პოლინომი, ანუ მრავალწევრი - ერთ-ერთი ძირითადი ალგებრული სტრუქტურა, რომელიც გვხვდება სასკოლო და უმაღლეს მათემატიკაში. მრავალწევრის შესწავლა ყველაზე მნიშვნელოვანი თემაა ალგებრის კურსში, ვინაიდან, ერთი მხრივ, პოლინომები საკმაოდ მარტივია სხვა ტიპის ფუნქციებთან შედარებით და, მეორე მხრივ, ისინი ფართოდ გამოიყენება მათემატიკური ანალიზის ამოცანების გადასაჭრელად.. რა არის მრავალწევრი?
განმარტება
ტერმინი მრავალწევრის განმარტება შეიძლება იყოს მონომის, ან მონომის ცნების მეშვეობით.
მონომი არის cx1i1x2 i2 …x -ში. აქ с არის მუდმივი, x1, x2, … x - ცვლადები, i1, i2, … - ცვლადების მაჩვენებლები. მაშინ მრავალწევრი არის მონომების ნებისმიერი სასრული ჯამი.
იმისათვის, რომ გაიგოთ რა არის მრავალწევრი, შეგიძლიათ გადახედოთ კონკრეტულ მაგალითებს.
კვადრატული ტრინომი, რომელიც დეტალურად განიხილება მე-8 კლასის მათემატიკის კურსში, არის მრავალწევრი: ax2+bx+c.
მრავალწევრი ორი ცვლადით შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს: x2-xy+y2. ასეთიმრავალწევრს ასევე უწოდებენ x-სა და y-ს შორის სხვაობის არასრულ კვადრატს.
პოლინომალური კლასიფიკაციები
პოლინომიალური ხარისხი
პოლინომში თითოეული მონომისთვის იპოვეთ i1+i2+…+in მაჩვენებლების ჯამი. ჯამებიდან უდიდესს მრავალწევრის მაჩვენებელს უწოდებენ, ხოლო ამ ჯამის შესაბამის მონომს - უმაღლესი წევრი.
სხვათა შორის, ნებისმიერი მუდმივი შეიძლება ჩაითვალოს ნულოვანი ხარისხის მრავალწევრად.
შემცირებული და არაშემცირებული მრავალწევრები
თუ c კოეფიციენტი უდრის 1-ს უმაღლესი წევრისთვის, მაშინ მოცემულია მრავალწევრი, წინააღმდეგ შემთხვევაში არ არის.
მაგალითად, გამოხატულება x2+2x+1 არის შემცირებული მრავალწევრი, და 2x2+2x+1 არ არის შემცირებული.
ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი მრავალწევრები
თუ მრავალწევრის ყველა წევრის გრადუსი ტოლია, მაშინ ვიტყვით, რომ ასეთი მრავალწევრი ერთგვაროვანია. ყველა სხვა მრავალწევრი ითვლება არაერთგვაროვნად.
ერთგვაროვანი მრავალწევრები: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. ჰეტეროგენული: x+1, x2+y.
არსებობს სპეციალური სახელები ორი და სამი ტერმინის მრავალწევრებისთვის: შესაბამისად, ბინომი და ტრინომი.
ერთი ცვლადის მრავალწევრები ნაწილდება ცალკე კატეგორიაში.
ერთი ცვლადის მრავალწევრის გამოყენება
ერთი ცვლადის პოლინომები აახლოებს სხვადასხვა სირთულის კარგად უწყვეტ ფუნქციებს ერთი არგუმენტიდან.
ფაქტი ისაა, რომ ასეთი მრავალწევრები შეიძლება ჩაითვალოს სიმძლავრის სერიის ნაწილობრივი ჯამებად, ხოლო უწყვეტი ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს რიგის სახით თვითნებურად მცირე შეცდომით. ფუნქციის გაფართოების სერიას უწოდებენ ტეილორის სერიებს და მათნაწილობრივი ჯამები მრავალწევრების სახით - ტეილორის მრავალწევრები.
ფუნქციის ქცევის გრაფიკული შესწავლა რამდენიმე მრავალწევრთან მიახლოებით ხშირად უფრო ადვილია, ვიდრე ერთი და იგივე ფუნქციის უშუალოდ ან სერიების გამოყენებით.
იოლია მრავალწევრების წარმოებულების ძიება. მე-4 და ქვემოთ ხარისხის მრავალწევრების ფესვების საპოვნელად არის მზა ფორმულები, ხოლო უფრო მაღალ ხარისხებთან მუშაობისთვის გამოიყენება მაღალი სიზუსტის სავარაუდო ალგორითმები.
ასევე არსებობს აღწერილი მრავალწევრების განზოგადება რამდენიმე ცვლადის ფუნქციისთვის.
ნიუტონის ბინომი
ცნობილი მრავალწევრები არის ნიუტონის მრავალწევრები, რომლებიც მიღებულია მეცნიერების მიერ გამოსახულების (x + y).
საკმარისია გადავხედოთ ბინომის დაშლის პირველ რამდენიმე ძალას, რათა დავრწმუნდეთ, რომ ფორმულა არატრივიალურია:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
თითოეული კოეფიციენტისთვის არის გამონათქვამი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ იგი. თუმცა, რთული ფორმულების დამახსოვრება და საჭირო არითმეტიკული მოქმედებების ყოველ ჯერზე შესრულება უკიდურესად მოუხერხებელი იქნება იმ მათემატიკოსებისთვის, რომლებსაც ხშირად სჭირდებათ ასეთი გაფართოებები. პასკალის სამკუთხედმა მათ ცხოვრება გაუადვილა.
ფიგურა აგებულია შემდეგი პრინციპით. სამკუთხედის ზევით 1 იწერება და ყოველ მომდევნო სტრიქონში ხდება კიდევ ერთი ციფრი, 1 იდება კიდეებზე და წრფის შუა ივსება წინა რიცხვის ორი მიმდებარე რიცხვის ჯამები.
როდესაც ილუსტრაციას უყურებ, ყველაფერი ნათელი ხდება.
რა თქმა უნდა, მათემატიკაში მრავალწევრების გამოყენება არ შემოიფარგლება მოცემული, ყველაზე ფართოდ ცნობილი მაგალითებით.
