ფურიეს ტრანსფორმაცია არის ტრანსფორმაცია, რომელიც ადარებს ზოგიერთი რეალური ცვლადის ფუნქციებს. ეს ოპერაცია კეთდება ყოველ ჯერზე, როცა სხვადასხვა ბგერას აღვიქვამთ. ყური ასრულებს ავტომატურ „გამოთვლას“, რომლის შესრულებაც ჩვენს ცნობიერებას მხოლოდ უმაღლესი მათემატიკის შესაბამისი მონაკვეთის შესწავლის შემდეგ შეუძლია. ადამიანის სმენის ორგანო ქმნის ტრანსფორმაციას, რის შედეგადაც ხმა (პირობითი ნაწილაკების რხევითი მოძრაობა ელასტიურ გარემოში, რომლებიც ტალღის სახით ვრცელდება მყარ, თხევად ან აირად გარემოში) უზრუნველყოფილია თანმიმდევრული მნიშვნელობების სპექტრის სახით. სხვადასხვა სიმაღლის ტონების მოცულობის დონე. ამის შემდეგ ტვინი ამ ინფორმაციას ყველასთვის ნაცნობ ბგერად აქცევს.
მათემატიკური ფურიეს ტრანსფორმაცია
ხმის ტალღების ან სხვა რხევითი პროცესების ტრანსფორმაცია (სინათლის გამოსხივებიდან და ოკეანის მოქცევიდან ვარსკვლავური ან მზის აქტივობის ციკლებამდე) ასევე შეიძლება განხორციელდეს მათემატიკური მეთოდების გამოყენებით. ამრიგად, ამ ტექნიკის გამოყენებით, შესაძლებელია ფუნქციების დაშლა, რხევითი პროცესების წარმოდგენით, როგორც სინუსოიდური კომპონენტების ნაკრები, ანუ ტალღოვანი მრუდები, რომლებიცგადადით დაბალიდან მაღალზე, შემდეგ უკან დაბლაზე, როგორც ზღვის ტალღა. ფურიეს ტრანსფორმაცია - ტრანსფორმაცია, რომლის ფუნქცია აღწერს თითოეული სინუსოიდის ფაზას ან ამპლიტუდას, რომელიც შეესაბამება გარკვეულ სიხშირეს. ფაზა არის მრუდის საწყისი წერტილი, ხოლო ამპლიტუდა არის მისი სიმაღლე.
ფურიეს ტრანსფორმაცია (მაგალითები ნაჩვენებია ფოტოზე) არის ძალიან ძლიერი ინსტრუმენტი, რომელიც გამოიყენება მეცნიერების სხვადასხვა დარგში. ზოგიერთ შემთხვევაში, იგი გამოიყენება, როგორც საკმაოდ რთული განტოლებების გადაჭრის საშუალება, რომელიც აღწერს დინამიურ პროცესებს, რომლებიც ხდება სინათლის, თერმული ან ელექტრო ენერგიის გავლენის ქვეშ. სხვა შემთხვევაში, ის საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ რეგულარული კომპონენტები რთულ რხევად სიგნალებში, რისი წყალობითაც შეგიძლიათ სწორად ინტერპრეტაცია გაუწიოთ სხვადასხვა ექსპერიმენტულ დაკვირვებებს ქიმიაში, მედიცინაში და ასტრონომიაში.
ისტორიული ფონი
პირველი ადამიანი, ვინც გამოიყენა ეს მეთოდი, იყო ფრანგი მათემატიკოსი ჟან ბატისტ ფურიე. ტრანსფორმაცია, რომელსაც მოგვიანებით მისი სახელი ეწოდა, თავდაპირველად გამოიყენებოდა სითბოს გამტარობის მექანიზმის აღსაწერად. ფურიემ მთელი თავისი ზრდასრული ცხოვრება სითბოს თვისებების შესწავლაში გაატარა. მან უდიდესი წვლილი შეიტანა ალგებრული განტოლებების ფესვების განსაზღვრის მათემატიკურ თეორიაში. ფურიე იყო პოლიტექნიკური სკოლის ანალიზის პროფესორი, ეგვიპტოლოგიის ინსტიტუტის მდივანი, იმპერიულ სამსახურში, სადაც გამოირჩეოდა ტურინის გზის მშენებლობის დროს (მისი ხელმძღვანელობით, 80 ათას კვადრატულ კილომეტრზე მეტი მალარია.ჭაობები). თუმცა, მთელი ეს ენერგიული აქტივობა არ შეუშლია მეცნიერს მათემატიკური ანალიზის გაკეთებაში. 1802 წელს მან გამოიტანა განტოლება, რომელიც აღწერს სითბოს გავრცელებას მყარ სხეულებში. 1807 წელს მეცნიერმა აღმოაჩინა ამ განტოლების ამოხსნის მეთოდი, რომელსაც ეწოდა "ფურიეს ტრანსფორმაცია".
თერმული გამტარობის ანალიზი
მეცნიერმა გამოიყენა მათემატიკური მეთოდი სითბოს გამტარობის მექანიზმის აღსაწერად. მოსახერხებელი მაგალითი, რომელშიც არ არის სირთულეები გამოთვლაში, არის თერმული ენერგიის გავრცელება ცეცხლში ერთ ნაწილში ჩაძირული რკინის რგოლში. ექსპერიმენტების ჩასატარებლად ფურიემ ამ რგოლის ნაწილი წითლად გააცხელა და წვრილ ქვიშაში ჩამარხა. ამის შემდეგ მან გაზომა ტემპერატურა მოპირდაპირე მხარეს. თავდაპირველად სითბოს განაწილება არარეგულარულია: რგოლის ნაწილი ცივია, მეორე კი ცხელი; ამ ზონებს შორის შეინიშნება მკვეთრი ტემპერატურის გრადიენტი. თუმცა, ლითონის მთელ ზედაპირზე სითბოს გავრცელების პროცესში ის უფრო ერთგვაროვანი ხდება. ასე რომ, მალე ეს პროცესი სინუსოიდის ფორმას იღებს. თავდაპირველად, გრაფიკი შეუფერხებლად იზრდება და ასევე შეუფერხებლად მცირდება, ზუსტად კოსინუსის ან სინუსური ფუნქციის ცვლილების კანონების მიხედვით. ტალღა თანდათან იკლებს და შედეგად ტემპერატურა იგივე ხდება რგოლის მთელ ზედაპირზე.
ამ მეთოდის ავტორი ვარაუდობს, რომ საწყისი არარეგულარული განაწილება შეიძლება დაიშალოს რამდენიმე ელემენტარულ სინუსოიდად. თითოეულ მათგანს ექნება საკუთარი ფაზა (საწყისი პოზიცია) და საკუთარი ტემპერატურამაქსიმუმ. უფრო მეტიც, თითოეული ასეთი კომპონენტი იცვლება მინიმალურიდან მაქსიმუმამდე და უბრუნდება ბეჭდის გარშემო სრულ ბრუნვას მთელი რიცხვით. ერთი პერიოდის მქონე კომპონენტს ეწოდა ფუნდამენტური ჰარმონია, ხოლო მნიშვნელობას ორი ან მეტი პერიოდის მქონე - მეორე და ა.შ. ასე რომ, მათემატიკურ ფუნქციას, რომელიც აღწერს ტემპერატურის მაქსიმუმს, ფაზას ან პოზიციას, ეწოდება განაწილების ფუნქციის ფურიეს ტრანსფორმაცია. მეცნიერმა შეამცირა ერთი კომპონენტი, რომელიც ძნელია მათემატიკურად აღსაწერად, ადვილად გამოსაყენებელ ინსტრუმენტად - კოსინუსებისა და სინუსების სერიამდე, რომლებიც თავდაპირველ განაწილებას აჯამებენ.
ანალიზის არსი
ამ ანალიზის გამოყენებით სითბოს გავრცელების ტრანსფორმაცია მყარ ობიექტზე, რომელსაც აქვს რგოლის ფორმა, მათემატიკოსმა დაასკვნა, რომ სინუსოიდური კომპონენტის პერიოდების გაზრდა გამოიწვევს მის სწრაფ დაშლას. ეს აშკარად ჩანს ფუნდამენტურ და მეორე ჰარმონიაში. ამ უკანასკნელში ტემპერატურა მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს ორჯერ აღწევს ერთ უღელტეხილზე, პირველში კი მხოლოდ ერთხელ. გამოდის, რომ სითბოს მიერ დაფარული მანძილი მეორე ჰარმონიაში იქნება ფუნდამენტურის ნახევარი. გარდა ამისა, გრადიენტი მეორეშიც ორჯერ ციცაბო იქნება პირველზე. ამიტომ, რადგან უფრო ინტენსიური სითბოს ნაკადი გადის ორჯერ უფრო მოკლე მანძილს, ეს ჰარმონია ოთხჯერ უფრო სწრაფად იშლება, ვიდრე ფუნდამენტური დროის მიხედვით. მომავალში ეს პროცესი კიდევ უფრო სწრაფი იქნება. მათემატიკოსს მიაჩნდა, რომ ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ საწყისი ტემპერატურის განაწილების პროცესი დროთა განმავლობაში.
გამოწვევა თანამედროვეებისთვის
ფურიეს გარდაქმნის ალგორითმი დაუპირისპირდა მათემატიკის თეორიულ საფუძვლებს იმ დროისთვის. მეცხრამეტე საუკუნის დასაწყისში, ყველაზე გამოჩენილმა მეცნიერებმა, მათ შორის ლაგრანჟმა, ლაპლასმა, პუასონმა, ლეჟანდრმა და ბიოტმა, არ მიიღეს მისი განცხადება, რომ საწყისი ტემპერატურის განაწილება დაიშლება კომპონენტებად ფუნდამენტური ჰარმონიისა და უფრო მაღალი სიხშირის სახით. თუმცა, მეცნიერებათა აკადემიამ მათემატიკოსის მიერ მიღებული შედეგების იგნორირება არ მოასწრო და მას პრიზი მიანიჭა სითბოს გამტარობის კანონების თეორიისთვის, ასევე ფიზიკურ ექსპერიმენტებთან შედარებისთვის. ფურიეს მიდგომაში მთავარი წინააღმდეგობა იყო ის ფაქტი, რომ წყვეტილი ფუნქცია წარმოდგენილია რამდენიმე სინუსოიდური ფუნქციის ჯამით, რომლებიც უწყვეტია. ყოველივე ამის შემდეგ, ისინი აღწერენ მოწყვეტილ სწორ და მოხრილ ხაზებს. მეცნიერის თანამედროვეებს არასოდეს შეხვედრიათ მსგავსი სიტუაცია, როდესაც წყვეტილი ფუნქციები აღწერილი იყო უწყვეტი ფუნქციების კომბინაციით, როგორიცაა კვადრატული, წრფივი, სინუსოიდი ან ექსპონენციალური. იმ შემთხვევაში, თუ მათემატიკოსი მართალი იყო თავის გამონათქვამებში, მაშინ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის უსასრულო სერიის ჯამი უნდა შემცირდეს ზუსტად ეტაპობრივად. იმ დროს ასეთი განცხადება აბსურდულად ჩანდა. თუმცა, ეჭვების მიუხედავად, ზოგიერთმა მკვლევარმა (მაგ. კლოდ ნავიე, სოფი ჟერმენი) გააფართოვა კვლევის სფერო და აიღო ისინი თერმული ენერგიის განაწილების ანალიზის მიღმა. იმავდროულად, მათემატიკოსები აგრძელებდნენ ბრძოლას კითხვასთან დაკავშირებით, შეიძლება თუ არა რამდენიმე სინუსოიდური ფუნქციის ჯამი შემცირდეს წყვეტილის ზუსტ წარმოდგენამდე.
200 წლისისტორია
ეს თეორია განვითარდა ორი საუკუნის განმავლობაში, დღეს კი საბოლოოდ ჩამოყალიბდა. მისი დახმარებით სივრცითი ან დროითი ფუნქციები იყოფა სინუსოიდულ კომპონენტებად, რომლებსაც აქვთ საკუთარი სიხშირე, ფაზა და ამპლიტუდა. ეს ტრანსფორმაცია მიიღება ორი განსხვავებული მათემატიკური მეთოდით. პირველი მათგანი გამოიყენება, როდესაც თავდაპირველი ფუნქცია უწყვეტია, ხოლო მეორე - როდესაც იგი წარმოდგენილია დისკრეტული ინდივიდუალური ცვლილებების სიმრავლით. თუ გამოხატულება მიიღება მნიშვნელობებიდან, რომლებიც განისაზღვრება დისკრეტული ინტერვალებით, მაშინ ის შეიძლება დაიყოს რამდენიმე სინუსოიდულ გამოსახულებად დისკრეტული სიხშირით - ყველაზე დაბალიდან და შემდეგ ორჯერ, სამჯერ და ასე შემდეგ უფრო მაღალი ვიდრე მთავარი. ასეთ ჯამს ეწოდება ფურიეს სერია. თუ საწყის გამოხატულებას ეძლევა მნიშვნელობა თითოეული რეალური რიცხვისთვის, მაშინ ის შეიძლება დაიშალოს ყველა შესაძლო სიხშირის რამდენიმე სინუსოიდულად. მას ჩვეულებრივ უწოდებენ ფურიეს ინტეგრალს და გამოსავალი გულისხმობს ფუნქციის ინტეგრალურ გარდაქმნებს. მიუხედავად იმისა, თუ როგორ მიიღება კონვერტაცია, თითოეული სიხშირისთვის უნდა იყოს მითითებული ორი რიცხვი: ამპლიტუდა და სიხშირე. ეს მნიშვნელობები გამოიხატება როგორც ერთი რთული რიცხვი. რთული ცვლადების გამოხატვის თეორიამ, ფურიეს ტრანსფორმაციასთან ერთად, შესაძლებელი გახადა გამოთვლების განხორციელება სხვადასხვა ელექტრული სქემების დიზაინში, მექანიკური ვიბრაციების ანალიზში, ტალღის გავრცელების მექანიზმის შესწავლაში და სხვა..
ფურიეს ტრანსფორმაცია დღეს
დღეს ამ პროცესის შესწავლა ძირითადად ეფექტიანობის პოვნამდეა დაყვანილიგადასვლის მეთოდები ფუნქციიდან მის ტრანსფორმირებულ ფორმაზე და პირიქით. ამ ამონახსნის ეწოდება პირდაპირი და შებრუნებული ფურიეს ტრანსფორმაცია. Რას ნიშნავს? ინტეგრალის დასადგენად და პირდაპირი ფურიეს ტრანსფორმაციის შესაქმნელად, შეიძლება გამოვიყენოთ მათემატიკური ან ანალიტიკური მეთოდები. მიუხედავად იმისა, რომ გარკვეული სირთულეები წარმოიქმნება მათი პრაქტიკაში გამოყენებისას, ინტეგრალების უმეტესობა უკვე ნაპოვნია და შედის მათემატიკური საცნობარო წიგნებში. რიცხვითი მეთოდები შეიძლება გამოვიყენოთ გამოთვლების გამოსათვლელად, რომელთა ფორმა ეფუძნება ექსპერიმენტულ მონაცემებს, ან ფუნქციები, რომელთა ინტეგრალები არ არის ხელმისაწვდომი ცხრილებში და რთულია ანალიტიკური სახით წარმოდგენა.
კომპიუტერების მოსვლამდე, ასეთი გარდაქმნების გამოთვლები ძალიან დამღლელი იყო, ისინი მოითხოვდნენ დიდი რაოდენობით არითმეტიკული მოქმედებების ხელით შესრულებას, რაც დამოკიდებული იყო ტალღის ფუნქციის აღწერის წერტილების რაოდენობაზე. გამოთვლების გასაადვილებლად დღეს არსებობს სპეციალური პროგრამები, რომლებმაც შესაძლებელი გახადეს ახალი ანალიტიკური მეთოდების დანერგვა. ასე რომ, 1965 წელს ჯეიმს კულიმ და ჯონ ტუკიმ შექმნეს პროგრამული უზრუნველყოფა, რომელიც ცნობილი გახდა როგორც "სწრაფი ფურიეს ტრანსფორმაცია". ეს საშუალებას გაძლევთ დაზოგოთ დრო გამოთვლებისთვის მრუდის ანალიზში გამრავლების რაოდენობის შემცირებით. სწრაფი ფურიეს ტრანსფორმაციის მეთოდი ეფუძნება მრუდის დაყოფას დიდი რაოდენობით ერთიანი ნიმუშის მნიშვნელობებად. შესაბამისად, გამრავლების რაოდენობა განახევრებულია ქულების რაოდენობის იგივე შემცირებით.
ფურიეს ტრანსფორმაციის გამოყენება
ესპროცესი გამოიყენება მეცნიერების სხვადასხვა დარგში: რიცხვთა თეორიაში, ფიზიკაში, სიგნალის დამუშავებაში, კომბინატორიკაში, ალბათობის თეორიაში, კრიპტოგრაფიაში, სტატისტიკაში, ოკეანოლოგიაში, ოპტიკაში, აკუსტიკაში, გეომეტრიაში და სხვა. მისი გამოყენების მდიდარი შესაძლებლობები ეფუძნება უამრავ სასარგებლო თვისებას, რომელსაც ეწოდება "ფურიეს ტრანსფორმაციის თვისებები". განიხილეთ ისინი.
1. ფუნქციის ტრანსფორმაცია არის წრფივი ოპერატორი და შესაბამისი ნორმალიზებით არის უნიტარული. ეს თვისება ცნობილია როგორც პარსევალის თეორემა, ან ზოგადად პლანჩერელის თეორემა, ან პონტრიაგინის დუალიზმი.
2. ტრანსფორმაცია შექცევადია. უფრო მეტიც, საპირისპირო შედეგს თითქმის იგივე ფორმა აქვს, რაც პირდაპირ ამოხსნაში.
3. სინუსოიდური ბაზის გამონათქვამები საკუთარი დიფერენცირებული ფუნქციებია. ეს ნიშნავს, რომ ასეთი წარმოდგენა ცვლის წრფივ განტოლებებს მუდმივი კოეფიციენტით ჩვეულებრივ ალგებრულში.
4. „კონვოლუციის“თეორემის მიხედვით, ეს პროცესი რთულ ოპერაციას ელემენტარულ გამრავლებად აქცევს.
5. დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაცია შეიძლება სწრაფად გამოითვალოს კომპიუტერზე "სწრაფი" მეთოდის გამოყენებით.
ფურიეს ტრანსფორმაციის ჯიშები
1. ყველაზე ხშირად, ეს ტერმინი გამოიყენება უწყვეტი ტრანსფორმაციის აღსანიშნავად, რომელიც უზრუნველყოფს კვადრატულ ინტეგრირებად გამოსახულებას, როგორც რთული ექსპონენციალური გამონათქვამების ჯამს კონკრეტული კუთხური სიხშირეებით და ამპლიტუდებით. ამ სახეობას აქვს რამდენიმე განსხვავებული ფორმა, რაც შეიძლებაგანსხვავდება მუდმივი კოეფიციენტებით. უწყვეტი მეთოდი მოიცავს კონვერტაციის ცხრილს, რომელიც შეგიძლიათ ნახოთ მათემატიკური საცნობარო წიგნებში. განზოგადებული შემთხვევა არის წილადი ტრანსფორმაცია, რომლის საშუალებითაც მოცემული პროცესი შეიძლება გაიზარდოს საჭირო რეალურ სიმძლავრემდე.
2. უწყვეტი რეჟიმი არის ფურიეს სერიების ადრეული ტექნიკის განზოგადება, რომელიც განსაზღვრულია სხვადასხვა პერიოდული ფუნქციებისთვის ან გამონათქვამებისთვის, რომლებიც არსებობს შეზღუდულ არეალში და წარმოადგენენ მათ სინუსოიდების სერიად.
3. დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაცია. ეს მეთოდი გამოიყენება კომპიუტერულ ტექნოლოგიაში სამეცნიერო გამოთვლებისთვის და ციფრული სიგნალის დამუშავებისთვის. ამ ტიპის გამოთვლების განსახორციელებლად საჭიროა გქონდეთ ფუნქციები, რომლებიც განსაზღვრავენ ცალკეულ წერტილებს, პერიოდულ ან შეზღუდულ არეებს დისკრეტულ სიმრავლეზე, უწყვეტი ფურიეს ინტეგრალების ნაცვლად. სიგნალის ტრანსფორმაცია ამ შემთხვევაში წარმოდგენილია როგორც სინუსოიდების ჯამი. ამავდროულად, „სწრაფი“მეთოდის გამოყენება შესაძლებელს ხდის დისკრეტული გადაწყვეტილებების გამოყენებას ნებისმიერ პრაქტიკულ პრობლემაზე.
4. ფანჯრიანი ფურიეს ტრანსფორმაცია კლასიკური მეთოდის განზოგადებული ფორმაა. სტანდარტული გადაწყვეტისგან განსხვავებით, როდესაც გამოიყენება სიგნალის სპექტრი, რომელიც აღებულია მოცემული ცვლადის არსებობის სრულ დიაპაზონში, აქ მხოლოდ ადგილობრივი სიხშირის განაწილებაა განსაკუთრებული ინტერესი, იმ პირობით, რომ თავდაპირველი ცვლადი (დრო) შენარჩუნებულია..
5. ორგანზომილებიანი ფურიეს ტრანსფორმაცია. ეს მეთოდი გამოიყენება ორგანზომილებიანი მონაცემების მასივებთან მუშაობისთვის. ამ შემთხვევაში, ჯერ ტრანსფორმაცია ხდება ერთი მიმართულებით, შემდეგ კი შიგნითსხვა.
დასკვნა
დღეს ფურიეს მეთოდი მტკიცედ არის გამყარებული მეცნიერების სხვადასხვა დარგში. მაგალითად, 1962 წელს დნმ-ის ორმაგი სპირალის ფორმა აღმოაჩინეს ფურიეს ანალიზის გამოყენებით რენტგენის დიფრაქციით. ეს უკანასკნელი ფოკუსირებული იყო დნმ-ის ბოჭკოების კრისტალებზე, რის შედეგადაც გამოსხივების დიფრაქციით მიღებული გამოსახულება ჩაიწერა ფილმზე. ეს სურათი გვაწვდიდა ინფორმაციას ამპლიტუდის მნიშვნელობის შესახებ მოცემულ კრისტალურ სტრუქტურაში ფურიეს ტრანსფორმაციის გამოყენებისას. ფაზის მონაცემები მიღებული იქნა დნმ-ის დიფრაქციული რუკის შედარებით მსგავსი ქიმიური სტრუქტურების ანალიზით მიღებულ რუკებთან. შედეგად, ბიოლოგებმა აღადგინეს კრისტალური სტრუქტურა - თავდაპირველი ფუნქცია.
ფურიეს ტრანსფორმაციები უზარმაზარ როლს თამაშობს კოსმოსის, ნახევარგამტარებისა და პლაზმის ფიზიკის, მიკროტალღური აკუსტიკა, ოკეანოგრაფია, რადარი, სეისმოლოგია და სამედიცინო კვლევების შესწავლაში.
