტრიული მახასიათებლები, მაშინ უმეტეს შემთხვევაში აუცილებელია რიცხვის ტანგენტის დაახლოებით შეფასება ბრედისის ცხრილის გამოყენებით.
გამონაკლისი არის ეგრეთ წოდებული სტანდარტული მნიშვნელობები.
ისინი წარმოდგენილია შემდეგ ცხრილში:
ზემოაღნიშნულის გარდა, ნებისმიერი მნიშვნელობა, რომელიც მიღებულია მონაცემებიდან ½πk ფორმის რაოდენობის დამატებით (к - ნებისმიერი მთელი რიცხვი, π=3, 14) შეიძლება ჩაითვალოს სტანდარტად.
ზუსტად იგივე ეხება რკალის ტანგენტს: ყველაზე ხშირად მიახლოებითი მნიშვნელობა ჩანს ცხრილიდან, მაგრამ დანამდვილებით ცნობილია მხოლოდ რამდენიმე მნიშვნელობა:
პრაქტიკაში, სასკოლო მათემატიკის ამოცანების ამოხსნისას, ჩვეულებრივია პასუხის გაცემა რკალის ტანგენტის შემცველი გამოხატვის სახით და არა მისი სავარაუდო შეფასება. მაგალითად, arctg 6, arctg (-¼).
გრაფიკის შედგენა
რადგან ტანგენტს შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა, არქტანგენტის ფუნქციის დომენი არის მთელი რიცხვითი წრფე. მოდით ავხსნათ უფრო დეტალურად.
იგივე ტანგენსი შეესაბამება არგუმენტების უსასრულო რაოდენობას. მაგალითად, არა მხოლოდ ნულის ტანგენსი არის ნულის ტოლი, არამედ π k ფორმის ნებისმიერი რიცხვის ტანგენსი, სადაც k არის მთელი რიცხვი. ამიტომ, მათემატიკოსები შეთანხმდნენ, რომ აირჩიონ მნიშვნელობები რკალის ტანგენტისთვის -½ π-დან ½ π-მდე ინტერვალიდან. ეს ასე უნდა იყოს გაგებული. არქტანგენტის ფუნქციის დიაპაზონი არის ინტერვალი (-½ π; ½ π). უფსკრულის ბოლოები არ შედის, რადგან ტანგენსი -½p და ½p არ არსებობს.
მითითებულ ინტერვალზე ტანგენსი უწყვეტიაიზრდება. ეს ნიშნავს, რომ რკალის ტანგენტის შებრუნებული ფუნქცია ასევე განუწყვეტლივ იზრდება მთელ რიცხვთა წრფეზე, მაგრამ ესაზღვრება ზემოდან და ქვემოდან. შედეგად, მას აქვს ორი ჰორიზონტალური ასიმპტოტი: y=-½ π და y=½ π.
ამ შემთხვევაში, tg 0=0, აბსცისის ღერძთან გადაკვეთის სხვა წერტილები, გარდა (0;0), გრაფიკს არ შეიძლება ჰქონდეს გაზრდის გამო.
როგორც ტანგენტის ფუნქციის პარიტეტიდან ჩანს, არქტანგენტს აქვს მსგავსი თვისება.
გრაფიკის ასაგებად, აიღეთ რამდენიმე ქულა სტანდარტული მნიშვნელობებიდან:
ფუნქციის წარმოებული y=arctg x ნებისმიერ წერტილში გამოითვლება ფორმულით:
გაითვალისწინეთ, რომ მისი წარმოებული ყველგან დადებითია. ეს შეესაბამება ადრე გაკეთებულ დასკვნას ფუნქციის უწყვეტი ზრდის შესახებ.
არქტანგენტის მეორე წარმოებული ქრება 0 წერტილში, უარყოფითია არგუმენტის დადებითი მნიშვნელობებისთვის და პირიქით.
ეს ნიშნავს, რომ რკალის ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკს აქვს გადახრის წერტილი ნულზე და არის ქვემოთ ამოზნექილი ინტერვალზე (-∞; 0] და ზევით ამოზნექილი ინტერვალზე [0; +∞).
