ფურიეს სერია არის თვითნებურად აღებული ფუნქციის წარმოდგენა კონკრეტული პერიოდით, როგორც სერია. ზოგადად, ამ ამოხსნას ეწოდება ელემენტის დაშლა ორთოგონალურ საფუძველზე. ფურიეს სერიებში ფუნქციების გაფართოება საკმაოდ მძლავრი ინსტრუმენტია სხვადასხვა პრობლემების გადასაჭრელად ამ ტრანსფორმაციის თვისებების გამო ინტეგრაციის, დიფერენცირებისას, ასევე არგუმენტისა და კონვოლუციის გამოხატვის გადატანისას.
ადამიანი, რომელიც არ იცნობს უმაღლეს მათემატიკას, ისევე როგორც ფრანგი მეცნიერის ფურიეს ნაშრომებს, დიდი ალბათობით ვერ გაიგებს, რა არის ეს „რიგები“და რისთვის არის განკუთვნილი. ამასობაში ეს ტრანსფორმაცია საკმაოდ მკვრივი გახდა ჩვენს ცხოვრებაში. მას იყენებენ არა მხოლოდ მათემატიკოსები, არამედ ფიზიკოსები, ქიმიკოსები, ექიმები, ასტრონომები, სეისმოლოგები, ოკეანოგრაფები და მრავალი სხვა. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ დიდი ფრანგი მეცნიერის ნაშრომებს, რომელმაც თავის დროზე ადრე გააკეთა აღმოჩენა.
ადამიანი და ფურიეს ტრანსფორმაცია
ფურიეს სერიები ფურიეს გარდაქმნის ერთ-ერთი მეთოდია (ანალიზთან და სხვასთან ერთად). ეს პროცესი ხდება ყოველ ჯერზე, როცა ადამიანი ხმას ესმის. ჩვენი ყური ავტომატურად გარდაქმნის ხმასტალღები. ელასტიურ გარემოში ელემენტარული ნაწილაკების რხევითი მოძრაობები იშლება მოცულობის დონის თანმიმდევრული მნიშვნელობების რიგებად (სპექტრის გასწვრივ) სხვადასხვა სიმაღლის ტონებისთვის. შემდეგ, ტვინი ამ მონაცემებს ჩვენთვის ნაცნობ ხმებად აქცევს. ეს ყველაფერი ხდება ჩვენი სურვილის ან ცნობიერების გარდა, თავისთავად, მაგრამ ამ პროცესების გასაგებად, უმაღლესი მათემატიკის შესწავლას რამდენიმე წელი დასჭირდება.
მეტი ფურიეს ტრანსფორმაციის შესახებ
ფურიეს ტრანსფორმაცია შეიძლება განხორციელდეს ანალიტიკური, რიცხვითი და სხვა მეთოდებით. ფურიეს სერიები ეხება ნებისმიერი რხევითი პროცესის დაშლის რიცხვით გზას - ოკეანის მოქცევიდან და სინათლის ტალღებიდან მზის (და სხვა ასტრონომიული ობიექტების) აქტივობის ციკლებამდე. ამ მათემატიკური ტექნიკის გამოყენებით, შესაძლებელია ფუნქციების ანალიზი, რომლებიც წარმოადგენენ ნებისმიერ რხევად პროცესს სინუსოიდური კომპონენტების სერიად, რომლებიც მიდიან მინიმალურიდან მაქსიმუმამდე და პირიქით. ფურიეს ტრანსფორმაცია არის ფუნქცია, რომელიც აღწერს სინუსოიდების ფაზას და ამპლიტუდას, რომელიც შეესაბამება კონკრეტულ სიხშირეს. ეს პროცესი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ძალიან რთული განტოლებების გადასაჭრელად, რომლებიც აღწერს დინამიურ პროცესებს, რომლებიც ხდება თერმული, მსუბუქი ან ელექტრო ენერგიის გავლენის ქვეშ. ასევე, ფურიეს სერიები შესაძლებელს ხდის მუდმივი კომპონენტების იზოლირებას რთულ რხევის სიგნალებში, რამაც შესაძლებელი გახადა მიღებული ექსპერიმენტული დაკვირვებების სწორად ინტერპრეტაცია მედიცინაში, ქიმიასა და ასტრონომიაში.
ისტორიული ფონი
ამ თეორიის დამფუძნებელი მამაჟან ბატისტ ჟოზეფ ფურიე არის ფრანგი მათემატიკოსი. ამ ტრანსფორმაციას შემდგომში მისი სახელი დაარქვეს. თავდაპირველად მეცნიერმა გამოიყენა თავისი მეთოდი, რათა შეესწავლა და აეხსნა სითბოს გამტარობის მექანიზმები - სითბოს გავრცელება მყარ სხეულებში. ფურიემ ვარაუდობს, რომ სითბოს ტალღის საწყისი არარეგულარული განაწილება შეიძლება დაიშალოს უმარტივეს სინუსოიდებად, რომელთაგან თითოეულს ექნება საკუთარი ტემპერატურის მინიმალური და მაქსიმალური, ისევე როგორც საკუთარი ფაზა. ამ შემთხვევაში, თითოეული ასეთი კომპონენტი გაიზომება მინიმალურიდან მაქსიმუმამდე და პირიქით. მათემატიკურ ფუნქციას, რომელიც აღწერს მრუდის ზედა და ქვედა მწვერვალებს, ისევე როგორც თითოეული ჰარმონიის ფაზას, ეწოდება ტემპერატურის განაწილების გამოხატვის ფურიეს ტრანსფორმაცია. თეორიის ავტორმა შეამცირა ზოგადი განაწილების ფუნქცია, რომელიც ძნელია მათემატიკურად აღსაწერი, პერიოდული კოსინუსებისა და სინუსების ფუნქციების ძალიან ადვილად გამოსაყენებელ სერიამდე, რომლებიც ემატება თავდაპირველ განაწილებას.
ტრანსფორმაციის პრინციპი და თანამედროვეთა შეხედულებები
მეცნიერის თანამედროვეებმა - მეცხრამეტე საუკუნის დასაწყისის წამყვანმა მათემატიკოსებმა - არ მიიღეს ეს თეორია. მთავარი წინააღმდეგობა იყო ფურიეს მტკიცება, რომ უწყვეტი ფუნქცია, რომელიც აღწერს სწორ ხაზს ან წყვეტს მრუდს, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სინუსოიდური გამონათქვამების ჯამის სახით, რომლებიც უწყვეტია. მაგალითად, განიხილეთ ჰევისაიდის "ნაბიჯი": მისი მნიშვნელობა არის ნული უფსკრულიდან მარცხნივ და ერთი მარჯვნივ. ეს ფუნქცია აღწერს ელექტრული დენის დამოკიდებულებას დროის ცვლადზე, როდესაც წრე დახურულია. იმდროინდელი თეორიის თანამედროვეებს ასეთი არასოდეს შეხვედრიათსიტუაცია, როდესაც უწყვეტი გამოხატულება აღიწერება უწყვეტი, ჩვეულებრივი ფუნქციების კომბინაციით, როგორიცაა ექსპონენციალური, სინუსოიდი, წრფივი ან კვადრატული.
რამ დააბნია ფრანგი მათემატიკოსები ფურიეს თეორიაში?
ბოლოს და ბოლოს, თუ მათემატიკოსი იყო მართალი თავის განცხადებებში, მაშინ შეაჯამეთ უსასრულო ტრიგონომეტრიული ფურიეს სერიები, შეგიძლიათ მიიღოთ საფეხურის გამოხატვის ზუსტი წარმოდგენა, მაშინაც კი, თუ მას აქვს მრავალი მსგავსი ნაბიჯი. მეცხრამეტე საუკუნის დასაწყისში ასეთი განცხადება აბსურდულად ჩანდა. მაგრამ ყველა ეჭვის მიუხედავად, ბევრმა მათემატიკოსმა გააფართოვა ამ ფენომენის შესწავლის ფარგლები, აიღო იგი თბოგამტარობის კვლევების ფარგლებს გარეთ. თუმცა, მეცნიერთა უმეტესობამ განაგრძო ტანჯვა კითხვაზე: „შეიძლება თუ არა სინუსოიდური სერიის ჯამი მიახლოება უწყვეტი ფუნქციის ზუსტ მნიშვნელობამდე?“
ფურიეს სერიების კონვერგენცია: მაგალითი
დაახლოების საკითხი ჩნდება მაშინ, როდესაც საჭიროა რიცხვების უსასრულო სერიის შეჯამება. ამ ფენომენის გასაგებად, განვიხილოთ კლასიკური მაგალითი. შეგიძლიათ ოდესმე მიაღწიოთ კედელს, თუ ყოველი მომდევნო ნაბიჯი წინას ზომის ნახევარია? დავუშვათ, რომ თქვენ მიზნიდან ორი მეტრით ხართ, პირველი ნაბიჯი მოგაახლოებთ სანახევროდ, შემდეგი - სამი მეოთხედის ნიშნულს და მეხუთეზე დაფარავთ გზის თითქმის 97 პროცენტს. თუმცა, რამდენი ნაბიჯიც არ უნდა გადადგათ, დასახულ მიზანს მკაცრი მათემატიკური გაგებით ვერ მიაღწევთ. რიცხვითი გამოთვლების გამოყენებით შეიძლება დაამტკიცოს, რომ საბოლოოდ შეიძლება მიუახლოვდეს როგორც მოგწონს.მცირე მითითებული მანძილი. ეს მტკიცებულება უდრის იმის დემონსტრირებას, რომ ნახევრის, მეოთხედის და ა.შ. ჯამის მნიშვნელობა ერთისკენ მიისწრაფვის.
კონვერგენციის საკითხი: მეორედ მოსვლა, ან ლორდ კელვინის მოწყობილობა
ეს კითხვა არაერთხელ დაისვა მეცხრამეტე საუკუნის ბოლოს, როდესაც ფურიეს სერიები ცდილობდნენ გამოეყენებინათ აკნე და დინების ინტენსივობის წინასწარმეტყველება. ამ დროს ლორდ კელვინმა გამოიგონა მოწყობილობა, რომელიც არის ანალოგური გამოთვლითი მოწყობილობა, რომელიც საშუალებას აძლევდა სამხედრო და სავაჭრო ფლოტის მეზღვაურებს თვალყური ადევნონ ამ ბუნებრივ მოვლენას. ეს მექანიზმი განსაზღვრავდა ფაზებისა და ამპლიტუდების კომპლექტს მოქცევის სიმაღლის ცხრილიდან და მათი შესაბამისი დროის მომენტებიდან, რომლებიც ყურადღებით გაზომილი იყო მოცემულ ნავსადგურში წლის განმავლობაში. თითოეული პარამეტრი იყო მოქცევის სიმაღლის გამოხატვის სინუსოიდური კომპონენტი და იყო ერთ-ერთი რეგულარული კომპონენტი. გაზომვების შედეგები შევიდა ლორდ კელვინის კალკულატორში, რომელმაც მოახდინა მრუდის სინთეზი, რომელიც იწინასწარმეტყველებდა წყლის სიმაღლეს, როგორც დროის ფუნქცია მომდევნო წლისთვის. ძალიან მალე მსგავსი მრუდები შედგენილი იქნა მსოფლიოს ყველა ნავსადგურისთვის.
და თუ პროცესი წყდება უწყვეტი ფუნქციით?
იმ დროს აშკარად ჩანდა, რომ მოქცევის ტალღის პროგნოზირს დიდი რაოდენობის დამთვლელი ელემენტებით შეეძლო დიდი რაოდენობის ფაზებისა და ამპლიტუდების გამოთვლა და ამით უფრო ზუსტი პროგნოზების უზრუნველყოფა. მიუხედავად ამისა, აღმოჩნდა, რომ ეს კანონზომიერება არ შეინიშნება იმ შემთხვევებში, როდესაც მოქცევის გამოხატულება, რომელიც მოჰყვებასინთეზირება, შეიცავდა მკვეთრ ნახტომს, ანუ იყო წყვეტილი. იმ შემთხვევაში, თუ მონაცემები შეიტანება მოწყობილობაში დროის მომენტების ცხრილიდან, მაშინ იგი ითვლის რამდენიმე ფურიეს კოეფიციენტს. თავდაპირველი ფუნქცია აღდგება სინუსოიდური კომპონენტების წყალობით (აღმოჩენილი კოეფიციენტების მიხედვით). შეუსაბამობა ორიგინალსა და აღდგენილ გამონათქვამს შორის შეიძლება გაიზომოს ნებისმიერ წერტილში. განმეორებითი გამოთვლებისა და შედარებების განხორციელებისას ჩანს, რომ ყველაზე დიდი შეცდომის მნიშვნელობა არ მცირდება. თუმცა, ისინი ლოკალიზებულია რეგიონში, რომელიც შეესაბამება შეწყვეტის წერტილს და მიდრეკილია ნულისკენ ნებისმიერ სხვა წერტილში. 1899 წელს ეს შედეგი თეორიულად დაადასტურა ჯოშუა უილარდ გიბსმა იელის უნივერსიტეტიდან.
ფურიეს სერიების კონვერგენცია და ზოგადად მათემატიკის განვითარება
ფურიეს ანალიზი არ გამოიყენება გამონათქვამებზე, რომლებიც შეიცავს უსასრულო რაოდენობის აფეთქებებს გარკვეულ ინტერვალში. ზოგადად, ფურიეს სერიები, თუ თავდაპირველი ფუნქცია რეალური ფიზიკური გაზომვის შედეგია, ყოველთვის ერთმანეთს ემთხვევა. ფუნქციების კონკრეტული კლასებისთვის ამ პროცესის დაახლოების კითხვებმა გამოიწვია მათემატიკაში ახალი სექციების გაჩენა, მაგალითად, განზოგადებული ფუნქციების თეორია. ის ასოცირდება ისეთ სახელებთან, როგორიცაა L. Schwartz, J. Mikusinsky და J. Temple. ამ თეორიის ფარგლებში შეიქმნა მკაფიო და ზუსტი თეორიული საფუძველი ისეთი გამონათქვამებისთვის, როგორიცაა დირაკის დელტას ფუნქცია (ის აღწერს ერთი ტერიტორიის ფართობს, რომელიც კონცენტრირებულია წერტილის უსასრულოდ მცირე სამეზობლოში) და ჰევისაიდი. ნაბიჯი”. ამ სამუშაოს წყალობით, ფურიეს სერიები გამოიყენებოდაგანტოლებებისა და ამოცანების ამოხსნა, რომლებიც მოიცავს ინტუიციურ ცნებებს: წერტილის მუხტი, წერტილის მასა, მაგნიტური დიპოლები, ასევე კონცენტრირებული დატვირთვა სხივზე.
ფურიეს მეთოდი
ფურიეს სერიები, ინტერფერენციის პრინციპების შესაბამისად, იწყება რთული ფორმების უფრო მარტივებად დაშლით. მაგალითად, სითბოს ნაკადის ცვლილება აიხსნება მისი გავლის სხვადასხვა დაბრკოლებებით, რომლებიც დამზადებულია არარეგულარული ფორმის თბოიზოლაციის მასალისგან ან დედამიწის ზედაპირის ცვლილებით - მიწისძვრა, ციური სხეულის ორბიტის ცვლილება - გავლენით. პლანეტები. როგორც წესი, მარტივი კლასიკური სისტემების აღწერის მსგავსი განტოლებები ელემენტარულად წყდება თითოეული ცალკეული ტალღისთვის. ფურიემ აჩვენა, რომ მარტივი გადაწყვეტილებების შეჯამება შესაძლებელია უფრო რთული პრობლემების გადასაჭრელად. მათემატიკის ენაზე, ფურიეს სერიები არის გამოსახულების წარმოდგენის ტექნიკა, როგორც ჰარმონიის ჯამი - კოსინუსი და სინუსოიდები. ამიტომ, ეს ანალიზი ასევე ცნობილია, როგორც "ჰარმონიული ანალიზი".
ფურიეს სერია - იდეალური ტექნიკა "კომპიუტერის ეპოქამდე"
კომპიუტერული ტექნოლოგიების შექმნამდე, ფურიეს ტექნიკა იყო საუკეთესო იარაღი მეცნიერთა არსენალში ჩვენი სამყაროს ტალღოვან ბუნებასთან მუშაობისას. ფურიეს სერიები რთული ფორმით იძლევა არა მხოლოდ მარტივი ამოცანების გადაჭრის საშუალებას, რომლებიც შეიძლება პირდაპირ იქნას გამოყენებული ნიუტონის მექანიკის კანონებზე, არამედ ფუნდამენტური განტოლებებიც. XIX საუკუნეში ნიუტონის მეცნიერების აღმოჩენების უმეტესობა შესაძლებელი გახდა მხოლოდ ფურიეს ტექნიკით.
ფურიეს სერია დღეს
ფურიეს ტრანსფორმაციის კომპიუტერების შემუშავებითამაღლებული სრულიად ახალ დონეზე. ეს ტექნიკა მტკიცედ არის დამკვიდრებული მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების თითქმის ყველა სფეროში. მაგალითად არის ციფრული აუდიო და ვიდეო სიგნალი. მისი განხორციელება შესაძლებელი გახდა მხოლოდ მეცხრამეტე საუკუნის დასაწყისში ფრანგი მათემატიკოსის მიერ შემუშავებული თეორიის წყალობით. ამრიგად, ფურიეს სერიამ რთული ფორმით შესაძლებელი გახადა გარღვევა გარე სივრცის შესწავლაში. გარდა ამისა, მან გავლენა მოახდინა ნახევარგამტარული მასალების და პლაზმის ფიზიკის შესწავლაზე, მიკროტალღურ აკუსტიკაზე, ოკეანოგრაფიაზე, რადარზე, სეისმოლოგიაზე.
ტრიგონომეტრიული ფურიეს სერია
მათემატიკაში, ფურიეს რიგი არის თვითნებური რთული ფუნქციების წარმოდგენის გზა მარტივი ფუნქციების ჯამის სახით. ზოგადად, ასეთი გამონათქვამების რაოდენობა შეიძლება იყოს უსასრულო. უფრო მეტიც, რაც უფრო მეტია მათი რიცხვი გათვალისწინებული გაანგარიშებისას, მით უფრო ზუსტია საბოლოო შედეგი. ყველაზე ხშირად, კოსინუსის ან სინუსის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები გამოიყენება როგორც უმარტივესი. ამ შემთხვევაში, ფურიეს სერიებს ეწოდება ტრიგონომეტრიული, ხოლო ასეთი გამონათქვამების ამოხსნას ეწოდება ჰარმონიის გაფართოება. ეს მეთოდი მნიშვნელოვან როლს ასრულებს მათემატიკაში. უპირველეს ყოვლისა, ტრიგონომეტრიული სერია იძლევა გამოსახულების საშუალებას, ასევე ფუნქციების შესწავლას, ეს არის თეორიის მთავარი აპარატი. გარდა ამისა, ის იძლევა მათემატიკური ფიზიკის რიგი ამოცანების გადაჭრის საშუალებას. დაბოლოს, ამ თეორიამ ხელი შეუწყო მათემატიკური ანალიზის განვითარებას, წარმოშვა მათემატიკური მეცნიერების არაერთი ძალიან მნიშვნელოვანი განყოფილება (ინტეგრალების თეორია, პერიოდული ფუნქციების თეორია). გარდა ამისა, ის იყო საწყისი წერტილი შემდეგი თეორიების შემუშავებისთვის: სიმრავლეები, ფუნქციებირეალური ცვლადი, ფუნქციური ანალიზი და ასევე საფუძველი ჩაეყარა ჰარმონიულ ანალიზს.
